Tällä kalvolla on kaksi versiota Eulerin yhtälöistä, jotka kuvaavat, miten liikkuvan nesteen nopeus, paine ja tiheys liittyvät toisiinsa.Yhtälöt on nimetty Leonard Eulerin kunniaksi, joka oli Daniel Bernoullin oppilas ja tutki erilaisia nestedynamiikan ongelmia 1700-luvun puolivälissä.Yhtälöt ovat joukko kytkettyjä differentiaaliyhtälöitä, ja ne voidaan ratkaista tietylle virtausongelmalle käyttämällä laskennan menetelmiä.Vaikka yhtälöt näyttävät hyvin monimutkaisilta, ne ovat itse asiassa yleisemmän nestedynamiikan Navier-Stokin yhtälöiden yksinkertaistuksia. Eulerin yhtälöt jättävät huomiotta nesteen viskositeetin vaikutukset, jotka sisältyvät Navier-Stokesin yhtälöihin.Eulerin yhtälöiden ratkaisu on näin ollen vain approksimaatio todelliselle nesteongelmalle.Joillekin ongelmille, kuten ohuen siivekkeen lentokulmalle pienellä kohtauskulmalla, Eulerin yhtälöiden ratkaisu antaa hyvän mallin todellisuudesta. Toisissa ongelmissa, kuten rajakerroksen kasvussa tasaisella levyllä, Eulerin yhtälöt eivät mallinna ongelmaa oikein.
Maailmassamme on kolme avaruudellista ulottuvuutta (ylhäältä-alas, vasemmalta-oikealle, edestä-taakse) ja yksi aikaulottuvuus. Yleisesti ottaen Eulerin yhtälöissä on yksi ajasta riippuvainen jatkuvuusyhtälö massan säilymistä varten ja kolme ajasta riippuvaista momentin säilymisen yhtälöä.Kuvan yläosassa on esitetty Eulerin yhtälöiden yksinkertaistettu, kaksiulotteinen, tasainen muoto.Ongelmassa on kaksi riippumatonta muuttujaa, joidenkin alueidenx- ja y-koordinaatit. Riippuvia muuttujia on neljä, paine p, tiheys r ja kaksi nopeusvektorin komponenttia; u-komponentti on x-suunnassa ja v-komponentti on y-suunnassa.Kaikki riippuvat muuttujat ovat sekä x:n että y:n funktioita.Differentiaaliyhtälöt ovat siis osittaisdifferentiaaliyhtälöitäeikä tavallisia differentiaaliyhtälöitä, joita opiskelet alkeislaskutunnilla.
Huomaa, että differentiaaliyhtälön symboli eroaa tavallisista ”d /dt” tai ”d /dx”, joita näet tavallisissa differentiaaliyhtälöissä. Symbolia”
” käytetään merkitsemään osittaisdifferentiointia.Symboli osoittaa, että meidän on pidettävä kaikki riippumattomat muuttujat kiinteinä, lukuun ottamatta symbolin vieressä olevaa muuttujaa, kun laskemme derivaatan. Yhtälösarja on:
Jatkuvuus: (r * u)/x + (r * v)/y = 0
X – Momentti: (r * u^2)/x + (r * u * v)/y = – p/x
Y – Momentti: (r * u * v)/x + (r * v^2)/y = – p/y
Vaikkakin nämä yhtälöt näyttävät hyvin monimutkaisilta, insinööriopiskelijoille opetetaan niiden johtaminen hyvin samankaltaisella prosessilla kuin momentin säilymisen verkkosivulla esittelemämme derivointi. Nämä kaksi momenttiyhtälöä ovat kaksiulotteisia yleistyksiä momentin säilymisen yhtälöstä. Massavirtausnopeusyhtälö, joka on kehitetty massan säilymisen verkkosivulla, on tässä esitetyn jatkuvuusyhtälön yksiulotteinen ratkaisu.
Yhtälöiden yleistettyjä ratkaisuja on vaikea saada.Huomaa, että kaikki riippuvaiset muuttujat esiintyvät kussakin yhtälössä.Virtausongelman ratkaisemiseksi on ratkaistava kaikki kolme yhtälöä samanaikaisesti; siksi kutsumme tätä kytketyiksi yhtälöjärjestelmiksi. Tämän järjestelmän ratkaisemiseen tarvitaan itse asiassa vielä yksi yhtälö, koska esitämme vain kolme yhtälöä neljälle tuntemattomalle. Aiemmin insinöörit tekivät yhtälöryhmään lisää approksimaatioita ja yksinkertaistuksia, kunnes heillä oli yhtälöryhmä, jonka he pystyivät ratkaisemaan.Viime aikoina on käytetty nopeita tietokoneita yhtälöiden approksimaatioiden ratkaisemiseen käyttäen erilaisia tekniikoita, kuten äärellinen differenssi, äärellinen tilavuus, äärelliset elementit ja spektrimenetelmät.Tätä tutkimusaluetta kutsutaan laskennalliseksi virtausdynamiikaksi tai CFD:ksi.
Yksi aiemmin käytetyistä yksinkertaistamismenetelmistä oli olettaa, että kaasun nopeus oli hyvin pieni ja jättää kokoonpuristuvuuden vaikutukset huomioimatta.Kokoonpuristumattomassa virtauksessa tiheys on vakio, ja voimme poistaa sen jatkuvuusyhtälöstä:
Jatkuvuus: u/x + v/y = 0
Voidaan tämän jälkeen kertoa momenttiyhtälöt ja käyttää jatkuvuusyhtälöä niiden yksinkertaistamiseen:
X – Momentti: u * u/x + v * u/y = – / r
Y – Momentti: u * v/x + v * v/y = – / r
Tämän yhtälöryhmän avulla kehitettiinFoilSimtietokoneohjelmassa käytetty algoritmi.
Toiminnot:
Ohjattuja kierroksia
Navigointi ..
Aloittelijan oppaan etusivu.