Na tomto slidu máme dvě verze Eulerových rovnic, které popisují, jak spolu souvisí rychlost, tlak a hustota pohybující se tekutiny.Rovnice jsou pojmenovány na počest Leonarda Eulera, který byl studentem Daniela Bernoulliho a studoval různé problémy dynamiky tekutin v polovině 17. století.rovnice jsou souborem spřažených diferenciálních rovnic a lze je řešit pro daný problém proudění pomocí metod z kalkulu.ačkoli se rovnice zdají být velmi složité, jsou ve skutečnosti zjednodušením obecnějšíchNavierových-Stokových rovnic dynamiky tekutin. Eulerovy rovnice zanedbávají vliv viskozity kapaliny, který je obsažen v Navierových-Stokesových rovnicích.Řešení Eulerových rovnic je proto pouze aproximací skutečného problému kapalin.Pro některé problémy, jako je například let tenkého křídla při malém úhlu náběhu, poskytuje řešení Eulerových rovnic dobrý model reality. Pro jiné problémy, jako je růst mezní vrstvy na ploché desce, Eulerovy rovnice problém správně nemodelují.
Náš svět má tři prostorové rozměry (nahoru-dolů, doleva-doprava, dopředu-dozadu) a jeden časový rozměr. Obecně mají Eulerovy rovnice rovnici zachování hmoty závislou na čase a tři rovnice zachování hybnosti závislé na čase.v horní části obrázku ukazujeme zjednodušený, dvourozměrný,ustálený tvar Eulerových rovnic.v problému jsou dvě nezávislé proměnné, souřadnicex a y nějaké oblasti. Jsou zde čtyři závislé proměnné, tlak p, hustota r a dvě složky vektoru rychlosti; složka u je ve směru x a složka v je ve směru y. Všechny závislé proměnné jsou funkcemi x a y.Diferenciální rovnice jsou tedy parciálními diferenciálními rovnicemi, nikoliv obyčejnými diferenciálními rovnicemi, které studujete v počátečních hodinách matematiky.
Všimněte si, že symbol diferenciálu je jiný než obvyklé „d /dt“ nebo „d /dx“, které vidíte u obyčejných diferenciálních rovnic. Symbol“
“ se používá pro označení parciální diferenciace. symbol naznačuje, že při výpočtu derivace máme držet všechny nezávislé proměnné pevně, kromě proměnné vedle symbolu. Soubor rovnic je následující:
Spojitost: (r * u)/x + (r * v)/y = 0
X – hybnost: (r * u^2)/x + (r * u * v)/y = – p/x
Y – hybnost: (r * u * v)/x + (r * v^2)/y = – p/y
Ačkoliv tyto rovnice vypadají velmi složitě, vysokoškolští studenti technických oborů se je učí odvozovat postupem velmi podobným odvození, které uvádíme na webové stránce o zachování hybnosti. Tyto dvě rovnice hybnosti jsou dvourozměrným zobecněním rovnice zachování hybnosti. Rovnice rychlosti proudění hmoty vypracovaná na webové stránce o zachování hmoty je jednorozměrným řešením zde uvedené rovnice kontinuity.
Zobecněná řešení těchto rovnic je obtížné získat.Všimněte si, že v každé rovnici se objevují všechny závislé proměnné.Chcete-li vyřešit problém proudění, musíte řešit všechny tři rovnice současně; proto tomu říkáme spřažená soustava rovnic. Ve skutečnosti existuje ještě jedna rovnice, která je nutná k vyřešení této soustavy, protože uvádíme pouze tři rovnice pro čtyři neznámé. Stavová rovnice vyjadřuje tlak a hustotu plynu.V minulosti inženýři prováděli další aproximace a zjednodušení této soustavy rovnic, dokud nezískali skupinu rovnic, kterou mohli vyřešit.V poslední době se k řešení aproximací rovnic používají vysokorychlostní počítače s využitím různých technik, jako jsou metody konečných diferencí, konečných objemů, konečných prvků a spektrální metody.Tato oblast studia se nazývá výpočetní dynamika tekutin neboli CFD.
Jednou ze zjednodušujících metod používaných v minulosti bylo předpokládat, že plyn má velmi nízkou rychlost, a zanedbat vliv stlačitelnosti.v nestlačitelném proudění je hustota konstantní a můžeme ji odstranit z rovnice kontinuity:
Kontinuita: u/x + v/y = 0
Můžeme pak vynásobit rovnice hybnosti a použít rovnici kontinuity k jejich zjednodušení:
X – hybnost: u * u/x + v * u/y = – / r
Y – hybnost: u * v/x + v * v/y = – / r
Tato soustava rovnic byla použita k vytvoření algoritmu použitého v programuFoilSimcomputer.
Činnosti:
Průvodce
Navigace ..
Průvodce pro začátečníky Úvodní stránka.