S k i l l
i n
A L G E B R R A
Sisällysluettelo | Etusivu
Murtolukujen selvittäminen
2. taso
Yhtälön ratkaiseminen murtoluvuilla, muutamme sen yhtälöksi ilman murtolukuja — jonka osaamme ratkaista. Tätä tekniikkaa kutsutaan murtolukujen selvittämiseksi.
Esimerkki 1. Ratkaise x:
| x 3 |
+ | x – 2 5 |
= 6. |
Ratkaisu. Tyhjennä murtoluvut seuraavasti:
Kerrotaan yhtälön molemmat puolet — jokainen termi — nimittäjien LCM:llä. Kukin nimittäjä jakautuu tällöin kertolaskullaan. Tällöin meillä on yhtälö ilman murtolukuja.
3:n ja 5:n LCM on 15. Kerro siis yhtälön molemmat puolet 15:llä.
| 15- | x 3 |
+ | 15- | x – 2 5 |
= 15- 6 |
Vasemmalla jaetaan 15 jokaiselle termille. Jokainen nimittäjä jakautuu nyt 15:llä – se on piste
– ja meillä on seuraava yksinkertainen yhtälö, joka on ”puhdistettu” murtoluvuista:
| 5x + 3(x – 2) | = | ||
| Se on helppo ratkaista seuraavasti: | |||
| 5x + 3x – 6 | = | 90 | |
| 8x | = | 90 + 6 | |
| . | |||
| x | = | 96 8 |
|
| = | |||
Sanomme, että ”kerrannaismuuttujaa” käytetään molemmilla puolilla yhtälöä, mutta hyödynnämme kuitenkin sitä, että järjestyksellä, jossa kerromme tai jaamme, ei ole merkitystä. (Oppitunti 1.) Siksi jaamme LCM:n ensin kullakin nimittäjällä, ja sillä tavalla selvitämme murtoluvut.
Valitaan jokaisen nimittäjän monikerta, koska jokainen nimittäjä on silloin sen jakajana.
Esimerkki 2. Tyhjennetään murtoluvut ja ratkaistaan x:
| x 2 |
– | 5x 6 |
= | 1 9 |
Ratkaisu. Lukujen 2, 6 ja 9 LCM on 18. (Aritmetiikan oppitunti 23.) Kerro molemmat puolet 18:lla — ja kumoa.
9x – 15x = 2.
Ei pitäisi olla tarpeen kirjoittaa itse 18. Oppilaan pitäisi yksinkertaisesti katsoa 
ja nähdä, että 2 menee yhdeksän (9) kertaa 18:aan. Tästä termistä tulee siis 9x.
Katsotaan seuraavaksi 
ja nähdään, että 6 tulee 18:aan kolme (3) kertaa. Tuosta termistä tulee siis 3- -5x = -15x.
Katsotaan lopuksi 
ja nähdään, että 9 tulee 18:aan kaksi (2) kertaa. Tästä termistä tulee siis 2 – 1 = 2.
Tässä on selvitetty yhtälö ja sen ratkaisu:
| 9x – 15x | = | 2 | |
| -6x | = | 2 | |
| -6x | = | 2 | |
| x | = | 2 -6 |
|
| x | = | – | 1 3 |
Esimerkki 3. Ratkaise x:
½(5x – 2) = 2x + 4.
Ratkaisu. Tämä on yhtälö, jossa on murtoluku. Tyhjennä murtoluvut muuttamalla molemmat puolet 2:lla:
| 5x – 2 | = | 4x + 8 |
| 5x – 4x | = | 8 + 2 |
| x | = | |
Seuraavissa ongelmissa, tyhjennä murtoluvut ja ratkaise x:
Kunkin vastauksen näet viemällä hiiren värillisen alueen päälle.
Peittääksesi vastauksen uudelleen, napsauta ”Refresh” (”Päivitä”) (”Lataa uudelleen”).
Ratkaise tehtävä ensin itse!
| Tehtävä 1. | x 2 |
– | x 5 |
= | 3 | |
| LCM on 10. Tässä on selvitetty yhtälö ja sen ratkaisu: | ||||||
| 5x | – | 2x | = | 30 | ||
| 3x | = | 30 | ||||
| x | = | |||||
Minkä tahansa murtolukuja sisältävän yhtälön ratkaisemisesta, heti seuraavalla kirjoittamallasi rivillä —
5x – 2x = 30
— ei pitäisi olla murtolukuja.
| Tehtävä 2. | x 6 |
= | 1 12 |
+ | x 8 |
| LCM on 24. Tässä on selvitetty yhtälö ja sen ratkaisu: | |||||
| 4x | = | 2 + 3x | |||
| 4x – 3x | = | 2 | |||
| x | = | 2 | |||
| ongelma 3. | x – 2 5 |
+ | x 3 |
= | x 2 |
| LCM on 30. Tässä on selvitetty yhtälö ja sen ratkaisu: | |||||
| 6(x – 2) + 10x | = | 15x | |||
| 6x – 12 + 10x | = | 15x | |||
| 16x – 15x | = | 12 | |||
| x | = | ||||
Ongelma 4. Murtoluku yhtä suuri kuin murtoluku.
| x – 1 4 |
= | x 7 |
|
| LCM on 28. Tässä on selvitetty yhtälö ja sen ratkaisu: | |||
| 7(x – 1) | = | 4x | |
| 7x – 7 | = | 4x | |
| 7x – 4x | = | 7 | |
| 3x | = | 7 | |
| x | = | 7 3 |
|
Me näemme, että kun yksi murtoluku on yhtä suuri kuin yksi murtoluku, niin yhtälö voidaan selvittää ”ristiinkertoimella”.”
| Jos | ||||
| a b |
= | c d |
, | |
| den | ||||
| ad | = | bc. | ||
| Ongelma 5. | x – 3 3 |
= | x – 5 2 |
| Tässä on raivattu yhtälö ja sen ratkaisu: | |||
| 2(x – 3) | = | 3(x – 5) | |
| 2x – 6 | = | 3x – 15 | |
| 2x – 3x | = | – 15 + 6 | |
| -x | = | -9 | |
| x | = | 9 | |
| Tehtävä 6. | x – 3 x – 1 |
= | x + 1 x + 2 |
||
| Tässä on selvitetty yhtälö ja sen ratkaisu: | |||||
| (x – 3)(x + 2) | = | (x – 1)(x + 1) | |||
| x² -x – 6 | = | x² – 1 | |||
| -x | = | -1 + 6 | |||
| -x | = | 5 | |||
| x | = | -5. | |||
| Tehtävä 7. | 2x – 3 9 |
+ | x + 1 2 |
= | x – 4 |
| LCM on 18. Tässä on selvitetty yhtälö ja sen ratkaisu: | |||||
| 4x – 6 + 9x + 9 | = | 18x – 72 | |||
| . | |||||
| 13x + 3 | = | 18x – 72 | |||
| 13x – 18x | = | – 72 – 3 | |||
| -5x | = | -75 | |||
| x | = | ||||
| Tehtävä 8. | 2 x |
– | 3 8x |
= | 1 4 |
| LCM on 8x. Tässä on selvitetty yhtälö ja sen ratkaisu: | |||||
| 16 – 3 | = | 2x | |||
| 2x | = | 13 | |||
| x | = | 13 2 |
|||
2. taso
Seuraava oppitunti: Sisällysluettelo | Etusivu
Lahjoita, jotta TheMathPage pysyy verkossa.
Jopa 1 dollari auttaa.