Lyhyet kätevät kaavat kylläisen höyryn tiheyksien ja entalpioiden laskemiseksi

Tässä postauksessa esitellään joukko käteviä lyhyitä kaavoja, joiden avulla voidaan suoraan laskea kylläisen höyryn tiheydet ja entalpiat (lämpösisällöt) sekä kokoonpuristuvuuskertoimet syöttötiedoiksi annetaan käyttöpaine ja lämpötila. Tämä kolmen kaavan sarja kattaa laajan kirjon kylläisen höyryn olosuhteita, mutta antaa silti tarkkoja tuloksia. Laskelmat voidaan suorittaa nopeasti kädessä pidettävällä laskimella tai syöttää kätevästi Excel-taulukkolaskentaohjelmaan. Tämä lyhyt viesti on jaettu kolmeen osaan.

I. osa Kolme kätevää kaavaa tiheydelle, entalpialle ja kokoonpuristuvuuskertoimelle tyydyttyneelle höyrylle. Niiden laskentatulosten havainnollistamiseksi annetaan graafiset esitykset. Osa II numeerinen esimerkki näiden yhtälöiden käytöstä. III osassa esitetään näiden kolmen lyhyen yhtälön perusteet. Tämän viestin lopussa on pdf-versio tästä viestistä.

Osa I Kolme kätevää kaavaa tyydyttyneelle höyrylle. Huomaa, että nämä kaavat on esitetty ’excel’-tyylisellä merkintätavalla: käyttämällä kertolaskuun symbolia ’ * ’ ja potenssiin korottamiseen ’ ^ ’.

Kylläisen höyryn tiheyden kaava.

Dst = 216.49 * P / ( Zst * ( t + 273) )

Jossa ’Dst’ = kylläisen höyryn tiheys kilogrammoina/m3 ; ja ’P’ = höyryn absoluuttinen paine baareina ; ja ’t’ = lämpötila celsiusasteina ; ja ’Zst’ = kylläisen höyryn kokoonpuristuvuuskerroin ’P’ bar abs:ssa ja ’t’ celsiusasteissa. Keskimääräinen prosentuaalinen kokonaisvirhe on 0,10 %.

Kylläisen höyryn entalpian kaava.

Hst = 1975 + 1,914 * Zst * (t + 273)

Jossa yhtälössä symboli ’Hst’ tarkoittaa kylläisen höyryn entalpiaa kilojouleina kilojouleina (kJ/kg), symboli ’t’ lämpötilaa celsiusasteina ja ’Zst’ kokoonpuristuvuuskerrointa paineessa ’P’ ja lämpötilassa ’t’. Tämä kätevä yhtälö pätee lämpötiloille, jotka vaihtelevat 10 ja 350 celsiusasteen välillä, ja sillä saadaan tuloksia, joiden kokonaiskeskivirheprosentti on 0,10 %.

Kyllästetyn höyryn kokoonpuristuvuuskerroin ’Zst’ kaavalla.

Zst = 1- 0,024 * P^0,654 / ( 220-P )^0,08

Tämässä yhtälössä symboli ’Zst’ tarkoittaa kyllästetyn höyryn kokoonpuristuvuuskertoimen absoluuttista lämpötilaa baarissa ’P’. Tämä kätevä yhtälö on voimassa höyryn painealueella 0,012-165 bar absoluuttisesti ja vastaavalla kyllästymislämpötila-alueella 10-360 celsiusastetta. Sen ennusteiden keskimääräinen prosentuaalinen kokonaisvirhe on 0,10 %.

Laskentatulokset graafisessa muodossa.

Kyllästetyn höyryn tiheyden kätevän lyhyen kaavan laskentatulokset on esitetty seuraavassa kaaviossa (siniset timantit) ja niitä on verrattu höyrytaulukoiden tietoihin (violetit neliöt). Klikkaa kuvaajaa suurentaaksesi sitä:

Seuraavassa kuvaajassa esitetään kylläisen höyryn entalpian kätevän lyhyen kaavan laskentatulokset sinisinä timantteina ja verrataan niitä höyrytaulukoiden tietoihin (violetit neliöt). Klikkaa kuvaajaa suurentaaksesi:

Seuraavissa kuvaajissa on esitetty (sinisinä timantteina) kylläisen höyryn kokoonpuristuvuuskerroin ’Zst’, joka on laskettu kätevän lyhyen kaavan avulla, ja sitä verrataan Z-kertoimiin, jotka on saatu takaperin laskemalla höyrystysaineistosta höyrystysaineiston taulukoiden tiedoista (violetteina neliöinä). Klikkaa kuvaajaa suurentaaksesi:

Seuraavassa kuvaajassa esitetään samat ’Zst’-kertoimen tiedot, jotka on nyt piirretty logaritmisella asteikolla, jossa muuttujana on paine:

Huomionarvoinen on viimeinen ’Zst’-graafi, jossa jälleen on esitetty lasketut kokoonpuristuvuuskertoimen tulokset ja nyt ne on piirretty vastaavaa kyllästymislämpötilaa vasten (klikkaa suurentaaksesi):

Part II Numeerinen esimerkki.

Höyrynkeräysputkisto kuljettaa keskipainehöyryä 33,5 baarin absoluuttisella (!) painetasolla. Liitetty putkisto kuljettaa höyryn höyryn höyrynpoistoaseman läpi, jossa on ohjattu lauhteen ruiskutus, jotta höyryn kyllästyslämpötila on 240 celsiusastetta. Mitkä ovat tämän höyryn tiheys ja lämpösisältö (entalpia)?

Lasketaan ensin höyryn kokoonpuristuvuuskerroin näissä olosuhteissa:

Zst = 1- 0.024 * (33,5)^0,654 / ( 220-33,5 )^0,08

Tällöin saadaan Zst = 0,843 Seuraavaksi tällä Zst:n arvolla voimme laskea höyryn tiheyden seuraavasti:

Dst = 216,49 * 33,5 / ( 0.843 * ( 240 + 273) )

tulokseksi saadaan Dst = 16,77 kg/m3 ; Taulukoitu arvo on 16,74 kg/m3 ( Grigull et al)

Ja seuraavaksi lasketaan entalpia seuraavasti:

Hst = 1975 +1.914 * 0.843 * (240 + 273)

Tuloksena Hst =2801.7 kJ/kg ; Höyrytaulukoiden arvo on 2803 kJ/kg.

Part III Peruste näille kolmelle lyhyelle kaavalle.

a) Tiheys. I osan tiheyskaavan alkuperä on johdettu suoraviivaisesti yleiskaasulaista. Kun todellisen kaasun määrä on ”n” kilomoolia tilavuudessa ”V” m3 paineessa ”P” kN/m2 ja absoluuttisessa lämpötilassa ”T” astetta Kelviniä, ”yleiskaasun laki” kuuluu:

P * V = n * Z * R * T

jossa ”Z” on kokoonpuristuvuuskerroin ja ”R” on yleiskaasuvakio, joka on yhtä suuri kuin 8,3145 ja jonka yksikköinä käytetään kJoulea /kmol /oK. Tarkistetaan tässä vaiheessa nopeasti tässä käytettyjen yksiköiden johdonmukaisuus.

kN/m2 * m3 = kmol * kJoule /kmol/oK * oK Huomaa, että 1 kN/m2 = 1 kPascal ja 100 kPa = 1 Bar absoluuttinen ja huomaa myös, että 1 Joule = 1 Nm.

Molaarinen tiheys ’D’ voidaan ilmaista (yksiköissä kmol/m3 ) seuraavasti:

n/V = Dmol = P / (Z * R *T)

Molekyylipainon ’MW’ omaavan (minkä tahansa) kaasun tiheys on tällöin:

D = P * 100 * MW / ( Z * R * T) kg/m3 jos ’P’ ilmaistaan absoluuttisena ’Bar’-yksikkönä

Soveltamalla höyryyn saadaan : Dst = P * 100 * 18 / ( Z * 8,3145 * T)

tai Dst = 216,49 * P / (Z * T), jos ’P’ yksikössä ’Bar’ ja ’T’ yksikössä ’Kelvin’.

b) Entalpia. Aikaisemmassa viestissä mainittiin, että havaitsin, että kylläisen höyryn entalpia voidaan laskea hyvin yksinkertaisella kaavalla (ks. keskustelu aikaisemmassa viestissä, joka on päivätty 1. heinäkuuta 2013 ). Tuo yksinkertainen yhtälö kuuluu seuraavasti: H = Uo + 4*Z*R*T, jossa symboli ”H” tarkoittaa molaarista entalpiaa ja ”Uo” on vakio muodossa kJ/kmol. Jos ZRT korvataan P*V:llä lukuun ottamatta tekijää 4, voidaan tunnistaa entalpian määritelmä. Kerroin ”4” voidaan tulkita eräänlaiseksi keskiarvoksi, vesihöyryn ominaislämpökapasiteetin vakioksi jne. (ks. aiempi viesti). Nyt on tosiasia, että vesihöyryn ominaislämpökapasiteetti muuttuu koko alueella 273-647 oK vain noin 6 % eli 1,85:stä 2:een.05 kJ/kg/oK

Kun se ilmaistaan massaperusteisesti molaarisen perustan sijasta, yhtälö kuuluu:

Hst= Uo +4 * R / MW * Z * R * T kJ/kg

Hst = 1975 + 1,914 * Zst * (t + 273) kJ/kg

c) Puristuvuuskerroin. Olen havainnut, että kyllästysolosuhteissa höyryn kokoonpuristuvuuskerroin voidaan esittää seuraavassa yleisessä muodossa:

(1-Z ) / (1-Zc) = A * Pr^n / (1-Pr)^m

Jossa ”Zc” on kriittinen kokoonpuristuvuuskerroin, ”Pr” redusoitu kyllästyspaine ja ”A” on vakio ja ”n” ja ”m” eksponentit tietylle aineelle.

Esimerkiksi 30.10.2014 päivätyssä viestissä puhdasta metaania (”C1”) varten olen osoittanut, että tämä yhtälö saa seuraavan erityisen muodon :

Zsat,C1 = 1 – (1-0,2856) * 0,666 * Pr^0,666 / (1-Pr)^0,088

Tämä korrelaatio toistaa metaanin mitatun kylläisen höyryn kokoonpuristuvuuskertoimen tarkasti siten, että suhteellinen prosenttivirheiden keskiarvo on kaiken kaikkiaan keskimäärin seuraava: 0,1 % absoluuttisella painealueella 0,22-42,4 Bar ja sitä vastaavalla kyllästymislämpötila-alueella -177 asteesta -85,2 celsiusasteeseen, mikä kattaa koko kyllästymisalueen puhtaan metaanin kolmoispisteen ja kriittisen pisteen välillä!

Kyllästetylle höyrylle saadaan:

Zst = 1 – (1-0,229) * 0,687 * Pr^0,654 / (1-Pr)^0,08

Tämä, kun Pc = 220 Bar absoluuttinen, yksinkertaistuu:

Kyllästetylle höyrylle.