Rovnice se zlomky

Řešení zlomků

2. úroveň

ŘEŠENÍ ROVNIC SE ZLOMKY, převedeme ji na rovnici bez zlomků – kterou umíme vyřešit. Tento postup se nazývá vyjasňování zlomků.

Příklad 1. Řešte x:

x 3

+

x – 2 5

= 6.

Řešení. Vyjasněte zlomky takto:

Obě strany rovnice — každý člen — vynásobte LCM jmenovatelů. Každý jmenovatel se pak rozdělí na svůj násobek. Pak budeme mít rovnici bez zlomků.

LCM 3 a 5 je 15.

LCM 3 a 5 je 15. Proto obě strany rovnice vynásobíme číslem 15.

15-

x 3

+

15-

x – 2 5

= 15- 6

Na levé straně rozdělíme 15 na každý člen. Každý jmenovatel se nyní rozdělí na 15 – to je bod – a máme následující jednoduchou rovnici, která byla „vyčištěna“ od zlomků:

5x + 3(x – 2)	=
Snadno ji vyřešíme takto:
5x + 3x – 6	=	90
8x	=	90 + 6
.
x	=	96 8
	=

Říkáme „vynásobit“ obě strany rovnice, přesto využíváme toho, že na pořadí, v jakém násobíme nebo dělíme, nezáleží. (Lekce 1.) Nejprve tedy dělíme LCM každým jmenovatelem, a tím se očistíme od zlomků.

Volíme násobek každého jmenovatele, protože každý jmenovatel pak bude jeho dělitelem.

Příklad 2. Dělíme LCM každým jmenovatelem. Očistíme zlomky a vyřešíme x:

x 2

–

5x 6

=

1 9

Řešení. LCM 2, 6 a 9 je 18. (Lekce 23 aritmetiky.) Obě strany vynásobte 18 — a zrušte.

9x – 15x = 2.

Nemělo by být nutné 18 skutečně psát. Student by se měl jednoduše podívat na a zjistit, že 2 půjde do 18 devětkrát (9). Tento výraz tedy bude 9x.

Dále se podívejte na a uvidíte, že 6 bude do 18 třikrát (3). Tento člen tedy bude 3- -5x = -15x.

Nakonec se podívejte na a uvidíte, že 9 bude do 18 dvakrát (2). Tento člen se tedy stane 2 – 1 = 2.

Tady je vyjasněná rovnice a za ní její řešení:

.

9x – 15x	=	2
-6x	=	2
x	=	2 -6
x	=	–	1 3

Příklad 3. Proč? Vyřešte x:

½(5x – 2) = 2x + 4.

Řešení. Jedná se o rovnici se zlomkem. Vyčisti zlomky tak, že obě strany vynásobíš dvěma:

.

5x – 2	=	4x + 8
5x – 4x	=	8 + 2
x	=

V následujících úlohách, vyčistěte zlomky a vyřešte x:

Chcete-li zobrazit jednotlivé odpovědi, přejeďte myší přes barevnou oblast.
Chcete-li odpověď znovu zakrýt, klikněte na tlačítko „Obnovit“ („Reload“).
Nejprve si úlohu vyřešte sami!

.

Úloha 1.	x 2	–	x 5	=	3
LCM je rovna 10. Zde je vyjasněná rovnice a její řešení:
	5x	–	2x	=	30
	3x			=	30
	x			=

O řešení libovolné rovnice se zlomky, hned následující řádek, který napíšete —

5x – 2x = 30

–, by neměl obsahovat žádné zlomky.

Úloha 2.	x 6	=	1 12	+	x 8
LCM = 24. Zde je vyjasněná rovnice a její řešení:
	4x	=	2 + 3x
	4x -. 3x	=	2
	x	=	2

.

Úloha 3.	x – 2 5	+	x 3	=	x 2
LCM je rovna 30. Zde je vyjasněná rovnice a její řešení:
	6(x – 2) + 10x			=	15x
	6x – 12 + 10x			=	15x
	16x – 15x			=	12
	x			=

Úkol 4. Zlomek rovný zlomku.

.

.

x – 1 4	=	x 7
LCM je 28. V případě, že se zlomek rovná zlomku, je LCM 28. Zde je vyjasněná rovnice a její řešení:
7(x – 1)	=	4x
7x – 7	=	4x
7x – 4x	=	7
3x	=	7
x	=	7 3

Vidíme, že když se jeden zlomek rovná jednomu zlomku, pak lze rovnici vyřešit tzv. křížovým násobením.“

Úloha č. 5.	x – 3 3	=	x – 5 2
Zde je vyjasněná rovnice a její řešení:
	2(x – 3)	=	3(x – 5)
.
	2x – 6	=	3x – 15
	2x – 3x	=	– 15 + 6
	-x	=	-9
	x	=	9

Úloha č. 6.	x – 3 x – 1	=	x + 1 x + 2
Zde je vyjasněná rovnice a její řešení:
	(x – 3)(x + 2)	=	(x – 1)(x + 1)
	x² -x – 6	=	x² – 1
	-x	=	-1 + 6
	-x	=	5
	x	=	-5.

.

Úloha 7.	2x – 3 9	+	x + 1 2	=	x – 4
LCM je rovna 18. Zde je vyjasněná rovnice a její řešení:
	4x – 6 + 9x + 9			=	18x – 72
.
	13x + 3			=	18x – 72
	13x – 18x			=	– 72 – 3
	-5x			=	-75
	x			=

Úloha č. 8.	2 x	–	3 8x	=	1 4
LCM je 8x. Zde je vyjasněná rovnice a její řešení:
	16 – 3			=	2x
	2x			. =	13
	x			=	13 2

2. úroveň

Další lekce:

Obsah | Domů

Prosím, přispějte na udržení TheMathPage online.
Pomůže i 1 dolar

.