Geometrie: Přímky a úhly

Přímky a úhly tvoří téměř všechny geometrické útvary. Pojďme se tedy ponořit do geometrie tím, že probereme právě tyto základní prvky tvarů.

Nyní si můžeme začít povídat o geometrii. A geometrie je samozřejmě nauka o tvarech. Pro některé lidi, kteří jsou vizuálně orientovaní, je nyní Geometrie velmi přirozená. A pro jiné lidi, kteří nemají rozvinuté vizuální schopnosti, může být Geometrie trochu obtížnější.

Zejména pro lidi, pro které je Geometrie trochu těžší, řeknu toto.

Nestačí se jen dívat na tato videa. Až se na ně podíváte, vezměte si papír a pravítko a nakreslete tyto různé tvary, skutečně je fyzicky nakreslete na papír. A sestavujte tvary a fyzické objekty. Můžete použít tužky, párátka, brčka, cokoli podobného. Skutečně postavte trojúhelníky, obdélníky, skutečně se na ně podívejte.

Používejte ruce!“

Používejte ruce, naše ruce jsou vlastně součástí naší inteligence. Když používáte ruce, zapojujete všechny části mozku. Díky tomu bude mnohem snazší, pochopit všechny tyto vztahy.

Začněme tedy s čarami. Čáry jsou rovné a pokračují donekonečna oběma směry. Tady máme spoustu různých přímek v různých směrech. Musíte si představit, že na konci každé přímky jsou nějaké šipky nebo něco podobného. To naznačuje, že přímky skutečně pokračují donekonečna v obou směrech.

Čáry a úhly: Všechny čáry jsou rovné

Je velmi důležité nezaměňovat rovné s vodorovnými. Tato dvě slova mají velmi odlišný význam, ale občas se najdou studenti, kteří je zaměňují. Všechny přímky jsou rovné. Takže všechny čáry, které jsme měli na předchozím slajdu, čáry jdoucí různými směry, všechny tyto čáry jsou rovné.

A v testu můžete vždy předpokládat, že přímka je rovná. Pokud vypadá rovně, je rovná. V testu to platí vždy. Ale některé čáry jsou z pohodlnosti nakresleny vodorovně. Nikdy však nemůžete předpokládat, že přímky jsou přesně vodorovné nebo svislé jen proto, že tak vypadají. Lidé jsou z toho nyní opravdu zmatení. Jste zmateni, pokud si myslíte, že vodorovná a rovná znamená totéž.

Říkáme tedy, že na základě testu můžete předpokládat, že přímky jsou rovné. Lidé se mylně domnívají, že to také znamená, že mohou předpokládat, že přímky jsou vodorovné, a to není správné. Úsečka je konečný kus přímky.

Příklad

Tak například zde máme úsečku, má dva koncové body. A když jsou tyto koncové body označeny, usnadňuje to diskusi.

Toto je úsečka AB. A pro účely testu může AB znamenat buď samotný tvar úsečky. Nebo může znamenat délku úsečky, číselnou délku. Úhel vzniká mezi dvěma přímkami nebo dvěma úsečkami. Například zde máme úhel.

Přímky a úhly: Úhly a úsečky, úhly – magoosh

Obrázek: Radu Bercan

To se děje mezi jednou přímkou a jednou úsečkou. Nejlepší způsob, jak pochopit úhel, je představit si ho dynamicky, jako akt otáčení nebo otáčení. Tedy jinými slovy, jít odtud sem. Právě to je úhel, je to ten dynamický prostor mezi dvěma přímkami. Pokud označíme body, můžeme mluvit o úhlu.

Označování úhlů

Tento úhel můžeme nazvat buď CDE, nebo EDC, bod D, vrchol úhlu. Právě zde musí být vrchol úhlu uprostřed názvu. A tak můžeme nazvat buď CDE, nebo EDC, pokud je vrchol uprostřed. Někdy v těchto videích použiji také název jednoho úhlu, pokud nedojde k nejasnostem. Například v tomto diagramu je pouze jeden úhel.

Takže bych ho mohl nazvat úhel D. Teoreticky by se mohl vyskytnout na testu. I když test je často dost opatrný na to, aby pro úhel použil vždy třípísmenný název. Velikost úhlu měříme ve stupních. Test je může uvádět přímo, tedy 50 stupňů.

Alternativně může test označit diagram a v textu uvést míru úhlu. Takže úhel GFH = 50 stupňů, protože na body v diagramu umístí písmena. Můžeme to použít právě k tomu, abychom v textu hovořili o této míře v počtu stupňů. Ve skutečnosti je to asi nejoblíbenější věc, kterou lze udělat, je následující prostě zadat úhel, s proměnným počtem stupňů.

Pružný formát testování

Tento pružný formát jim umožňuje buď zadat úhel, protože v textu mohou říct x = 50, nebo se na to mohou zeptat. Mohli by uvést další informace a říct najdi x. Takže by to rádi udělali. Provedeme rychlý přehled základních faktů o stupních. V přímce je 180 stupňů a samozřejmě si pamatujte, že přímka může jít libovolným směrem.

Ale pokud je na přímce nějaký bod, tak po celé délce od jedné strany přímky k druhé. To je 180 stupňů, v pravém úhlu je 90 stupňů. Takže zde máme dvě přímky protínající se v pravém úhlu. V tomto průsečíku jsou vlastně čtyři pravé úhly. Pokud se dvě přímky nebo úsečky setkávají v pravých úhlech, říká se jim kolmice, to je termín, který byste měli znát.

Kolmé přímky a pravé úhly

Test může buď nakreslit ten malý čtvereček, značku kolmice, což je ten malý čtvereček, nebo může označit, že úhel je 90 stupňů. Může označit 90 stupňů v diagramu nebo X stupňů a v textu nám říci, že X se rovná 90. Existuje celá řada způsobů, jak nám může říct, že je to úhel 90 stupňů. Nepředpokládejte, že dvě přímky jsou kolmé, pokud vám to není výslovně řečeno, to je často past.

Předpokládejme, že tyto body se objeví jako součást většího diagramu a nejsou uvedeny žádné další informace. Rozhodně to vypadá, že by mohly být v pravém úhlu, a to je velmi lákavé předpokládat. Test by rád, kdybyste se dopustili chyby, kdybyste předpokládali, že přímky jsou kolmé a že úhel je roven přesně 90 stupňům.

Ve skutečnosti tomu tak není, nakreslil jsem to tak, že, ten úhel tam je úhel 89,6 stupně. Takže se to blíží pravému úhlu a pouhým okem to může vypadat jako pravý úhel. Ale žádná ze speciálních vlastností pravého úhlu není pravdivá.

A v příštích videích si o speciálních vlastnostech pravého úhlu povíme více. Žádná ze speciálních vlastností pravého úhlu není pravdivá, pokud se úhel blíží 90, ale není přesně 90.

Velmi důležité je, abyste nemohli předpokládat, že dvě přímky jsou kolmé, pokud pro to nemáte nějaké zdůvodnění.

Přímky a úhly: Shodné tvary

Jeden z pojmů, který uvedu a který se pravděpodobně v testu neobjeví, je shodný. Kongruentní je jako rovný, pro tvary. Pojem rovný používáme pro číslo a velmi podobný pojem „kongruentní“ pro tvary.

Dva tvary jsou kongruentní, pokud mají stejný tvar a stejnou velikost.

Nemusí mít stejnou orientaci. Takže například fialový a zelený tvar zde jsou kongruentní, jeden je převrácený od druhého. O jednom byste mohli říct, že je pravotočivá verze, a o druhém, že je levotočivá verze, ale v zásadě je to stejný tvar.

Tyto dva jsou kongruentní, i když mají různou orientaci.

Bissektory

Bissektor rozřezává něco na dvě shodné části. Úhlový bisektor rozřezává úhel na dva menší shodné úhly. Takže například zde máme bisektor úhlu. Pokud je nám například řečeno, že velký úhel PNM má 40 stupňů a že NQ tento úhel protíná – pak můžeme odvodit, že každý ze dvou menších úhlů musí mít 20 stupňů.

Každý z nich musí být přesně o polovinu stejný, protože úhel byl rozpůlen. Podobně může být bisektorem úsečky bod, jiná úsečka nebo přímka. Bissektor rozděluje úsečku na dvě stejné poloviny. Všimněte si, že zde úsečka ST protíná úsečku PQ. Také si všimněte, že rozhodně platí, že PQ neprotíná ST, protože SR je zjevně větší než RT.

Takže to, že ST protíná PQ, znamená, že R je středem PQ a že PR = RQ. Rozdělili jsme ji na dvě stejné poloviny, a to opět vždy znamená bisecting. Někdy se stane, že přímka protne úsečku a zároveň je na ni kolmá. Přímka se nazývá kolmá bisektiva úsečky.

Přímka VW je kolmá, je to kolmý bisektor úsečky TU. Každý bod na kolmé bisektoru úsečky je stejně vzdálen od dvou koncových bodů na úsečce. A tak je to opravdu užitečný fakt, který se projevuje různými způsoby. Kolmá úsečka je vlastně množina všech možných bodů, které jsou stejně vzdálené od dvou koncových bodů úsečky.

Přímky a úhly: Podívejme se na úhly

Nyní několik základních faktů o úhlech. Už jsme si řekli, že přímka obsahuje 180 stupňů. To znamená, že pokud dva nebo více úhlů leží v přímce, součet jejich úhlů je 180 stupňů. Můžeme tedy například předpokládat, že tato dlouhá přímka je přímá. Nemá v tomto bodě nějaký mírný ohyb.

Test nám to neudělá, pokud vypadá rovně, je rovná. A proto víme, že tyto dva úhly dohromady tvoří 180. Takže x + y = 180. Pokud tyto dva úhly dají dohromady 180, pak se nazývají doplňkové. Dva úhly na přímce jsou vždy doplňkové. Takže p + q = 180.

Když se dvě přímky kříží

Když se dvě přímky kříží, vzniknou čtyři úhly. Máme zde tedy dvě přímky, které jdou donekonečna oběma směry, musí se protnout a vzniknou tyto čtyři úhly. Dvojice protilehlých úhlů, které mají společný pouze vrchol, se nazývají svislé úhly a svislé úhly jsou vždy shodné. Takže například úhly A a C nemají společnou žádnou stranu.

Všechno, co mají a a c společné, je to, že se dotýkají v jednom vrcholu. Dotýkají se v jednom vrcholu, b a d se také dotýkají v jednom vrcholu. A proto se jim říká svislé úhly, protože se setkávají v jednom vrcholu. Víme tedy, že svislé úhly jsou shodné, víme, že a = c a b = d. Samozřejmě dvojice úhlů vedle sebe, a + b, b + c, ty všechny jsou doplňkové.

Všechny se sčítají do 180 stupňů, protože máme dvojice úhlů na přímce. Kdybychom tedy v tomto diagramu dostali jeden úhel, můžeme najít další tři. Například pokud a = 35, víme, že c se musí rovnat. To musí být také 35 stupňů. A b a d musí být doplňkový úhel 145 stupňů. Takže jakékoliv dvě dvojice dohromady, jakékoliv dva úhly dohromady ve dvojici, dávají dohromady 180 stupňů.

Přímky a úhly:

Tady je cvičná úloha, pozastavte video a pak si o ní popovídáme.

Ok V diagramu x = 40 stupňů a RT svírá velký úhel SRU ,což je velmi velký úhel. No a SRU je doplňkový úhel k tomu úhlu 40 stupňů, takže SRU musí být 180 mínus 40, což by bylo 140. Jaký je tedy výsledek? Takže SRU je 140.

A tento úhel je rozpůlený, protože je rozpůlený, je rozříznutý na dvě stejné poloviny. Takže jsou tu dvě poloviny, z nichž každá musí mít 70 stupňů. SRT =70 stupňů, TRU = 70 stupňů. To jsou dvě stejné poloviny úhlu, který byl rozpůlen. No a teď si všimněte, že úhel TRV, ten je složen z úhlu TRU a úhlu x, který známe.

Víme, že TRU je 70 stupňů, víme, že úhel X je 40 stupňů, takže je sečteme. TRV musí být úhel 110 stupňů. Nyní si všimněte, že TRV je svislý úhel SRW, takže tyto dva úhly se musí rovnat. To tedy znamená, že SRW musí být také úhel 110 stupňů, takže Y se rovná 110. Nakonec si zopakujeme rovnoběžky.

Přímky a úhly: Rovnoběžné přímky

Jsou-li dvě přímky rovnoběžné, nikdy se neprotínají a vždy jsou od sebe vzdáleny přesně stejně. A opět je to další z vlastností, podobně jako kolmá, blízká rovnoběžce, nepočítá se za fazole. Musíte vědět, že obě přímky jsou přesně rovnoběžné. Je zřejmé, že jelikož se rovnoběžné přímky nikdy neprotínají, nikdy spolu netvoří úhly.

Příčné přímky

Mnoho úhlů však získáme, protne-li dvě rovnoběžné přímky třetí nerovnoběžná přímka. Tato třetí přímka se nazývá příčná. Transverzála je přímka, která protíná dvě rovnoběžné přímky. Zde tedy máme transverzálu protínající rovnoběžné přímky WX a YZ. A dostaneme zde osm andělů.

Nyní jsou čtyři velcí andělé všichni stejní. A čtyři malí andělé jsou si všichni rovni. Takže jinými slovy a = d = e = h a b = c = f = g, to je ta velká myšlenka. A teď mezi nimi, samozřejmě si možná pamatujete z geometrie, jsou různé speciální názvy.

Stejnostranný vnitřní a stejnostranný vnější a odpovídající úhly. Pokud si chcete všechny tyto speciální názvy pamatovat, je to skvělé, nemusíte. Stačí si zapamatovat, že všechny velké úhly jsou stejné, všechny malé úhly jsou stejné. Takže tady je znovu ten diagram a teď jsem ho označil tak, aby bylo jasné, že všechno je stejné.

Čáry a úhly: Doplňkové úhly

Všimněte si také, že p a q jsou doplňkové. Takže jakýkoli velký úhel plus jakýkoli malý úhel se rovná 180 stupňům, to je opravdu velká myšlenka. Pokud tedy máme zadán stupeň libovolného z úhlů zde, mohli bychom najít zbylých sedm. Shrnuto, mluvili jsme o přímkách a úsečkách, mluvili jsme o úhlech a stupních.

Upozornili jsme, že v přímém úhlu je 180 stupňů a v pravém úhlu 90 stupňů. Mluvili jsme o úhlových bisektorech a kolmých bisektorech. Úhlová bisektiva rozděluje úhel na dva menší stejné úhly. Kolmý bisektor je kolmý k úsečce a dělí ji na dvě stejné poloviny.

Mluvili jsme o tom, že dva úhly na přímce se doplňují. Svislé úhly jsou shodné. A mluvili jsme o úhlech, které tvoří příčka, protínající dvojici rovnoběžných přímek. A o mnoha aplikacích těchto základních myšlenek si povíme v příštích videích.

Podívejte se, jak to vypadá v matematice.