Part 1: Jakaminen yhä pienemmillä ja pienemmillä luvuilla
Yläkoulun matematiikan opettajan
Asettele, että sinulla on pizza. Kiva hiilloksella paistettu New Havenista, tai uunissa kuumennettu chicagolainen deep-dish, tai jopa yksi niistä San Franciscon luomu artesaanipizzoista, jotka jotenkin saavat artisokan sydämet näyttämään siltä kuin ne kuuluisivat pizzaan. Ja koska olet antelias sielu, olet päättänyt jakaa.
Kuinka monta ihmistä voit ruokkia, jos jokainen saa puolet pizzasta (runsaan annoksen)?
Noh, se on 1 pizza ÷ ½ pizzaa per henkilö = 2 henkilöä.
Ja kuinka monta voit ruokkia, jos kaikki saavat 1/10 pizzasta (juustoinen välipala)?
1 pizza ÷ 0,1 pizzaa per henkilö = 10 henkilöä.
Ja kuinka monta voit ruokkia, jos jokainen saa 1/100 pizzaa (suupala)?
1 pizza ÷ 0,01 pizzaa per henkilö = 100 ihmistä.
Ja kuinka monta voit ruokkia, jos jokainen saa 1/1000 pizzaa (murunen, jossa on tilkka kastiketta)?
1 pizza ÷ 0,001 pizzaa per henkilö = 1000 ihmistä.
Mitä pienemmän siivun annat jokaiselle, sitä enemmän ihmisiä voit ruokkia. Tai abstraktimmin: mitä pienemmällä luvulla jaat, sitä suuremmalla tuloksella jaat.
Viedään nyt asia vielä askeleen pidemmälle: Entä jos jokainen henkilö saa 0 % pizzasta?
1 pizza ÷ 0 pizzaa per henkilö = ???
Miten monta ihmistä voit ruokkia? No, mitään rajaa ei ole, koska et varsinaisesti ruoki heitä mihinkään. Jos maapallon seitsemän miljardia ihmistä ilmestyy kaikki ovellesi pyytämään osuuttaan pizzasta, voit sanoa: ”Ei ongelmaa!”, koska ”heidän osuutensa pizzasta” ei merkitse yhtään mitään. Jos lisäät vielä toiset seitsemän miljardia, sanoisit samoin. Kuinka monta ihmistä voitte ruokkia? Siihen ei ole vastausta.
Kun jaat luvun nollalla, siihen ei ole yhtä vastausta. Jakaminen tarkoittaa jonkin asian jakamista tietyn kokoisiin kasoihin. Ja jonkin jakamisessa nollan kokoisiin kasoihin ei ole mitään järkeä.
Osa 2: ”Kertomisen käänteisluku”
matematiikan tohtorikoulutettava
Kun hän tiskasi, kysyin morsiameltani, miksi nollalla ei voi jakaa. Hänen tuulesta temmattu vastauksensa oli ytimekkäämpi kuin minun. (Puolustuksekseni sanottakoon, että minä saan tiskit puhtaammiksi kuin hän.)
Kun jaat luvulla – sanotaan vaikka 4 – kysyt: ”Kuinka monta kertaa 4 voi mennä lukuihin?”. Niinpä:
Mutta kun jaat luvulla 0, kysyt: ”Kuinka monta kertaa 0 voi mennä lukuun?”. Ja riippumatta siitä, kuinka monta nollaa lisäät, 0 + 0 + 0 + 0 + 0 … ei koskaan ole yhtä suuri kuin 12. Joten 12 ÷ 0 on määrittelemätön.
Part 3: ”Kertolaskun käänteisluku” Redux
peruskouluasteen matematiikan asiantuntijalta
Katsoin molemmat selitykset siskolleni Jennalle, joka on K-8-luokan matematiikan asiantuntija. Hän piti Tarynin vastauksesta ja antoi oman, vielä tiiviimmän versionsa.
Jako on kertolaskun käänteisluku. Kun siis jaat 12 luvulla 4, sanot: ”Mitä kertaa 4 antaa 12?”
Siten jakaminen nollalla on kuin kysyisi: ”Mitä kertaa 0 antaa 12?”. Vastausta ei tietenkään ole, koska mikä tahansa 0:n kerrannainen on 0.
Osa 4: Kaiken sitominen yhteen
professorilta (isältäni)
Pyydän isääni Jamesia (operaatiotutkimuksen professori) illallisella selittämään, miksi nollalla ei voi jakaa. Hän antoi selityksen, joka oli melko samanlainen kuin minun selitykseni, ja kiteytti sitten näiden kahden lähestymistavan suhteelliset ansiot melko hienosti.
Tarynin/Jennan selitys, hän sanoi, menee suoraan asiaan ja tyydyttää laajempaa (ja nuorempaa) yleisöä. Se alkaa sanomalla: ”No, tässä on, mitä jakaminen on”, ja osoittaa sitten, että käsitteessä ei ole mitään järkeä, kun sitä sovelletaan nollaan.
Ben/Jamesin selitys puolestaan on arvokas, koska se ei mene suoraan asiaan. Se yhdistää kysymyksen ”Voiko nollalla jakaa?” muihin ajatuksiin (raja-arvot ja asymptoottinen käyttäytyminen), ja pääsee enemmän ongelman käsitteelliseen ytimeen.
Jokatapauksessa, siinä se on. Neljä matematiikan ammattilaista, kaksi perustavanlaatuista selitystä ja vielä yksi blogi lisää äänensä tämän aiheen vastausten melskeeseen.