Matematiikka saattaa olla enemmän ympäristötiede kuin uskommekaan. Vaikka se on ikuisten totuuksien etsimistä, monet matemaattiset käsitteet juontavat juurensa jokapäiväiseen kokemukseen. Astrologia ja arkkitehtuuri innoittivat egyptiläisiä ja babylonialaisia kehittämään geometriaa. Mekaniikan tutkiminen 1600-luvun tieteellisen vallankumouksen aikana toi meille laskennan.
Merkillistä kyllä, myös kvanttiteorian ideat osoittautuvat kantavan valtavaa matemaattista voimaa, vaikka meillä on vain vähän päivittäistä kokemusta alkeishiukkasista. Kvanttiteorian omituinen maailma – jossa asiat voivat näyttää olevan kahdessa paikassa yhtä aikaa ja johon sovelletaan todennäköisyyden lakeja – ei ainoastaan edusta perustavampaa luonnonkuvausta kuin edeltäjänsä, vaan se tarjoaa myös rikkaan kontekstin modernille matematiikalle. Voisiko kvanttiteorian looginen rakenne, kun se on täysin ymmärretty ja omaksuttu, inspiroida uutta matematiikan alaa, jota voitaisiin kutsua ”kvanttimatematiikaksi”?
Matematiikan ja fysiikan välillä on tietenkin pitkäaikainen ja läheinen suhde. Galileo kirjoitti tunnetusti luonnon kirjasta, joka odottaa purkamista: ”Filosofia on kirjoitettu tähän suureen kirjaan, maailmankaikkeuteen, joka on jatkuvasti avoinna katseellemme”. Mutta kirjaa ei voi ymmärtää, ellei ensin opi ymmärtämään sen kieltä ja lukemaan kirjaimia, joilla se on kirjoitettu. Se on kirjoitettu matematiikan kielellä.” Nykyaikaisemmalta ajalta voimme lainata Richard Feynmania, jota ei tunnettu abstraktin matematiikan tuntijana: ”Niille, jotka eivät tunne matematiikkaa, on vaikea välittää todellista tunnetta luonnon kauneudesta, syvimmästä kauneudesta. … Jos haluaa oppia luonnosta ja arvostaa luontoa, on välttämätöntä ymmärtää kieltä, jolla se puhuu.” (Toisaalta hän myös totesi: ”Jos kaikki matematiikka katoaisi tänään, fysiikka siirtyisi tasan viikon taaksepäin”, mihin eräs matemaatikko vastasi nokkelasti: ”Tämä oli se viikko, jolloin Jumala loi maailman.”)
Matemaattinen fyysikko ja Nobel-palkittu Eugene Wigner on kirjoittanut kaunopuheisesti matematiikan hämmästyttävästä kyvystä kuvata todellisuutta luonnehtimalla sitä nimellä ”matematiikan kohtuuton tehokkuus luonnontieteissä”. Samat matemaattiset käsitteet esiintyvät monissa eri yhteyksissä. Näinä päivinä näyttäisi kuitenkin käyvän päinvastoin: kvanttiteorian kohtuuton tehokkuus modernissa matematiikassa. Hiukkasfysiikasta peräisin olevilla ideoilla on kummallinen taipumus esiintyä mitä erilaisimmilla matemaattisilla aloilla. Tämä pätee erityisesti säieteoriaan. Sen stimuloivalla vaikutuksella matematiikassa tulee olemaan kestävä ja palkitseva vaikutus, olipa sen lopullinen rooli perusfysiikassa mikä tahansa. Sen koskettamien tieteenalojen määrä on huimaava: analyysi, geometria, algebra, topologia, esitysteoria, kombinatoriikka, todennäköisyyslaskenta – luettelo jatkuu loputtomiin. Alkaa käydä sääliksi opiskelijaparkoja, jotka joutuvat oppimaan kaiken tämän!
Mikä mahtaa olla perimmäinen syy tähän kvanttiteorian kohtuuttomaan tehokkuuteen? Mielestäni se liittyy läheisesti siihen, että kvanttimaailmassa kaikki, mikä voi tapahtua, tapahtuukin.
Klassinen mekaniikka yrittää hyvin kaavamaisesti laskea, miten hiukkanen kulkee pisteestä A pisteeseen B. Suositeltava reitti voisi olla esimerkiksi geodeettista polkua pitkin – polkua, jolla on minimaalinen pituus kaarevassa avaruudessa. Kvanttimekaniikassa tarkastellaan sen sijaan kaikkien mahdollisten reittien kokoelmaa A:sta B:hen, vaikka ne olisivat kuinka pitkiä ja mutkikkaita. Tämä on Feynmanin kuuluisa ”summa historioista” -tulkinta. Fysiikan lait antavat sitten kullekin polulle tietyn painoarvon, joka määrittää todennäköisyyden, jolla hiukkanen liikkuu kyseistä rataa pitkin. Newtonin lakeja noudattava klassinen ratkaisu on yksinkertaisesti todennäköisin monien muiden joukossa. Kvanttifysiikka tutkii siis luonnollisella tavalla kaikkien polkujen joukkoa painotettuna kokonaisuutena, jolloin voimme laskea yhteen kaikki mahdollisuudet.
Tämä kokonaisvaltainen lähestymistapa, jossa kaikkea tarkastellaan kerralla, on hyvin pitkälti modernin matematiikan hengessä, jossa objektien ”kategorioiden” tutkimisessa keskitytään paljon enemmän keskinäisiin suhteisiin kuin mihinkään yksittäiseen esimerkkiin. Juuri tämä lintuperspektiivi kvanttiteoriassa tuo esiin yllättäviä uusia yhteyksiä.
Kvanttilaskimet
Silmiinpistävä esimerkki kvanttiteorian taikuudesta on peilisymmetria – todella hämmästyttävä tilojen vastaavuus, joka on mullistanut geometrian. Tarina alkaa enumeratiivisesta geometriasta, algebrallisen geometrian vakiintuneesta, mutta ei kovin jännittävästä haarasta, joka laskee objekteja. Tutkijat saattavat esimerkiksi haluta laskea Calabi-Yau-avaruuksien käppyröiden lukumäärän – Einsteinin gravitaatioyhtälöiden kuusiulotteisten ratkaisujen, jotka ovat erityisen kiinnostavia säieteoriassa, jossa niitä käytetään ylimääräisten avaruusulottuvuuksien kietomiseen.
Niin kuin kuminauhan voi kietoa sylinterin ympärille useaan kertaan, Calabi-Yau-avaruuden käppyrät luokitellaan kokonaisluvun, asteluvun, avulla, joka mittaa sitä, kuinka monta kertaa ne kiertyvät. Tietyn asteen käyrien lukumäärän löytäminen on tunnetusti vaikea ongelma, jopa yksinkertaisimmalle Calabi-Yau-avaruudelle, niin sanotulle kvinttiavaruudelle. Klassinen tulos 1800-luvulta kertoo, että viivojen – ensimmäisen asteen käyrien – lukumäärä on 2 875. Kahden asteen käyrien lukumäärä laskettiin vasta vuoden 1980 tienoilla, ja se osoittautui paljon suuremmaksi: 609 250. Kolmannen asteen käyrien lukumäärän selvittämiseen tarvittiin kuitenkin säieteoreetikoiden apua.
Vuoden 1990 tienoilla joukko säieteoreetikkoja pyysi geometroja laskemaan tämän luvun. Geometrit kehittivät monimutkaisen tietokoneohjelman ja saivat vastauksen. Mutta säieteoreetikot epäilivät sen olevan virheellinen, mikä viittasi virheeseen koodissa. Tarkastuksen jälkeen geometrikot vahvistivat, että virhe oli olemassa, mutta mistä fyysikot tiesivät sen?
Jousiteoreetikot olivat jo työskennelleet kääntääkseen tämän geometrisen ongelman fysikaaliseksi ongelmaksi. Sitä tehdessään he olivat kehittäneet tavan laskea minkä tahansa asteen käyrien lukumäärän kerralla. On vaikea yliarvioida tämän tuloksen aiheuttamaa järkytystä matemaattisissa piireissä. Se oli vähän kuin keksisi keinon kiivetä jokaiselle vuorelle, olipa se kuinka korkea tahansa!
Kvanttiteoriassa on täysin järkevää yhdistää kaikkien asteiden käyrien lukumäärät yhdeksi elegantiksi funktioksi. Näin koottuna sillä on suoraviivainen fysikaalinen tulkinta. Se voidaan nähdä Calabi-Yau-avaruudessa etenevän säikeen todennäköisyysamplitudina, jossa on sovellettu summa yli historioiden -periaatetta. Säikeen voidaan ajatella luotaavan kaikkia mahdollisia käppyröitä kaikilla mahdollisilla asteilla yhtä aikaa, ja se on siten supertehokas ”kvanttilaskin.”
Mutta varsinaisen ratkaisun löytämiseksi tarvittiin vielä toinenkin ainesosa: fysiikan ekvivalentti muotoilu käyttäen niin sanottua ”peili ”Calabi-Yau-avaruutta. Termi ”peili” on petollisen yksinkertainen. Toisin kuin tavallinen peili heijastaa kuvan, tässä tapauksessa alkuperäinen avaruus ja sen peili ovat hyvin erimuotoisia; niillä ei ole edes samaa topologiaa. Kvanttiteorian alalla niillä on kuitenkin monia yhteisiä ominaisuuksia. Erityisesti säikeiden eteneminen molemmissa tiloissa osoittautuu identtiseksi. Vaikea laskutoimitus alkuperäisellä moninaisuudella muuttuu paljon yksinkertaisemmaksi lausekkeeksi peilikuvassa, jossa se voidaan laskea yhdellä integraalilla. Et voilà!
Yhtäläisyyksien kaksinaisuus
Peilisymmetria havainnollistaa kvanttiteorian voimakasta ominaisuutta nimeltä kaksinaisuus: Kaksi klassista mallia voi muuttua ekvivalentiksi, kun niitä tarkastellaan kvanttisysteemeinä, ikään kuin taikasauvaa heilutettaisiin ja kaikki erot yhtäkkiä katoaisivat. Dualiteetit viittaavat taustalla olevan kvanttiteorian syviin mutta usein salaperäisiin symmetrioihin. Yleensä niitä ymmärretään huonosti ja ne ovat osoitus siitä, että ymmärryksemme kvanttiteoriasta on parhaimmillaankin epätäydellinen.
Ensimmäinen ja tunnetuin esimerkki tällaisesta ekvivalenssista on tunnettu hiukkas-aalto-dualiteetti, joka sanoo, että jokaista kvanttihiukkasta, kuten elektronia, voidaan pitää sekä hiukkasena että aaltona. Molemmilla näkökulmilla on etunsa, sillä ne tarjoavat erilaisia näkökulmia samaan fysikaaliseen ilmiöön. ”Oikea” näkökulma – hiukkas- vai aaltonäkökulma – määräytyy yksinomaan kysymyksen luonteen, ei elektronin luonteen perusteella. Peilisymmetrian kaksi puolta tarjoavat kaksi ja yhtä pätevää näkökulmaa ”kvanttigeometriaan.”
Matematiikalla on ihmeellinen kyky yhdistää eri maailmat. Minkä tahansa yhtälön unohdetuin symboli on nöyrä yhtäsuuruusmerkki. Ideat virtaavat sen kautta, ikään kuin yhtäsuuruusmerkki johtaisi sähkövirtaa, joka sytyttää ”Aha!”-hehkulampun mielessämme. Ja kaksoisviivat osoittavat, että ajatukset voivat virrata molempiin suuntiin. Albert Einstein oli ehdoton mestari löytämään yhtälöitä, jotka ilmentävät tätä ominaisuutta. Esimerkiksi E = mc2 on epäilemättä historian kuuluisin yhtälö. Se yhdistää kaikessa hillityssä tyylikkyydessään fysikaaliset käsitteet massa ja energia, joita pidettiin täysin erillisinä ennen suhteellisuusteorian syntyä. Einsteinin yhtälön avulla opimme, että massa voidaan muuttaa energiaksi ja päinvastoin. Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian yhtälö, vaikka se ei ole yhtä tarttuva ja tunnettu, yhdistää geometrian ja aineen maailmat yhtä yllättävällä ja kauniilla tavalla. Tiivis tapa tiivistää tuo teoria on, että massa kertoo avaruudelle, miten se kaartuu, ja avaruus kertoo massalle, miten se liikkuu.
Peilisymmetria on toinen täydellinen esimerkki yhtäläisyysmerkin voimasta. Se pystyy yhdistämään kaksi erilaista matemaattista maailmaa. Toinen on symplektisen geometrian alue, matematiikan haara, joka on suuren osan mekaniikan perustana. Toisella puolella on algebrallinen geometria, kompleksilukujen maailma. Kvanttifysiikka mahdollistaa ideoiden vapaan virtaamisen yhdeltä alalta toiselle ja tarjoaa odottamattoman ”suuren yhdistymisen” näille kahdelle matemaattiselle tieteenalalle.
On lohduttavaa huomata, miten matematiikka on kyennyt omaksumaan niin paljon kvanttifysiikan ja säieteorian intuitiivista, usein epätarkkaa päättelyä ja muuttamaan monet näistä ideoista tiukoiksi lausumiksi ja todistuksiksi. Matemaatikot ovat lähellä soveltaa tätä täsmällisyyttä homologiseen peilisymmetriaan, ohjelmaan, joka laajentaa huomattavasti säieteorian alkuperäistä ajatusta peilisymmetriasta. Tavallaan he kirjoittavat täydellisen sanakirjan kahdessa erillisessä matemaattisessa maailmassa esiintyvistä objekteista, mukaan lukien kaikki niiden täyttämät suhteet. Huomionarvoista on, että nämä todistukset eivät useinkaan noudata sitä polkua, jota fysikaaliset argumentit olivat ehdottaneet. Matemaatikkojen tehtävänä ei ilmeisesti ole siivota fysiikoiden jälkiä! Päinvastoin, monissa tapauksissa on jouduttu kehittämään täysin uusia ajatussuuntia todistusten löytämiseksi. Tämä on jälleen yksi todiste siitä syvällisestä ja vielä löytämättömästä logiikasta, joka on kvanttiteorian ja viime kädessä todellisuuden perustana.
Niels Bohr piti kovasti komplementaarisuuden käsitteestä. Käsite syntyi siitä, että kuten Werner Heisenberg osoitti epävarmuusperiaatteellaan, kvanttimekaniikassa voidaan mitata joko hiukkasen impulssi p tai sen sijainti q, mutta ei molempia samanaikaisesti. Wolfgang Pauli kiteytti tämän kaksinaisuuden nokkelasti kirjeessään Heisenbergille, joka oli päivätty 19. lokakuuta 1926, vain muutama viikko löydön jälkeen: ”Maailman voi nähdä p-silmällä ja q-silmällä, mutta jos avaa molemmat silmät, tulee hulluksi.”
Myöhempinä vuosinaan Bohr yritti viedä tätä ajatusta paljon laajempaan filosofiaan. Yksi hänen suosikkinsa täydentävistä pareista oli totuus ja selkeys. Ehkä matemaattisen tarkkuuden ja fysikaalisen intuition pari olisi lisättävä toisena esimerkkinä kahdesta toisensa poissulkevasta ominaisuudesta. Maailmaa voi katsoa matemaattisella silmällä tai sitä täydentävällä fysikaalisella silmällä, mutta ei kannata uskaltaa avata molempia.
Tämä artikkeli on painettu uudelleen espanjaksi osoitteessa Investigacionyciencia.es.