Modelling of multi-flagellated bacteria
Aloitamme rakentamalla laskennallisen mallin peritrichous-bakteerin liikkumisesta, kuten metodit-osiossa ja matemaattisissa yksityiskohdissa on esitetty lisätiedoissa. Tarkastelemme bakteeria, jota liikuttavat Nf lippulaivaa (kuva 2A) ja jonka solurunko on prolate ellipsoidin muotoinen. Kukin lippulaite koostuu seuraavista osista: (i) pyörivästä moottorista, joka tuottaa kiinteän pyörimisnopeuden lippusäikeen akselin ympäri; (ii) lyhyestä taipuisasta koukusta, jota käsitellään vääntöjousena moottorin akselin ympäri ja jonka hydrodynamiikka voidaan jättää huomiotta17; (iii) normaalista vasemmanpuoleisesta polymeerimuodosta peräisin olevasta kierremäisestä lippusäikeestä, jonka hydrodynamiikka kuvataan hoikkakappaleteorialla24. Moottorin ja filamentin parametrit on valittu vastaamaan E. coli -bakteerien parametreja7 (lisätietojen taulukko S1). Kullakin spiraalifilamentilla on kapeneva pää siten, että spiraalin säde on nolla sen kiinnityskohdassa moottoriin25. Flagellaariset filamentit voivat pyöriä mutta eivät kääntyä suhteessa kiinnityskohtaansa solurunkoon, ja vaikka moottori määrää kierron kierteisen akselin ympäri, kaikki muut kierrot suhteessa solurunkoon ratkaistaan. Jätämme huomiotta solurungon ja flagellaaristen filamenttien väliset hydrodynaamiset vuorovaikutukset, mutta otamme mukaan steeriset vuorovaikutukset, jotta filamentit eivät pääse solurunkoon. Kunkin koukun osalta käytämme θ:tä kuvaamaan kallistuskulmaa, joka vallitsee moottorin sijaintipaikassa olevan solurungon normaalin ja lippusäikeen akselin välillä (eli kun θ = 0, säie on normaalisti solurunkoon nähden). Kunkin moottorin lippusäikeeseen kohdistama palauttava kimmoinen momentti mallinnetaan vääntöjousena, jonka jousivakio on \(K=EI/{\ell }_{h}\), jossa EI on koukun taivutusjäykkyys ja \({\ell }_{h}\) koukun pituus16. Palauttamismomentin suuruus on siis K|θ|, ja koukun kimmoisuus vaikuttaa siten, että kierreakseli kohdistuu solurungon normaaliin. Laskennallisessa mallissa ratkaistaan lippusäikeiden hetkelliset sijainnit sekä solurungon uintinopeus Ub ja kulmanopeus Ωb koukun jäykkyyden funktiona.
(A) Laskennallinen malli peritrichous-bakteerista, joka aktivoi Nf kierteistä filamenttia (säde Rh; nousukulma β) pyörittämällä niitä akselinsa ympäri \(\hat{\bf{k}}}\) määrätyllä kulmanopeudella. Joustava koukku vaikuttaa elastisesti kohdistaakseen spiraalin akselin normaaliin \(\hat{\bf{N}}}\) solurunkoon nähden. (B) Yksinkertaistettu malli elastohydrodynaamisen epävakauden kuvaamiseksi. Kaksi suoraa aktiivista filamenttia, joiden pituus on \(\ell \) ja jotka on kiinnitetty pallomaisen kappaleen, jonka säde on \(a\), molemmille puolille, kallistuvat kulmassa ±θ poispäin solukappaleen pintanormaalista \(\hat{\bf{N}}}\), ja ne vaikuttavat soluun tangentiaalisella voimalla \(f\ell \hat{\bf{t}}}}\), mikä johtaa mallin kaltaisen bakteerin uintiin, jonka nopeus on \(\(\h{³”a\}).
Joustavilla koukuilla varustetuissa bakteereissa esiintyy uintiin liittyvää epävakautta
Laskentamallimme tulosten tarkastelu paljastaa huomattavan elastohydrodynaamisen epävakauden, joka on havainnollistettu kuvassa 3 tapauksessa, jossa lippulankoja on Nf = 4, mikä on keskimääräinen lippulankojen lukumäärä E. coli -solussa6. Moottorit on sijoitettu symmetrisesti solurungon pinnan ympärille. Aloitamme laskennan siten, että kukin lippusäie on kallistettu pienessä kulmassa poispäin pinnan normaalista, ja liikutamme järjestelmää ajassa eteenpäin samalla kun seuraamme solun sijaintia laboratoriokehyksessä ja lippusäikeiden sijaintia suhteessa solurunkoon. Liittyvät elokuvat ovat saatavilla verkossa (ks. lisätiedot).
Uintiliike bakteerille, joka ui Nf = 4 lippusäikeellä, jossa on joustava vs. jäykkä koukku. (A) Kunkin solun alkuasento ja konformaatio. (B) Työnnettävä solu joustavalla koukulla klo t = 200 (ajat skaalattu flagellojen pyörimisnopeudella). (C) Työntökenno, jossa on jäykkä koukku, hetkellä t = 200. (D) Kunkin uimarin kulkema matka (ei-ulottuvuudeltaan kierteisten säikeiden pituuden mukaan) ajan funktiona neljällä eri uimarilla: jäykkä (ruudut) vs. joustava koukku (neliöt) ja työntäjä (täytetyt symbolit) vs. vetäjä (tyhjät symbolit).
Kuvassa. 3A-C havainnollistamme pusher-bakteerin (eli solun, jonka lippusäikeet pyörivät normaalisti vastapäivään) liikerataa kahdella eri koukun jäykkyydellä aika-asteikolla t = 200 (lippusäikeiden pyörimisnopeudella dimensioimaton aika). Vaikka molemmat alkavat samasta paikasta (A), solu, jolla on joustava koukku (K = 0,1), päätyy siihen, että sen lippusäikeet ovat kaikki kietoutuneet taaksepäin, ja se pystyy uimaan viisi kertaa nopeammin (B) kuin solu, jolla on jäykkä koukku (K = 100) ja jonka lippusäikeet ovat säilyneet samassa levittäytyneessä asennossa (C). Tämä on kvantifioitu kuvassa 3D, jossa on esitetty kuljettu nettomatka ajan funktiona (skaalattuna kierteiden korkeudella). Solu, jossa on joustava koukku (täytetty neliö), ui johdonmukaisesti nopeammin kuin jäykkä solu (täytetty ruutu). Jos vaihtoehtoisesti käännetään flagellojen pyörimissuunta niin, että ne pyörivät myötäpäivään (CW), solu muuttuu vetäjäksi eikä se siirry nopeaan uintiin sen enempää joustavalla koukulla (tyhjät neliöt) kuin jäykällä koukulla (tyhjät timantit). Huomaa, että kahdella jäykällä tapauksella (työntäjät ja vetäjät; timantit) on identtinen uinnin suuruus, mikä on seurausta Stokesin virtausten kinemaattisesta palautuvuudesta5. Tärkeää on, että joustavan työntäjän bakteerien siirtyminen nopeaan uintiin ei tapahdu tasaisesti koukun jäykkyyden muuttuessa, vaan se tapahtuu kriittisessä dimensiottomassa arvossa Kc ≈ 1 (dimensioton arvo, joka on saatu käyttämällä nesteen viskositeettia, kierteisen säikeen nousua ja pyörimisfrekvenssiä). Kc:n yläpuolella kaikki lippulangat pysyvät normaalisti soluun nähden (θ ≈ 0), mikä johtaa vähäiseen uintiin, kun taas Kc:n alapuolella kaikki lippulangat kietoutuvat solun taakse (|θ| ≈ π/2), mikä johtaa nettoliikehdintään.
Tämä jyrkkä siirtymä ei johdu koukun nurjahdusinstabiiliudesta, joka mallinnetaan tässä vain vääntöjousen tasolla16. Sen sijaan epävakaus johtuu kaksisuuntaisesta kytkennästä flagellan konformaation ja solun lokomotion välillä. Tämän epävakauden fysiikan selvittämiseksi tarkastelemme yksityiskohtaisemmin pallomaisen solurungon ja kahden lippulangan tapausta, joka on pienin mahdollinen konfiguraatio, joka kykenee osoittamaan epävakauden samalla kun se kuvaa samaa fysiikkaa kuin geometrisesti monimutkaiset tapaukset (ks. liitännäisfilmit lisätiedoissa). Tasaisen tilan laskentatulokset tässä tapauksessa on esitetty kuvan 4 pääosassa (symbolit ja ohuet viivat) lippusäikeiden akselin ja solurungon välisen kulman θ osalta (A) ja solun nettomääräisen laboratoriokehyksen uintinopeuden U osalta (B). Siinä missä vetäjäbakteerien lippusolukonformaatio on riippumaton koukun jäykkyydestä ja johtaa nollauintiin (vaaleanpunaiset ympyrät), työntäjäsoluissa on selvästi nähtävissä äkillinen hyppy käärittyyn konformaatioon ja nettoliikehdintä koukun jäykkyyden ollessa alle Kc ≈ 0.79 (tummansiniset ympyrät).
Steady-state flagellojen kallistuskulmat (|θ|, A) ja lab-rungon uintinopeudet (U, B) kuvan täydelliselle laskennalliselle mallille. 2A, jossa on kaksi lippulaivaa (symbolit ja ohuet viivat), ja kuvan 2B yksinkertaiselle aktiivisen säikeen mallille (paksut viivat) dimensiottoman koukun jousivakion K funktiona. Vihreä viiva ja vaaleanpunaiset symbolit: vetäjäbakteeri, jolle ei-uintitila on aina vakaa; tummanpunainen viiva ja tummansiniset symbolit: työntäjäbakteeri, joka siirtyy uintitilaan, kun on voimassa K < Kc. Katkoviiva osoittaa teoreettisesti ennustetun kriittisen jousivakion, Kc ≈ 0,53.
Elastohydrodynaamisen epävakauden analyyttinen malli
Havaittu dynamiikka voidaan kuvata analyyttisellä mallilla, joka osoittaa, että uinti tapahtuu lineaarisen elastohydrodynaamisen epävakauden seurauksena. Tarkastellaan yksinkertaista geometrista mallia, joka on esitetty kuvassa 2. Kaksi suoraa aktiivista filamenttia, joiden pituus on \(\ell \), on symmetrisesti kiinnitetty molemmin puolin pallonmuotoista solurunkoa, jonka säde on a, ja ne on kallistettu symmetrisillä kulmilla ±θ poispäin rungon pintanormaalista \(\hat{\bf{N}}}\) (huomattakoon, että epäsymmetrinen kallistusmuoto, jota ei ole tarkasteltu tässä yhteydessä, johtaisi translaation sijasta rotaatioon). Kukin filamentti, joka on elastisesti kiinnittynyt solurunkoon koukulla, joka on mallinnettu vääntöjousena, jonka jäykkyys on K, työntää solua tangentiaalisuunnassaan propulsiivisella voimatiheydellä \(f\hat{{\bf{t}}}}\), mikä johtaa bakteerin uintiin nopeudella \(U\hat{{{\bf{y}}}}}\) (ks. kaikki merkinnät kuvasta 2). CCW-liikkeessä propulsiovoimat osoittavat solurunkoa kohti (f < 0) ja solu on työntävä. Sitä vastoin CW-liikkeessä työntövoimat osoittavat poispäin solusta (f > 0) ja uimari on vetäjä.
Uintinopeus (U) ja filamenttien konformaation muutosnopeus (\(\(\dot{\theta }\))) voidaan saada voimaan voima- ja momenttitasapainon avulla. Käyttämällä c|| ja c⊥ merkitsemään vastuskertoimia hoikalle filamentille, joka liikkuu sen tangentin suuntaisesti ja kohtisuoraan (ks. lisämateriaali), saadaan koko soluun kohdistuvien voimien tasapaino uintisuunnassa, \(\hat{\bf{y}}}\), kirjoitetaan muotoon
jossa kaksi ensimmäistä termiä johtuvat solun rungon ja aktiivisten säikeiden vastuksesta uinnin takia, kolmas termi on säikeiden vastuksesta johtuva vastuksen aiheuttama pyörimisliike ja viimeinen termi on soluun vaikuttava kokonaisvoima.
Toinen yhtälö tulee kunkin aktiivisen filamentin momentin tasapainosta, joka kirjoitetaan \(\hat{\bf{z}}=\hat{\bf{x}}} \times \hat{\bf{y}}}\) suuntaan solun pinnalla olevassa kiinnityskohdassa seuraavasti
jossa ensimmäinen termi on filamentin pyörimisestä johtuva hydrodynaaminen momentti, toinen on uintivastuksesta johtuva hydrodynaaminen momentti ja viimeinen termi on koukusta johtuva kimmoinen palauttava momentti, joka vaikuttaa palauttaen filamentin takaisin suoraksi. Yhdistämällä yhtälöt (1) ja (2) saadaan kehitysyhtälö θ
Kun kimmoinen momentti dominoi, suora konfiguraatio θ = 0 on ainoa vakaa tila, johon ei liity uintia. Jos sen sijaan kimmomomentti on häviävän pieni, uintitiloista θ = ±π/2 tulee mahdollisia tasapainotiloja.
Tarkastellaksemme, miten koukun jäykkyyden vaihtelu mahdollistaa siirtymisen tilasta toiseen, ratkaisemme yhtälön Eq. (3) numeerisesti sopivilla lippusäikeiden arvoilla villityyppiselle uivalle E. coli -solulle ja käyttämällä f:n suuruutta, joka johtaa yhteisymmärrykseen täydellisten laskelmien kanssa koukun jäykkyyden ollessa nolla (ks. lisämateriaali). Aloitamme pienillä häiriöillä θ = 0:n ympärillä ja laskemme yhtälön (3) pitkäaikaisen vakaan tilan, ja tulokset on esitetty kuvassa 4 sekä työntäjän (tummanpunainen viiva) että vetäjän (vihreä viiva) osalta. Vetäjän solut eivät koskaan ui millä tahansa koukun jäykkyyden arvolla, ja suora konfiguraatio θ = 0 on aina stabiili. Sitä vastoin työntäjät eivät voi uida kriittistä arvoa jäykemmillä koukuilla, vaan ne siirtyvät äkillisesti suoraan uintiin pehmeämmillä koukuilla, mikä on erinomaisessa yhteisymmärryksessä täydellisen kahden flagellan tapauksen laskelmien kanssa (symbolit kuvassa 4).
Yksisäinen siirtyminen uintiin kriittisellä koukun jäykkyydellä voidaan ennustaa analyyttisesti linearisoimalla yhtälö. (3) lähellä tasapainotilaa θ = 0, mikä johtaa
Jos f on positiivinen (puller), niin konfiguraatio, jossa θ = 0, johon ei liity uintia U = 0, on aina lineaarisesti stabiili pienille häiriöille mille tahansa K:n arvolle. Sitä vastoin työntäjät, joiden f < 0, ovat lineaarisesti epästabiileja, kun K < Kc on sellainen, että yhtälön (4) oikeanpuoleinen puoli muuttuu positiiviseksi, eli \({K}_{c}=-\,f{c}_{\perp }{\ell }^{3}/(2{c}_{\perp }\ell +6\pi \mu a)\). Lineaarinen elastohydrodynaaminen epävakaus mahdollistaa siis riittävän joustavilla koukuilla varustettujen pusherbakteerien dynaamisen siirtymisen epäsymmetriseen konformaatioon (θ ≠ 0), jossa on nettouinti (U ≠ 0). Huomattakoon, että yksinkertainen teoreettinen malli (lineaarinen stabiilisuus ja yhtälön 3 numeerinen ratkaisu) ennustaa kriittiseksi dimensiottomaksi jäykkyydeksi Kc ≈ 0,53, mikä on sopusoinnussa koko bakteerimallin laskelmien kanssa, Kc ≈ 0,79.
.