Matematika je možná více environmentální vědou, než si myslíme. Přestože jde o hledání věčných pravd, mnohé matematické pojmy mají svůj původ v každodenní zkušenosti. Astrologie a architektura inspirovaly Egypťany a Babyloňany k rozvoji geometrie. Studium mechaniky během vědecké revoluce v 17. století nám přineslo kalkulus.
Pozoruhodné je, že se ukazuje, že myšlenky kvantové teorie v sobě nesou také obrovskou matematickou sílu, přestože máme jen málo každodenních zkušeností s prací s elementárními částicemi. Bizarní svět kvantové teorie – kde se věci mohou zdánlivě nacházet na dvou místech současně a podléhají zákonům pravděpodobnosti – představuje nejen fundamentálnější popis přírody než to, co mu předcházelo, ale také poskytuje bohatý kontext pro moderní matematiku. Mohla by logická struktura kvantové teorie, jakmile bude plně pochopena a vstřebána, inspirovat novou oblast matematiky, která by se mohla nazývat „kvantová matematika“?
Mezi matematikou a fyzikou samozřejmě existuje dlouhodobý a důvěrný vztah. Galileo slavně psal o knize přírody, která čeká na rozluštění: „Filozofie je zapsána v této velké knize, vesmíru, který je neustále otevřen našemu pohledu. Této knize však nelze porozumět, pokud se člověk nejprve nenaučí porozumět jejímu jazyku a přečíst písmena, kterými je napsána. Je napsána jazykem matematiky.“ Z modernější doby můžeme citovat Richarda Feynmana, který nebyl znám jako znalec abstraktní matematiky: „Těm, kdo matematiku neznají, je těžké zprostředkovat skutečný pocit krásy, nejhlubší krásy přírody. … Chcete-li se o přírodě něco dozvědět, chcete-li ji ocenit, je třeba rozumět jazyku, kterým mluví.“ (Na druhou stranu však také prohlásil: „
Matematický fyzik a nositel Nobelovy ceny Eugene Wigner výstižně napsal o úžasné schopnosti matematiky popsat skutečnost a charakterizoval ji jako „nepřiměřenou účinnost matematiky v přírodních vědách“. Stejné matematické pojmy se objevují v nejrůznějších souvislostech. V těchto dnech se však zdá, že jsme svědky opaku: nepřiměřené účinnosti kvantové teorie v moderní matematice. Myšlenky, které mají původ ve fyzice částic, mají podivuhodnou tendenci objevovat se v nejrůznějších matematických oborech. To platí zejména pro teorii strun. Její podnětný vliv v matematice bude mít trvalý a přínosný dopad, ať už se ukáže, že její konečná role v základní fyzice bude jakákoli. Počet oborů, kterých se dotýká, je závratný: analýza, geometrie, algebra, topologie, teorie zobrazení, kombinatorika, pravděpodobnost – seznam by mohl pokračovat. Člověku začíná být líto chudáků studentů, kteří se to všechno musí učit!“
Jaký může být základní důvod této nepřiměřené účinnosti kvantové teorie? Podle mého názoru úzce souvisí s tím, že v kvantovém světě se děje vše, co se může stát.
Klasická mechanika se velmi schematicky snaží vypočítat, jak se částice dostane z bodu A do bodu B. Preferovaná cesta by například mohla vést po geodetice – cestě minimální délky v zakřiveném prostoru. V kvantové mechanice se místo toho uvažuje soubor všech možných cest z bodu A do bodu B, jakkoli dlouhých a spletitých. To je Feynmanova slavná interpretace „součtu nad historiemi“. Fyzikální zákony pak každé cestě přiřadí určitou váhu, která určuje pravděpodobnost, že se částice bude pohybovat po této konkrétní trajektorii. Klasické řešení, které se řídí Newtonovými zákony, je prostě nejpravděpodobnější z mnoha. Kvantová fyzika tedy přirozeným způsobem studuje množinu všech drah jako vážený soubor, což nám umožňuje sčítat všechny možnosti.
Tento holistický přístup, kdy se uvažuje o všem najednou, je do značné míry v duchu moderní matematiky, kde se studium „kategorií“ objektů zaměřuje mnohem více na vzájemné vztahy než na konkrétní jednotlivé příklady. Právě tento ptačí pohled na kvantovou teorii přináší překvapivé nové souvislosti.
Kvantové kalkulačky
Pozoruhodným příkladem kouzla kvantové teorie je zrcadlová symetrie – skutečně úžasná ekvivalence prostorů, která způsobila revoluci v geometrii. Příběh začíná v enumerativní geometrii, dobře zavedeném, ale nepříliš vzrušujícím odvětví algebraické geometrie, které počítá objekty. Vědci by například mohli chtít spočítat počet křivek na Calabiho-Yauových prostorech – šestidimenzionálních řešeních Einsteinových gravitačních rovnic, která jsou obzvláště zajímavá v teorii strun, kde se používají ke svinování dalších prostorových dimenzí.
Stejně jako můžete gumičku několikrát omotat kolem válce, křivky na Calabiho-Yauově prostoru jsou klasifikovány celým číslem, kterému se říká stupeň a které měří, jak často se omotávají. Nalezení počtu křivek daného stupně je známý obtížný problém, a to i pro nejjednodušší Calabiho-Yauův prostor, takzvaný kvintický. Klasický výsledek z 19. století uvádí, že počet přímek – křivek prvního stupně – je roven 2 875. Počet křivek druhého stupně byl spočítán až kolem roku 1980 a ukázalo se, že je mnohem větší: 609 250. Počet křivek třetího stupně však vyžadoval pomoc teoretiků strun.
Přibližně v roce 1990 požádala skupina teoretiků strun geometry o výpočet tohoto počtu. Geometři vymysleli složitý počítačový program a vrátili se s odpovědí. Teoretici strun však měli podezření, že je chybná, což naznačovalo chybu v kódu. Po ověření geometři potvrdili, že tam je, ale jak to věděli fyzikové?“
Teoretici strun již pracovali na převedení tohoto geometrického problému na fyzikální. Přitom vyvinuli způsob, jak vypočítat počet křivek libovolného stupně najednou. Je těžké přecenit šok, který tento výsledek v matematických kruzích vyvolal. Bylo to trochu jako vymyslet způsob, jak vylézt na každou horu, ať je jakkoli vysoká!“
V rámci kvantové teorie dává dokonalý smysl spojit počty křivek všech stupňů do jediné elegantní funkce. Takto sestavená má přímočarou fyzikální interpretaci. Lze ji chápat jako amplitudu pravděpodobnosti pro strunu šířící se v Calabiho-Yauově prostoru, kde byl uplatněn princip součtu nad historií. Lze si myslet, že struna zkoumá všechny možné křivky všech možných stupňů současně, a je tak superefektivní „kvantovou kalkulačkou“.
K nalezení skutečného řešení však byla nutná druhá složka: ekvivalentní formulace fyziky pomocí takzvaného „zrcadlového“ Calabi-Yauova prostoru. Termín „zrcadlo“ je klamavě jednoduchý. Na rozdíl od způsobu, jakým obyčejné zrcadlo odráží obraz, zde mají původní prostor a jeho zrcadlo velmi odlišné tvary; dokonce nemají ani stejnou topologii. V oblasti kvantové teorie však mají mnoho společných vlastností. Zejména se ukazuje, že šíření strun v obou prostorech je totožné. Obtížný výpočet na původním mnohostěnu se převede na mnohem jednodušší vyjádření na zrcadlovém mnohostěnu, kde jej lze vypočítat jediným integrálem. Et voilà!
Dualita rovných
Zrcadlová symetrie ilustruje mocnou vlastnost kvantové teorie zvanou dualita: Dva klasické modely se mohou stát ekvivalentními, pokud jsou považovány za kvantové systémy, jako by se mávlo kouzelným proutkem a všechny rozdíly náhle zmizely. Dualita poukazuje na hluboké, ale často záhadné symetrie základní kvantové teorie. Obecně jsou špatně pochopitelné a svědčí o tom, že naše chápání kvantové teorie je přinejlepším neúplné.
Prvním a nejznámějším příkladem takové ekvivalence je známá dualita částice-vlna, která říká, že každou kvantovou částici, například elektron, lze považovat jak za částici, tak za vlnu. Oba pohledy mají své výhody a nabízejí různé pohledy na tentýž fyzikální jev. „Správný“ úhel pohledu – částice nebo vlna – je určen výhradně povahou otázky, nikoli povahou elektronu. Obě strany zrcadlové symetrie nabízejí dvojí a stejně platné pohledy na „kvantovou geometrii“.
Matematika má úžasnou schopnost propojovat různé světy. Nejpřehlíženějším symbolem v jakékoli rovnici je skromné znaménko rovnosti. Myšlenky jím proudí, jako by znaménko rovnosti vedlo elektrický proud, který v naší mysli rozsvítí žárovku „Aha!“. A dvojité čáry naznačují, že myšlenky mohou proudit oběma směry. Albert Einstein byl absolutním mistrem v hledání rovnic, které jsou příkladem této vlastnosti. Vezměme si E = mc2, bezpochyby nejslavnější rovnici v historii. V celé své nenápadné eleganci spojuje fyzikální pojmy hmoty a energie, které byly před příchodem teorie relativity považovány za zcela odlišné. Díky Einsteinově rovnici se dozvídáme, že hmotu lze přeměnit na energii a naopak. Rovnice Einsteinovy obecné teorie relativity, ačkoli je méně chytlavá a známá, propojuje svět geometrie a hmoty stejně překvapivým a krásným způsobem. Stručně lze tuto teorii shrnout tak, že hmota říká prostoru, jak se má zakřivit, a prostor říká hmotě, jak se má pohybovat.
Zrcadlová symetrie je dalším dokonalým příkladem síly znaménka rovnosti. Dokáže propojit dva různé matematické světy. Jedním z nich je oblast symplektické geometrie, odvětví matematiky, které je základem velké části mechaniky. Na druhé straně je oblast algebraické geometrie, svět komplexních čísel. Kvantová fyzika umožňuje myšlenkám volně přecházet z jedné oblasti do druhé a poskytuje nečekané „velké sjednocení“ těchto dvou matematických disciplín.
Je potěšující vidět, jak matematika dokázala absorbovat tolik intuitivních, často nepřesných úvah kvantové fyziky a teorie strun a mnohé z těchto myšlenek převést do rigorózních tvrzení a důkazů. Matematici jsou blízko k tomu, aby tuto exaktnost aplikovali na homologickou zrcadlovou symetrii, program, který značně rozšiřuje původní myšlenku zrcadlové symetrie teorie strun. V jistém smyslu píší úplný slovník objektů, které se vyskytují ve dvou oddělených matematických světech, včetně všech vztahů, které splňují. Pozoruhodné je, že tyto důkazy často nejdou cestou, kterou naznačovaly fyzikální argumenty. Úkolem matematiků zřejmě není uklízet po fyzicích! Naopak, v mnoha případech musely být k nalezení důkazů vyvinuty zcela nové myšlenkové směry. To je další důkaz hluboké a dosud neobjevené logiky, která je základem kvantové teorie a nakonec i reality.
Niels Bohr měl velmi rád pojem komplementarity. Tento pojem vznikl na základě skutečnosti, že, jak dokázal Werner Heisenberg svým principem neurčitosti, v kvantové mechanice lze měřit buď hybnost p částice, nebo její polohu q, ale ne obojí současně. Wolfgang Pauli tuto dualitu vtipně shrnul v dopise Heisenbergovi z 19. října 1926, tedy jen několik týdnů po objevu: V pozdějších letech se Bohr snažil tuto myšlenku posunout do mnohem širší filozofie: „Člověk může vidět svět okem p a může ho vidět okem q, ale pokud otevře obě oči, pak se zblázní.“
V pozdějších letech se Bohr snažil tuto myšlenku posunout do mnohem širší filozofie. Jednou z jeho oblíbených komplementárních dvojic byla pravda a jasnost. Možná by se měla přidat dvojice matematické přísnosti a fyzikální intuice jako další příklad dvou vzájemně se vylučujících vlastností. Na svět se můžete dívat matematickým okem nebo komplementárním fyzikálním okem, ale neodvažujte se otevřít obojí.
Tento článek byl přetištěn ve španělštině na stránkách Investigacionyciencia.es.
.