Sisällysluettelo
Keskiarvopoikkeamalaskurin käyttäminen
Yllä oleva keskihajontalaskuri tarjoaa yksinkertaisen tavan sekä laskea että oppia löytämään lukujoukon keskihajonta. Paremmin kuin mikään vakiolaskin, tämä laskin tarjoaa vaiheittaisen ratkaisun siihen, miten löydät vastauksen itse. Tämä standardipoikkeamalaskuri on erinomainen opetusväline, joka auttaa sinua saamaan oikeat vastaukset omissa töissäsi. Jos sinun on myös löydettävä datajoukon vaihteluväli, katso sivu Vaihteluvälilaskuri. Kyseinen laskin löytää kaikki kolme vaihtelun mittaria, vaihteluvälin, varianssin ja keskihajonnan, ja näyttää sinulle vaiheittaisen ratkaisun.
Mikä on keskihajonta?
Keskihajonnan määritelmä on mitta, joka kuvaa data-arvojen ”hajontaa” datajoukon sisällä. ”Hajonta” viittaa siihen, kuinka lähellä tai kaukana data-arvot ovat verrattuna datajoukon keskiarvoon. Varianssi on keskihajonnan neliö. Sekä varianssi että keskihajonta ovat vaihtelun mittareita.
Tämä keskihajontalaskuri ei ainoastaan anna sinulle vastausta ongelmaan, vaan se myös opastaa sinua vaiheittaisessa ratkaisussa.
Mitä suuri keskihajonta tarkoittaa?
Keskihajonnan määritelmän mukaan se mittaa data-arvojen hajontaa keskiarvosta. Jos keskihajonta on suuri, data-arvojen hajonta on suuri. Tämä tarkoittaa, että arvot ovat hajonneet kauemmaksi keskiarvosta. Tämä merkitsee suurta vaihtelua tietokokonaisuudessa. Jos keskihajonta on pieni, aineiston arvot ovat vähemmän hajallaan keskiarvosta. Tämä merkitsee pienempää vaihtelua ja suurempaa johdonmukaisuutta.
Esitettäkö, että teet kokeen ja luokan arvosanojen keskihajonta on 5,0. Tässä vaiheessa emme voi sanoa, suoriutuiko luokkasi tasaisesti vai ei, koska meillä ei ole mitään vertailukohtaa. Nyt ystäväsi toisella luokalla suorittaa kokeen, ja luokan arvosanojen keskihajonta on 15,0. Kun vertaamme näitä kahta keskihajontaa, luokassasi on enemmän johdonmukaisuutta ja vähemmän vaihtelua. Ystäväsi luokassa on vähemmän johdonmukaisuutta ja enemmän vaihtelua.
Jos käytät keskihajontalaskuria löytääksesi kahden eri tietokokonaisuuden keskihajonnat, pienempi keskihajonta on sillä tietokokonaisuudella, joka on johdonmukaisempi, ja suurempi keskihajonta sillä tietokokonaisuudella, joka on vaihtelevampi.
Tuloesimerkki – Kahden kaupungin vertailu
Esitettäkö, että käytössäsi on kaksi tietokokonaisuutta, jotka koostuvat perheen tuloista. Ensimmäinen datajoukko koostuu kaupungin ’A’ perheiden tulopopulaatiosta ja toinen datajoukko koostuu kaupungin ’B’ perheiden tulopopulaatiosta. Kaupungin ’A’ ja kaupungin ’B’ molempien keskimääräiset perheiden tulot ovat 65 000 dollaria. Tähän mennessä meillä on:
Kaupunki A:n keskiarvo:
µ = 65 000
Kaupunki B:n keskiarvo:
µ = 65 000
Jos aineistojoukon keskihajonta kaupungin A tuloista on $ \ $ 5 500.00 $ ja kaupungin B tulojen aineiston keskihajonta on $ \$ 2 100,00 $, niin tiedämme, että kaupungin A tulot ovat levinneet kauemmas keskiarvosta, kun taas kaupungin B tulot ovat lähempänä keskiarvoa tai ryhmittyneet tiiviimmin sen ympärille. Kaupungin A tuloilla on suurempi vaihtelu kuin kaupungin B tuloilla.
Keskihajonnan symboli
Otoksen edustavan aineiston keskihajonnan symboli on s. Perusjoukkoa edustavan aineiston keskihajonnan symboli on σ (pienellä kreikkalaisella sigmalla). Meillä on väestötiedot sekä kaupungista ”A” että kaupungista ”B”. Siksi molempien standardipoikkeaman symboli on:
City A standardipoikkeama:
σ = 5 500 dollaria
City B standardipoikkeama:
σ = 2 100 dollaria
Standardipoikkeama, kun vaihtelua ei ole
Standardipoikkeama on aina positiivinen luku tai mahdollisesti 0. Oletetaan, että City ’C:ssä’ jokaisella perheellä on samat tulot, $ \$ 65 000 $. Vaikka realistisesti tämä ei ole mahdollista, matemaattisesti tämä tarkoittaisi, että kaupungin ’C’ tulojen keskiarvo on $ \$ 65 000 $ ja keskihajonta on 0. Keskihajonta 0 tarkoittaa, että aineistossa ei ole lainkaan vaihtelua ja että jokainen aineiston arvo on täsmälleen sama.
Kokeile! Kirjoita standardipoikkeamalaskurilla seuraava:
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5
Havainnoit, että standardipoikkeama laskee 0:ksi, ja ratkaisun vaiheista näet, miksi se on 0.
Keskiarvopoikkeaman laskennassa käytetyt yksiköt
Keskiarvopoikkeaman yksikköinä käytetään samoja yksikköjä kuin tietojoukon data-arvojen yksiköissä. Yllä olevassa esimerkissämme data-arvot ovat tuloja dollareissa, joten keskihajonta on dollareissa.
Mikä on varianssi?
Tietoaineiston keskihajontaan liittyy tietoaineiston varianssi. Tietoaineiston varianssi on keskihajonnan neliö, ja siksi varianssin yksiköt on neliöity keskihajonnan yksiköistä. Otoksen varianssin symboli on s2 ja populaation varianssin symboli σ2. Yllä olevassa esimerkissämme kaupungin A ja kaupungin B varianssit ovat:
City A variance:
σ2 = 30 250 000 $ 2
City B variance:
σ2 = 4 410 000 $ 2
Aivan kuten manuaalisesti tehtäessäsi, keskihajontalaskuri löytää ensin varianssin ja ottaa sitten neliöjuuren keskihajonnan löytämiseksi.
Keskihajonnan ja varianssin kaavojen soveltaminen
Nyt kun tunnet keskihajonnan määritelmän, haluatko oppia, miten keskihajonta ja varianssi lasketaan? Voit joko soveltaa keskihajonnan ja varianssin kaavoja tai selata ylöspäin ja käyttää verkossa olevaa keskihajontalaskuria. Alla olevassa opetusohjelmassa näytän, miten löydät keskihajonnan ja varianssin käsin kaavoja käyttäen.
Tahdotko tietää, miten löydät datajoukon keskihajonnan tai varianssin käsin? Silloin sinun on käytettävä varianssin ja/tai keskihajonnan kaavoja. Nämä kaavat voivat näyttää monimutkaisilta, mutta kun ne otetaan pienin askelin, niiden laskemisprosessi on hyvin hallittavissa. Kaavoissa käytetään eri symboleja riippuen siitä, edustako tietokokonaisuus perusjoukkoa vai otosta.
Varianssin ja keskihajonnan kaavoista on kaksi versiota, vakio- ja laskennallinen kaava. Käytän tässä artikkelissa laskennallista kaavaa. Se on yksinkertaisempi laskea käsin ja siinä on vähemmän pyöristysvirheitä. Jos haluat nähdä standardikaavan ratkaisun, yllä oleva standardipoikkeamalaskuri näyttää ratkaisut, joissa käytetään molempia kaavoja.
Populaatiovarianssin kaava ja otosvarianssin kaava
| Populaatiovarianssin kaava | Otoksen varianssin kaava |
|---|---|
$$$ {\sigma^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{N}}}{N}$$Jossa $\sigma^2$ on populaatiovarianssin tunnus, |
$$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}{n-1}}$$Jossa $s^2$ on otoksen varianssin symboli, |
Varanssin saamisen ja sitten keskihajonnan saamisen välillä on hyvin yksinkertainen vaihe. Kun olet saanut varianssin, ota vain neliöjuuri saadaksesi keskihajonnan.
Populaation keskihajonnan kaava ja otoksen keskihajonnan kaava
| Populaation keskihajonta Kaava | Otoksen keskihajonnan kaava |
|---|---|
$$$ {\sigma}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{N}}}{N}}} $$Missä $\sigma$ on populaation keskihajonnan symboli, |
$$$$ {s}= \sqrt{ \sqrt{\frac{{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n – 1}}} $$Missä $s$ on otoksen keskihajonnan symboli, |
Esimerkki keskihajonnan ja varianssin löytämisestä
Kävellään läpi, miten löydetään keskihajonta ja varianssi pienelle datajoukolle, kun oletetaan, että datajoukko edustaa otosta lasten pituuksista. Kun olemme saaneet varianssin, otamme pienen askeleen saadaksemme keskihajonnan. Laskemme vastauksemme suorittamalla kahdeksan vaiheen sarjan.
Tehtävä: Etsi varianssi ja keskihajonta seuraaville. Oletetaan, että sinulla on 5 lapsen otos ja heidän pituutensa ovat:
56 in, 49 in, 61 in, 60 in, 63 in
Vaihe 1 – Kirjoita otoksen varianssin ja otoksen keskihajonnan kaavat
Koska tässä ongelmassa sanotaan, että 5 arvoa edustavat otosta, käytämme otoksen varianssin ja otoksen keskihajonnan kaavoja. Aloita ensin kirjoittamalla otosvarianssin ja otoksen keskihajonnan laskentakaavat:
$$ {s^2}= \frac{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}}$$$
$$$ {s}= \sqrt{\frac{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}{n}}{n – 1}}} $$
Vaihe 2 – Luo taulukko kaikille arvoille $ x $ ja $x^2$
Seuraavaksi piirretään taulukko, jossa on 2 saraketta ja 5 riviä kullekin tietoarvolle sekä otsikkorivi. Merkitse otsikkoriville $ x $ ja $ x^2 $. Laita nyt kukin tietoarvo $ x $ -sarakkeeseen. Jokaisella tietoarvolla on oma rivinsä. Neliöi jokainen x:n arvo ensimmäisessä sarakkeessa ja laita nämä arvot toiseen sarakkeeseen.
$x$ |
$x^2$ |
| 56 | 3136 |
| 49 | 2401 |
| 61 | 3721 |
| 60 | 3600 |
| 63 | 3969 |
Vaihe 3 – Laske yhteen kaikki ensimmäisen sarakkeen arvot
Kun taulukko ja sarakkeet on luotu, ota ensimmäisen sarakkeen kaikkien arvojen summa. Tätä symbolisoidaan muodossa $ \sum{x} $.
$$ \sum{x} = 56+49+61+60+63 $$
$$$ \sum{x} = 289 $$
Vaihe 4 – Neliöi ja jaa
Nyt otat askeleen 3 vastauksen 289 ja neliöit sen. Jaa sitten otoksen koolla.
$$$ \frac{(\sum{x})^2}{n} = \frac{83521}{5} = 16704.2 $$
Vaihe 5 – Laske yhteen kaikki toisen sarakkeen arvot
Seuraavaksi ota toisen sarakkeen kaikkien arvojen summa. Tätä symbolisoidaan muodossa $ \sum{x^2} $.
$$ \sum{x^2} = 3136+2401+3721+3600+3969$$
$$$ \sum{x^2} = 16827 $$
Vaihe 6 – Vähennä $ \sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n} $
Vaiheessa, otat vastauksen vaiheesta 5 ja vähennät vastauksen vaiheesta 4.
$$\sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n}$$$
$$$ 16827 – 16704.2 = 122.8 $$$
Vaihe 7 – Jaa ja saat varianssin
Tässä otat vastauksen askeleesta 6 ja jaat sen luvulla $n – 1$, joka on yksi vähemmän kuin otoskoko. Se on varianssi!
$$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}
= \frac{ 122.8 }{4} = 30.7 $$
Vaihe 8 – Keskihajonnan löytäminen varianssista
Viimeiseksi keskihajonnan löytämiseksi otetaan neliöjuuri vaiheessa 7 saadusta varianssin vastauksesta. Tässä pyöristän vastauksen neljään desimaaliin.
$$ s = \sqrt{30.7} = 5.5408 $$
Sen vuoksi, että datamme on alun perin yksikössä tuumaa, keskihajonta on 5.5408 tuumaa.
Se on siinä! Ei niin paha, vai mitä? On hyvä idea käyttää yllä olevaa keskihajontalaskuria apuna useampien ongelmien ratkaisemisessa. Kokeile ratkaista ratkaisut manuaalisesti itse ja tarkista työsi vertaamalla sitä laskimesta saatuun työstettyyn ratkaisuun. Sait tämän!