Modelování vícebuněčných bakterií
Začínáme sestavením výpočetního modelu lokomoce peritrichózní bakterie, jak je uvedeno v části Metody s matematickými detaily v doplňkových informacích. Uvažujeme bakterii poháněnou Nf bičíky (obr. 2A) s buněčným tělem ve tvaru prolnutého elipsoidu. Každý bičík se skládá z: (i) rotačního motoru, který generuje pevnou rychlost rotace kolem osy bičíkového vlákna; (ii) krátkého pružného háčku považovaného za torzní pružinu kolem osy motoru, jehož hydrodynamiku lze zanedbat17; (iii) šroubovitého bičíkového vlákna normální levotočivé polymerní formy, jehož hydrodynamika je zachycena pomocí teorie štíhlého tělesa24 . Parametry motoru a filamentu jsou zvoleny tak, aby odpovídaly parametrům bakterií E. coli7 (tabulka S1 v doplňkových informacích). Každé šroubovicové vlákno má zúžený konec tak, že poloměr šroubovice je v místě jejího připojení k motoru nulový25. Flagelární filamenta se mohou otáčet, ale ne translatovat vzhledem ke svému bodu uchycení na buněčném těle, a zatímco rotace kolem osy šroubovice je vynucena motorem, jakékoli další rotace vzhledem k tělu jsou řešeny. Zanedbáváme hydrodynamické interakce mezi buněčným tělem a bičíkovými vlákny, ale zahrnujeme sterické interakce, abychom zabránili vniknutí vláken do těla. Pro každý háček používáme θ k označení úhlu sklonu mezi normálou k buněčnému tělu v místě motoru a osou bičíkového vlákna (tj. když θ = 0, je vlákno normální k buněčnému tělu). Obnovující pružný moment, kterým každý motorek působí na své bičíkové vlákno, je modelován jako torzní pružina s konstantou pružiny \(K=EI/{\ell }_{h}\), kde EI a \({\ell }_{h}\) jsou ohybová tuhost a délka háčku16. Velikost obnovovacího momentu je tedy dána K|θ| a pružnost háku působí na vyrovnání osy šroubovice s normálou k tělu buňky. Výpočetní model řeší okamžitou polohu bičíkatých vláken a plaveckou rychlost Ub a úhlovou rychlost Ωb buněčného těla v závislosti na tuhosti háčku.
(A) Výpočetní model peritrichózní bakterie uvádějící v činnost Nf šroubovitých vláken (poloměr Rh; úhel sklonu β) jejich otáčením kolem osy \(\hat{{\bf{k}}}) s předepsanou úhlovou rychlostí. Pružný háček působí pružně a vyrovnává osu šroubovice s normálou \(\hat{{\bf{N}}}) k tělu buňky. (B) Zjednodušený model zachycující elastohydrodynamickou nestabilitu. Dvě přímá aktivní vlákna o délce \(\ell \) připojená na obou stranách kulového tělesa o poloměru \(a\) jsou nakloněna pod úhlem ±θ od normály povrchu buněčného těla, \(\hat{{\bf{N}}}}), a působí na buňku tangenciální silou \(f\ell \hat{{\bf{t}}}), což vede k plavání modelové bakterie rychlostí \(U\hat{{\bf{y}}}).
Bakterie s ohebnými háčky podléhají plavecké nestabilitě
Zkoumání výsledků našeho výpočetního modelu odhaluje pozoruhodnou elastohydrodynamickou nestabilitu, znázorněnou na obr. 3 v případě Nf = 4 bičíků, což je průměrný počet bičíků na buňce E. coli6. Bičíky jsou rozmístěny symetricky kolem povrchu buněčného těla. Výpočty začínáme s každým bičíkem nakloněným pod určitým malým úhlem od normály k povrchu a postupujeme systémem vpřed v čase, přičemž sledujeme polohu buňky v laboratorním snímku a polohu bičíků vzhledem k buněčnému tělu. Související videa jsou k dispozici online (viz doplňkové informace).
Plavecký pohyb pro bakterii plovoucí s Nf = 4 bičíky s pružným vs. tuhým háčkem. (A) Počáteční poloha a konformace každé buňky. (B) Tlačná buňka s ohebným háčkem při t = 200 (časy odstupňované podle rychlosti rotace bičíků). (C) Tlačná buňka s tuhým háčkem při t = 200. (D) Vzdálenost uražená každým plaváčkem (nedimenzovaná podle sklonu šroubovicových vláken) v závislosti na čase pro čtyři různé plaváčky: tuhý (kosočtverce) vs. ohebný háček (čtverce) a tlačný (vyplněné symboly) vs. stahovací (prázdné).
Na obr. 1 je znázorněna vzdálenost uražená každým plaváčkem. 3A-C je znázorněna trajektorie tlačné bakterie (tj. buňky s bičíkovými vlákny procházejícími normální rotací CCW) se dvěma různými tuhostmi háčku v časové škále t = 200 (čas nedimenzovaný rychlostí rotace bičíků). Zatímco obě buňky začínají na stejném místě (A), buňka s ohebným háčkem (K = 0,1) končí se všemi svými bičíkovými vlákny omotanými dozadu a je schopna plavat pětkrát rychleji (B) než buňka s tuhým háčkem (K = 100), jejíž bičíková vlákna zůstala ve stejné rozprostřené konfiguraci (C). To je kvantifikováno na obr. 3D, kde vykreslujeme čistou uraženou vzdálenost jako funkci času (škálovanou podle sklonu šroubovice). Buňka s ohebným háčkem (vyplněný čtverec) plave trvale rychleji než buňka s tuhým háčkem (vyplněný kosočtverec). Pokud alternativně obrátíme směr rotace bičíků tak, aby se otáčely ve směru hodinových ručiček (CW), buňka se stane tahounem a nepřejde k rychlému plavání ani u ohebného háčku (prázdné čtverce), ani u tuhého (prázdné kosočtverce). Všimněte si, že oba rigidní případy (pushers a pullers; kosočtverce) mají identickou velikost plavání, což je důsledek kinematické reverzibility Stokesových toků5. Důležité je, že přechod k rychlému plavání u ohebných tlačných bakterií nenastává plynule se změnami tuhosti háčku, ale dochází k němu při kritické bezrozměrné hodnotě Kc ≈ 1 (nedimenzované pomocí viskozity tekutiny, sklonu šroubovicového vlákna a frekvence rotace). Při hodnotě vyšší než Kc zůstávají všechny bičíky normálně k buňce (θ ≈ 0), což vede k zanedbatelnému plavání, zatímco při hodnotě nižší než Kc se všechny bičíky ovíjejí za buňkou (|θ| ≈ π/2), což vede k čisté lokomoci.
Tento ostrý přechod nemá původ ve vzpěrné nestabilitě háčku, která je zde modelována pouze na úrovni torzní pružiny16. Místo toho nestabilita vzniká z obousměrné vazby mezi konformací bičíku a lokomocí buňky. Pro odhalení fyziky této nestability se podrobněji zabýváme případem sférického buněčného těla a dvou bičíků, což je minimální konfigurace schopná ukázat nestabilitu a zároveň zachytit stejnou fyziku jako geometricky složité případy (viz související filmy v doplňkových informacích). Výsledky výpočtů v ustáleném stavu v tomto případě jsou zobrazeny v hlavní části obr. 4 (symboly a tenké čáry) pro úhel θ mezi osou bičíkatých vláken a buněčným tělem (A) a pro čistou rychlost plavání buňky v laboratorním rámu U (B). Zatímco konformace bičíků tažných bakterií je nezávislá na tuhosti háčku a vede k nulovému plavání (světle červená kolečka), u tlačných buněk je zřejmý náhlý skok do ovinuté konformace a čistá lokomoce pro tuhost háčku nižší než Kc ≈ 0.79 (tmavě modré kroužky).
Úhly sklonu bičíků v ustáleném stavu (|θ|, A) a rychlosti plavání v laboratorním rámečku (U, B) pro úplný výpočetní model z obr. 2A se dvěma bičíky (symboly a tenké čáry) a pro jednoduchý model aktivního vlákna z obr. 2B (tlusté čáry) v závislosti na bezrozměrné konstantě háčkové pružiny, K. Zelená čára a světle červené symboly: tahová bakterie, pro kterou je stav bez plavání vždy stabilní; tmavě červená čára a tmavě modré symboly: tahová bakterie, která prochází přechodem k plavání pro K < Kc. Přerušovaná čára ukazuje teoreticky předpovězenou kritickou pružinovou konstantu, Kc ≈ 0,53.
Analytický model elastohydrodynamické nestability
Pozorovanou dynamiku lze zachytit analytickým modelem, který ukazuje, že k plavání dochází v důsledku lineární elastohydrodynamické nestability. Uvažujme jednoduchý geometrický model znázorněný na obr. 2. Dvě přímá aktivní vlákna o délce \(\ell \) jsou symetricky připojena na obou stranách sférického buněčného tělesa o poloměru a a jsou nakloněna o symetrické úhly ±θ od normály povrchu tělesa, \(\hat{{\bf{N}}}) (všimněte si, že asymetrický režim naklonění, který zde není uvažován, by vedl k přechodu v rotaci místo translace). Každé vlákno, pružně připojené k tělu buňky pomocí háčku modelovaného jako torzní pružina s tuhostí K, tlačí na buňku podél svého tangenciálního směru s hustotou hnací síly \(f\hat{{\bf{t}}}), což má za následek plavání bakterie rychlostí \(U\hat{{\bf{y}}}) (veškerý zápis viz obr. 2). Při pohybu CCW směřují hnací síly k tělu buňky (f < 0) a buňka je tlačná. Naopak při pohybu CW směřují hnací síly od buňky (f > 0) a plavec je tahoun.
Rychlost plavání (U) a rychlost změny konformace vláken (\(\dot{\theta }\)) lze získat vynucením rovnováhy sil a momentů. Použijeme-li c||a c⊥ pro označení koeficientů odporu pro štíhlé vlákno pohybující se rovnoběžně, resp. kolmo k jeho tečně (viz doplňkový materiál), získáme rovnováhu sil působících na celou buňku ve směru plavání, \(\hat{{\bf{y}}}) se zapíše jako
kde první dva členy jsou způsobeny odporem na těle buňky a na aktivních vláknech v důsledku plavání, třetí člen je odpor na vláknech v důsledku rotace a poslední člen je celková hnací síla působící na buňku.
Druhá rovnice vychází z rovnováhy momentu na každém aktivním vlákně, zapsané ve směru \(\hat{{\bf{z}}}=\hat{{\bf{x}}}krát \hat{{\bf{y}}}) v místě uchycení na povrchu buňky jako
kde první člen je hydrodynamický moment způsobený rotací vlákna, druhý je hydrodynamický moment způsobený odporem při plavání a poslední člen je pružný obnovující moment od háku, který působí na návrat vlákna do jeho přímé konfigurace. Kombinací rovnic (1) a (2) získáme vývojovou rovnici pro θ
Když převládá pružný moment, je přímá konfigurace θ = 0 jediným ustáleným stavem, který není spojen s plaváním. Pokud je místo toho elastický moment zanedbatelný, stávají se možnými rovnovážnými stavy plavání s θ = ±π/2.
Pro zkoumání, jak změna tuhosti háku umožňuje přechod z jednoho stavu do druhého, řešíme rov. (3) numericky s příslušnými hodnotami bičíkových vláken pro divoký typ plovoucí buňky E. coli a pomocí velikosti f vedoucí ke shodě s úplnými výpočty při nulové tuhosti háčku (viz doplňkový materiál). Začneme s malými perturbacemi v okolí θ = 0 a vypočítáme dlouhodobý ustálený stav rovnice (3), přičemž výsledky jsou znázorněny na obr. 4 pro tlačný (tmavě červená čára) i tažný (zelená čára). Buňky pulleru nikdy neplavou pro jakoukoli hodnotu tuhosti háku a přímá konfigurace θ = 0 je vždy stabilní. Naproti tomu pushery nemohou plavat pro háčky tužší než kritická hodnota, ale prodělávají náhlý přechod k přímému plavání pro měkčí háčky, což je ve výborné shodě s výpočty pro úplný případ dvou bičíků (symboly na obr. 4).
Náhlý přechod k plavání pro kritickou tuhost háčku lze analyticky předpovědět linearizací rovnice. (3) v blízkosti rovnováhy při θ = 0, což vede k
Je-li f kladné (puller), pak konfigurace s θ = 0, která je spojena s žádným plaváním U = 0, je vždy lineárně stabilní vůči malým perturbacím pro libovolnou hodnotu K. Naproti tomu pushery s f < 0 jsou lineárně nestabilní pro K < Kc tak, že pravá strana rovnice (4) se stává kladnou, tj. \({K}_{c}=-\,f{c}_{\perp }{\ell }^{3}/(2{c}_{\perp }\ell +6\pi \mu a)\). Lineární elastohydrodynamická nestabilita proto umožňuje tlačným bakteriím s dostatečně pružnými háčky dynamicky přecházet do asymetrické konformace (θ ≠ 0) s čistým plaváním (U ≠ 0). Všimněte si, že jednoduchý teoretický model (lineární stabilita a numerické řešení rovnice 3) předpovídá kritickou bezrozměrnou tuhost Kc ≈ 0,53, což je v souladu s výpočty pro úplný model bakterie, Kc ≈ 0,79.
.