Charakteristika spirály
Typy spirál
Zdroje
Spirála je křivka tvořená bodem, který obíhá kolem pevné osy ve stále větší vzdálenosti. Lze ji definovat matematickou funkcí, která vztahuje vzdálenost bodu od počátku k úhlu, o který se otáčí. Mezi běžné spirály patří Archimédova spirála a hyperbolická spirála. Jiný typ spirály, nazývaný logaritmická spirála, se vyskytuje v mnoha případech v přírodě.
Charakteristika spirály
Spirála je funkce, která vztahuje vzdálenost bodu od počátku k úhlu, který s ním svírá kladná
Klíčové pojmy
Logaritmická spirála -Typ křivky definovaný vztahem r = ea q. Je to tvar, který se běžně vyskytuje v přírodě.
Počátek -Začáteční bod spirály. Známá také jako jádro.
Archimédova spirála -Typ křivky definovaný vztahem r = aq. Byla to první objevená spirála.
Ocas spirály -Část spirály, která se vine směrem od počátku.
osyx. Rovnice pro spirálu se obvykle udává v polárních souřadnicích. Polární souřadnicový systém je další způsob, jakým lze lokalizovat body na grafu. V pravoúhlém souřadném systému je každý bod definován svou vzdáleností x a y od počátku. Například bod (4,3) by se nacházel na ose x o 4 jednotky výše a na ose y o 3 jednotky výše. Na rozdíl od pravoúhlého souřadnicového systému používá polární souřadnicový systém k určení polohy bodu jeho vzdálenost a úhel od počátku. Běžný zápis pro tento systém je (r,θ)kde r představuje délku paprsku vedeného z počátku do bodu a θ představuje úhel, který tento paprsek svírá s osou x. Tento paprsek se často označuje jako vektor.
Stejně jako všechny ostatní geometrické útvary má i spirála určité vlastnosti, které ji pomáhají definovat. Střed neboli počáteční bod spirály je znám jako její počátek nebo jádro. Čára vinoucí se od jádra se nazývá chvost. Většina spirál je také nekonečná, to znamená, že nemá konečný koncový bod.
Typy spirál
Spirály se klasifikují podle matematického vztahu mezi délkou r vektoru poloměru a úhlem q, který svírá vektor s kladnou osou x. V případě spirál se jedná o úhel q, který svírá s kladnou osou x. Mezi nejběžnější patří Archimédova spirála, logaritmická spirála, parabolická spirála a hyperbolická spirála.
Nejjednodušší ze všech spirál objevil starořecký matematik Archimédes ze Syrakus (287-212 př. n. l.). Archimédova spirála odpovídá rovnici r = aθ, kde r a θ představují polární souřadnice bodu vyneseného v závislosti na délce poloměru a, který se rovnoměrně mění. V tomto případě je r úměrné θ.
Logaritmickou neboli rovnoramennou spirálu poprvé navrhl René Descartes (1596-1650) v roce 1638. Další matematik, Jakob Bernoulli (1654-1705), který významně přispěl k předmětu pravděpodobnosti, se rovněž zasloužil o popis významných aspektů této spirály. Logaritmická spirála je definována rovnicí r = eaθ, kde e je přirozená logaritmická konstanta, r a θ představují polární souřadnice a a je délka měnícího se poloměru. Tyto spirály jsou podobné kružnici, protože protínají své poloměry pod konstantním úhlem. Na rozdíl od kružnice však úhel, pod kterým její body protínají její poloměry, není pravý úhel. Také se tyto spirály liší od kružnice tím, že délka poloměrů se zvětšuje, zatímco u kružnice je délka poloměru konstantní. Příklady logaritmické spirály najdeme v celé přírodě. Schránka Nautila i vzory semen slunečnic mají tvar logaritmické spirály.
Parabolickou spirálu lze znázornit matematickou rovnicí r2 = a2θ. Tato spirála, kterou objevil Bonaventura Cavalieri (1598-1647), vytváří křivku běžně známou jako parabola. Další spirála, hyperbolická spirála, odpovídá rovnici r = a/θ.
Dalším typem křivky podobné spirále je šroubovice. Šroubovice je podobná spirále v tom, že je to křivka vytvořená otáčením kolem bodu ve stále větší vzdálenosti. Na rozdíl od dvourozměrných rovinných křivek spirály je však šroubovice trojrozměrná prostorová křivka, která leží na povrchu válce. Její body jsou takové, že svírá s průřezy válce konstantní úhel. Příkladem takové křivky je závit šroubu.
Viz také Logaritmy.
.