Spiraalin ominaisuudet
Spiraalien tyypit
Lähteet
Spiraali on käyrä, joka muodostuu pisteestä, joka pyörii kiinteän akselin ympäri alati kasvavalla etäisyydellä. Se voidaan määritellä matemaattisella funktiolla, joka suhteuttaa pisteen etäisyyden origosta kulmaan, jolla sitä kierretään. Yleisiä spiraaleja ovat esimerkiksi Arkhimedeen spiraali ja hyperbolinen spiraali. Toinen spiraalityyppi, jota kutsutaan logaritmiseksi spiraaliksi, esiintyy monissa tapauksissa luonnossa.
Spiraalin ominaisuudet
Spiraali on funktio, joka suhteuttaa pisteen etäisyyden alkupisteestä sen kulmaan positiivisen
KESKEISET TERMEITÄ
Logaritminen spiraali -Käyrätyyppi, joka on määritelty relaatiolla r = ea q. Se on luonnossa yleisesti esiintyvä muoto.
Origin -Kierteen alkupiste. Tunnetaan myös nimellä ydin.
Arkimedeen spiraali -Käyrätyyppi, joka määritellään suhteella r = aq. Tämä oli ensimmäinen löydetty spiraali.
Häntä -Spiraalin osa, joka kiertyy poispäin alkupisteestä.
x-akseli. Spiraalin yhtälö annetaan tyypillisesti sen napakoordinaattien avulla. Napakoordinaatisto on toinen tapa, jolla kuvaajan pisteet voidaan paikantaa. Suorakulmaisessa koordinaatistossa jokainen piste määritellään sen x- ja y-etäisyydellä origosta. Esimerkiksi piste (4,3) sijaitsisi x-akselilla 4 yksikköä ylempänä ja y-akselilla 3 yksikköä ylempänä. Toisin kuin suorakulmaisessa koordinaatistossa, polaarikoordinaatistossa pisteen sijainti määritellään pisteen etäisyyden ja kulman avulla origosta. Tämän järjestelmän yleinen merkintätapa on (r,θ)jossa r kuvaa origosta pisteeseen piirretyn säteen pituutta ja θ kuvaa kulmaa, jonka tämä säde muodostaa x-akselin kanssa. Tätä sädettä kutsutaan usein vektoriksi.
Kuten kaikilla muillakin geometrisilla muodoilla, myös spiraalilla on tiettyjä ominaisuuksia, jotka auttavat määrittelemään sen. Spiraalin keskipistettä tai alkupistettä kutsutaan sen alkupisteeksi tai ytimeksi. Ytimestä poispäin kiemurtelevaa viivaa kutsutaan pyrstöksi. Useimmat spiraalit ovat myös äärettömiä, eli niillä ei ole äärellistä päätepistettä.
Spiraalien tyypit
Spiraalit luokitellaan sen matemaattisen suhteen mukaan, joka vallitsee sädevektorin pituuden r ja positiivisen x-akselin kanssa muodostuvan vektorikulman q välillä. Yleisimpiä ovat Arkhimedeen spiraali, logaritminen spiraali, parabolinen spiraali ja hyperbolinen spiraali.
Spiraaleista yksinkertaisimman löysi antiikin kreikkalainen matemaatikko Arkhimedeen Syrakusalainen (287-212 eaa.). Arkhimedeen spiraali noudattaa yhtälöä r = aθ, jossa r ja θ edustavat pisteen polaarikoordinaatteja, jotka piirretään säteen a pituuden muuttuessa tasaisesti. Tällöin r on verrannollinen θ:hen.
Logaritmisen eli tasakulmaisen spiraalin ehdotti ensimmäisen kerran Rene Descartes (1596-1650) vuonna 1638. Myös toisen matemaatikon, Jakob Bernoullin (1654-1705), joka antoi merkittävän panoksen todennäköisyysoppiin, katsotaan kuvanneen tämän spiraalin merkittäviä piirteitä. Logaritminen spiraali määritellään yhtälöllä r = eaθ, jossa e on luonnollinen logaritmivakio, r ja θ ovat polaarikoordinaatit ja a on muuttuvan säteen pituus. Nämä spiraalit muistuttavat ympyrää, koska ne leikkaavat säteensä vakiokulmassa. Toisin kuin ympyrässä, kulma, jossa sen pisteet leikkaavat säteensä, ei kuitenkaan ole suorakulmainen. Nämä spiraalit eroavat ympyrästä myös siinä, että säteiden pituus kasvaa, kun taas ympyrässä säteen pituus on vakio. Esimerkkejä logaritmisesta spiraalista on kaikkialla luonnossa. Nautiluksen kuori ja auringonkukansiementen siemenkuviot ovat molemmat logaritmisen spiraalin muotoisia.
Parabolinen spiraali voidaan esittää matemaattisella yhtälöllä r2 = a2θ. Tämä Bonaventura Cavalierin (1598-1647) löytämä spiraali luo käyrän, joka tunnetaan yleisesti paraabelina. Toinen spiraali, hyperbolinen spiraali, noudattaa yhtälöä r = a/θ.
Toinen spiraalia muistuttava käyrätyyppi on kierre. Kierre on spiraalin kaltainen siinä mielessä, että se on käyrä, joka on tehty pyörimällä pisteen ympäri alati kasvavalla etäisyydellä. Toisin kuin spiraalin kaksiulotteiset tasokäyrät, kierre on kuitenkin kolmiulotteinen avaruuskäyrä, joka sijaitsee sylinterin pinnalla. Sen pisteet ovat sellaisia, että se muodostaa vakiokulman sylinterin poikkileikkausten kanssa. Esimerkki tällaisesta käyristä on pultin kierteet.
Katso myös logaritmit.