Geometria: Linjat ja kulmat

Linjat ja kulmat muodostavat lähes kaikki geometriset muodot. Sukelletaan siis geometriaan keskustelemalla näistä muotojen peruselementeistä.

Nyt voimme alkaa puhua geometriasta. Ja Geometria on tietysti muotojen tutkimista. Joillekin visuaalisesti suuntautuneille ihmisille geometria tulee hyvin luonnostaan. Ja toisille ihmisille, jotka eivät ole kehittäneet visuaalisia taitojaan, geometria voi olla hieman vaikeampaa.

Etenkin niille ihmisille, joille geometria on hieman vaikeampaa, sanon seuraavaa.

Ei riitä, että vain katsotte näitä videoita. Kun olette katsoneet nämä, ottakaa paperi ja viivotin esiin ja piirtäkää nämä eri muodot, oikeasti fyysisesti piirtäkää ne paperille. Ja rakentakaa muotoja ja fyysisiä esineitä. Voitte käyttää kyniä, hammastikkuja, olkia, mitä tahansa sellaista. Rakentakaa oikeasti kolmioita, suorakulmioita, katsokaa niitä.

Käyttäkää käsiänne!

Käyttäkää käsiänne, kätemme ovat itse asiassa osa älyämme. Kun käytät käsiäsi, aktivoit aivojesi jokaista osaa. Se tekee siitä paljon helpompaa, ymmärtää kaikki nämä suhteet.

Aloitetaan siis viivoista. Viivat ovat suoria ja ne jatkuvat ikuisesti molempiin suuntiin. Tässä meillä on joukko erilaisia suoria viivoja, moniin eri suuntiin. Sinun täytyy kuvitella, että jokaisen viivan päässä on joitakin nuolia tai jotain sellaista. Tämä osoittaa, että viivat todella jatkuvat ikuisesti molempiin suuntiin.

Suorat ja kulmat: Kaikki viivat ovat suoria

On hyvin tärkeää olla sekoittamatta suoraa ja vaakasuoraa. Näillä kahdella sanalla on hyvin erilaiset merkitykset, mutta joskus jotkut oppilaat sekoittavat ne keskenään. Kaikki viivat ovat suoria. Niinpä kaikki edellisellä kalvolla olleet viivat, eri suuntiin menevät viivat, ovat kaikki suoria viivoja.

Ja kokeessa voi aina olettaa, että viiva on suora. Jos se näyttää suoralta, se on suora. Se on aina totta testissä. Mutta jotkut viivat piirretään vaakasuoraan mukavuuden vuoksi. Koskaan ei kuitenkaan voi olettaa, että viivat ovat täsmälleen vaakasuorassa tai pystysuorassa vain siksi, että ne näyttävät sellaisilta. Ihmiset menevät tästä todella sekaisin. Olet hämmentynyt, jos luulet, että vaakasuora ja suora tarkoittavat samaa asiaa.

Siten sanomme, että testin perusteella voi olettaa, että viivat ovat suoria. Ihmiset olettavat virheellisesti, että tämä tarkoittaa myös sitä, että he voivat olettaa viivojen olevan vaakasuoria, ja se ei ole oikein. Viivasegmentti on äärellinen pätkä suorasta.

Esimerkki

Tässä on siis esimerkiksi viivasegmentti, jolla on kaksi päätepistettä. Ja kun nämä päätepisteet on merkitty, siitä on helppo keskustella.

Tämä on viivasegmentti AB. Ja testiä varten AB voi tarkoittaa joko itse viivasegmentin varsinaista muotoa. Tai se voi tarkoittaa viivasegmentin pituutta, numeerista pituutta. Kahden suoran tai kahden segmentin välillä on kulma. Esimerkiksi tässä on kulma.

Suorat ja kulmat: Understanding Angles

Tämä sattuu olemaan yhden viivan ja yhden segmentin välissä. Paras tapa ymmärtää kulma on ajatella sitä dynaamisesti, kääntymisenä tai pyörimisenä. Eli toisin sanoen menemällä täältä tänne. Sitä kulma on, se on tuo dynaaminen tila kahden viivan välissä. Jos merkitsemme pisteitä, voimme puhua kulmasta.

Kulmien merkitseminen

Voisimme kutsua tätä kulmaa joko CDE:ksi tai EDC:ksi, piste D, kulman kärki. Juuri tässä kulman pisteen täytyy olla nimen keskellä. Voimme siis kutsua joko CDE:ksi tai EDC:ksi, kunhan kärki on keskellä. Joskus näissä videoissa käytän myös yksittäisen kulman nimeä, jos ei ole epäselvyyttä. Esimerkiksi tässä kaaviossa on vain yksi kulma.

Siten voisin kutsua sitä kulmaksi D. Teoriassa se voisi esiintyä testissä. Tosin testissä ollaan usein sen verran varovaisia, että kulmalle käytetään aina kolmikirjaimista nimeä. Mittaamme kulman suuruuden asteina. Testi voi ilmoittaa nämä suoraan, siis 50 astetta.

Vaihtoehtoisesti testi voi merkitä kaavion ja ilmoittaa kulman mitan tekstissä. Eli kulma GFH = 50 astetta, koska kaavion pisteisiin laitetaan kirjaimet. Voimme vain käyttää sitä puhuaksemme tuosta mitasta, asteiden lukumääränä tekstissä. Itse asiassa, luultavasti se suosikki asia on seuraava vain määrittää kulma, jossa on muuttuva määrä astetta.

Testauksen joustava muoto

Tämän joustavan muodon avulla he voivat joko määrittää kulman, sillä tekstissä he voivat sanoa x = 50, tai he voivat kysyä siitä kysymyksen. He voisivat antaa muuta tietoa ja sanoa, että etsi x. He siis haluaisivat tehdä näin. Käymme nopeasti läpi perusastefaktat. Suorassa kulmassa on 180 astetta, ja tietysti muistakaa, että suora voi kulkea mihin suuntaan tahansa.

Mutta jos suoralla on mikä tahansa piste, koko matkan suoran toiselta puolelta toiselle. Se on 180 astetta, suorassa kulmassa on 90 astetta. Tässä meillä on siis kaksi suoraa, jotka leikkaavat toisensa suorassa kulmassa. Tässä leikkauspisteessä on itse asiassa neljä suoraa kulmaa. Jos kaksi suoraa tai segmenttiä kohtaavat suorassa kulmassa, niitä kutsutaan kohtisuoriksi, se on termi, joka sinun pitäisi tietää.

Perpendikulaariset viivat ja suorat kulmat

Testi voi joko piirtää tuon pienen neliön, kohtisuoran merkin, joka on tuo pieni neliö, tai se voi ilmoittaa, että kulma on 90 astetta. Se voi merkitä kaavioon 90 astetta tai X astetta ja kertoa tekstissä, että X on yhtä kuin 90. Ne voivat kertoa meille monin eri tavoin, että kulma on 90 astetta. Älä oleta, että kaksi suoraa on kohtisuorassa, jos sinulle ei nimenomaisesti sanota niin, tämä on usein ansa.

Esitettäköön, että nämä pisteet esiintyvät osana suurempaa kaaviota, eikä lisätietoja anneta. Varmasti näyttää siltä, että nuo voisivat olla suorassa kulmassa, ja se on hyvin houkutteleva oletus. Testi haluaisi sinun tekevän sen virheen, että oletat viivojen olevan kohtisuorassa ja kulman olevan tasan 90 astetta.

Itse asiassa se ei ole, olen piirtänyt tämän niin, että, tuo kulma tuossa on 89,6 asteen kulma. Se on siis lähellä suoraa kulmaa, ja se saattaa näyttää paljain silmin suoralta kulmalta. Mutta mikään suorakulman erityisominaisuuksista ei pidä paikkaansa.

Ja tulevissa videoissa puhumme lisää erityisistä suorakulmaominaisuuksista. Mikään erityisistä suorakulmaominaisuuksista ei ole tosi, jos kulma on lähellä 90 mutta ei täsmälleen 90.

Erittäin tärkeää, joten et voi olettaa, että kaksi suoraa on kohtisuorassa, ellei sinulla ole siihen jonkinlaista perustetta.

Suorat ja kulmat: Congruent Shapes

Yksi termi, jonka esittelen ja joka ei luultavasti tule esiintymään kokeessa, on congruent. Kongruentti on muotojen osalta sama kuin yhtä suuri. Käytämme käsitettä ”yhtä suuri” lukujen osalta ja hyvin samanlaista käsitettä ”yhtenevä” muotojen osalta.

Kaksi muotoa ovat yhteneviä, jos ne ovat samanmuotoisia ja samankokoisia.

Neillä ei tarvitse olla sama suunta. Eli esimerkiksi tässä olevat violetti ja vihreä muoto ovat kongruentteja, toinen on käännetty toisesta. Toisen voisi sanoa olevan oikeakätinen versio ja toisen vasenkätinen versio, mutta pohjimmiltaan kyseessä on sama muoto.

Nämä kaksi ovat yhteneviä, vaikka ne ovat eri suunnassa.

Halkaisijat

Halkaisija leikkaa jonkin asian kahteen yhtenevään osaan. Kulman puolittaja leikkaa kulman kahdeksi pienemmäksi yhteneväksi kulmaksi. Eli esimerkiksi tässä meillä on kulman puolittaja. Jos meille kerrotaan esimerkiksi, että suuri kulma PNM on 40 astetta ja että NQ puolittaa kulman, voimme päätellä, että kahden pienemmän kulman on oltava kukin 20 astetta.

Kummankin on oltava täsmälleen puoliksi yhtä suuri kuin toisensa, koska kulma on puolitettu. Vastaavasti segmentin puolittaja voi olla piste, toinen segmentti tai suora. Puolittaja jakaa segmentin kahteen yhtä suureen puolikkaaseen. Huomaa, että tässä segmentti ST puolittaa PQ:n. Huomaa myös, että on ehdottomasti totta, että PQ ei halkaise ST:tä, koska SR on selvästi suurempi kuin RT.

Se, että ST halkaisee PQ:n, tarkoittaa siis, että R on PQ:n keskipiste ja että PR = RQ. Olemme jakaneet sen kahteen yhtä suureen puolikkaaseen, ja se taas tarkoittaa aina puolittamista. Joskus suora halkaisee segmentin ja on myös kohtisuorassa sitä vastaan. Viivaa kutsutaan segmentin kohtisuoraksi puolittajaksi.

Viiva VW on kohtisuorassa, se on TU:n kohtisuora puolittaja. Jokainen piste segmentin kohtisuoralla puolittajalla on yhtä kaukana segmentin kahdesta päätepisteestä. Tämä on siis todella kätevä tieto, joka näkyy monin eri tavoin. Suorakulmainen puolittaja on itse asiassa kaikkien mahdollisten pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana segmentin kahdesta päätepisteestä.

Suorat ja kulmat: Katsotaanpa kulmia

Nyt muutamia perustietoja kulmista. Olemme jo sanoneet, että suora sisältää 180 astetta. Tämä tarkoittaa, että jos kaksi tai useampi kulma sijaitsee suoralla, niiden kulmien summa on 180 astetta. Voimme siis esimerkiksi olettaa, että tuo pitkä viiva on suora. Siinä ei ole mitään pientä mutkaa tuossa kohdassa.

Testi ei tee sitä meille, jos se näyttää suoralta, se on suora. Ja siksi tiedämme, että nuo kaksi kulmaa yhdessä muodostavat 180. Eli x + y = 180. Jos näiden kahden kulman summa on 180, niin niitä kutsutaan täydentäviksi. Suoralla linjalla olevat kaksi kulmaa ovat aina toisiaan täydentäviä. Joten p + q = 180.

Kun kaksi suoraa risteää

Kun kaksi suoraa risteää, syntyy neljä kulmaa. Tässä meillä on siis kaksi viivaa, jotka jatkuvat ikuisesti molempiin suuntiin, niiden on risteydyttävä, ja nämä neljä kulmaa muodostuvat. Toisiaan vastakkaisia kulmapareja, joilla on vain yhteinen kärkipiste, kutsutaan pystykulmiksi, ja pystykulmat ovat aina yhteneviä. Joten esimerkiksi A ja C, niillä ei ole yhteisiä sivuja.

A:lla ja c:llä on yhteistä vain se, että ne koskettavat toisiaan yhdessä kärkipisteessä. Ne koskettavat kärkipisteessä, b ja d koskettavat myös kärkipisteessä. Ja siksi niitä kutsutaan pystykulmiksi, koska ne kohtaavat kärkipisteessä. Tiedämme siis, että pystykulmat ovat yhteneviä, tiedämme, että a = c ja b = d. Tietenkin vierekkäiset kulmaparit, a + b, b + c, ovat kaikki toisiaan täydentäviä.

Ne kaikki summaavat 180 astetta, koska meillä on kulmapareja suoralla. Jos meille siis annettaisiin yksi kulma tässä kaaviossa, voimme löytää kolme muuta. Jos esimerkiksi a = 35, tiedämme, että c:n on oltava yhtä suuri. Myös sen on oltava 35 astetta. Ja b:n ja d:n on oltava lisäkulma 145 astetta. Joten mikä tahansa kaksi paria yhdessä, mikä tahansa kaksi kulmaa yhdessä parissa, summaavat 180 astetta.

Suorat ja kulmat: Harjoitustehtävä yksi

Tässä on harjoitustehtävä, pysäytä video ja sitten puhutaan tästä.

Okei Kaaviossa x = 40 astetta ja RT puolittaa suuren kulman SRU ,joka on hyvin suuri kulma. No SRU on tuon 40 asteen kulman lisäkulma, joten SRU:n on oltava 180 miinus 40 eli 140. SRU on siis 140.

Ja tämä kulma on puolitettu, koska se on puolitettu se on leikattu kahteen yhtä suureen puolikkaaseen. Joten on kaksi puolikasta, joista kummankin on oltava 70 astetta. SRT = 70 astetta, TRU = 70 astetta. Ne ovat kahtia jaetun kulman kaksi yhtä suurta puolikasta. Huomatkaa nyt, että kulma TRV, tuo kulma muodostuu TRU:sta ja kulmasta x, jonka me tunnemme.

Tiedämme, että TRU on 70 astetta, tiedämme, että kulma X on 40 astetta, joten laskemme ne yhteen. TRV:n on oltava 110 asteen kulma. Huomatkaa nyt, että TRV on SRW:n pystykulma, joten näiden kahden on oltava yhtä suuret. Tämä tarkoittaa, että myös SRW:n on oltava 110 asteen kulma, joten Y on 110. Lopuksi käymme läpi yhdensuuntaiset suorat.

Suorat ja kulmat: Yhdensuuntaiset suorat

Jos kaksi suoraa on yhdensuuntaisia, ne eivät koskaan leikkaa toisiaan, ja ne ovat aina täsmälleen yhtä kaukana toisistaan. Ja tämä on taas yksi näistä ominaisuuksista, kuten kohtisuoruus, lähellä yhdensuuntaisuutta, ei lasketa papuja. Sinun on tiedettävä, että kaksi suoraa ovat täsmälleen yhdensuuntaisia. On selvää, että koska yhdensuuntaiset viivat eivät koskaan risteä, ne eivät koskaan muodosta kulmia toistensa kanssa.

Transversaalisuorat

Voidaan kuitenkin saada monia kulmia, jos kolmas ei-paralleeli suora leikkaa kaksi yhdensuuntaista suoraa. Tätä kolmatta suoraa kutsutaan poikittaissuoraksi. Poikkisuora on viiva, joka leikkaa kaksi yhdensuuntaista viivaa. Tässä meillä on siis transversaali, joka leikkaa yhdensuuntaiset viivat WX ja YZ. Siinä on kahdeksan enkeliä.

Nyt neljä suurta enkeliä ovat kaikki yhtä suuria. Ja neljä pientä enkeliä ovat kaikki yhtä suuria. Eli toisin sanoen a = d = e = h ja b = c = f = g, siinä on iso idea. Nyt näiden joukossa, tietysti voitte muistaa geometriasta, on kaikenlaisia erikoisnimiä.

Vaihtoehtoiset sisäkulmat ja saman puolen ulkokulmat ja vastaavat kulmat. Jos haluatte muistaa kaikki nuo erikoisnimet, se on hienoa, teidän ei tarvitse. Sinun tarvitsee vain muistaa, että kaikki suuret kulmat ovat yhtä suuret, kaikki pienet kulmat ovat yhtä suuret. Tässä on siis taas kaavio, ja nyt olen merkinnyt sen niin, että on selvää, että kaikki on yhtä suuri.

Suorat ja kulmat: Täydentävät kulmat

Huomaa myös, että p ja q ovat täydentäviä. Eli mikä tahansa iso kulma plus mikä tahansa pieni kulma on yhtä kuin 180 astetta, se on todella iso ajatus. Näin ollen, jos meille annetaan minkä tahansa tässä olevan kulman aste, voimme löytää seitsemän muuta kulmaa. Yhteenvetona voidaan todeta, että puhuimme suorista ja suoran osista, puhuimme kulmista ja asteista.

Me huomautimme, että suorassa kulmassa on 180 astetta ja suorassa kulmassa 90 astetta. Puhuimme kulman puolittajista ja kohtisuorista puolittajista. Kulmanpuolikkaalla jaetaan kulma kahteen pienempään yhtä suureen kulmaan. Kohtisuoran puolittaja on kohtisuorassa pätkään nähden ja jakaa sen kahteen yhtä suureen puolikkaaseen.

Puhuimme siitä, miten kaksi suoralla olevaa kulmaa ovat toisiaan täydentäviä. Pystykulmat ovat yhteneviä. Ja puhuimme kulmista, jotka muodostuvat poikkisuorasta, joka leikkaa parin yhdensuuntaisen suoran. Ja puhumme monista näiden perusideoiden sovelluksista tulevissa videoissa.