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◄2.1. Puissance de collecte de la lumière ▐ 2.3. Grossissement du télescope ►
Les points forts de la page
– Limite de résolution de Rayleigh, de Dawes et de diffraction – Limite de moineau
– Luminosité stellaire télescopique et résolution limite – Résolution de la ligne sombre – Résolution des détails étendus
La résolution est une autre fonction vitale du télescope. En termes simples, la limite de résolution du télescope détermine la taille du détail qui peut être résolu dans l’image qu’il forme. En l’absence d’aberrations, ce qui détermine la limite de résolution est l’effet de la diffraction. Étant soumise aux propriétés de l’œil (détecteur), la résolution varie en fonction de la forme, du contraste, de la luminosité et de la longueur d’onde du détail. L’indicateur conventionnel du pouvoir de résolution – communément appelé limite de résolution par diffraction – est la séparation minimale résoluble d’une paire d’images d’objets ponctuels proches, fixée de manière quelque peu arbitraire par la théorie des ondes à ~λ/D en radians pour une lumière incohérente, λ étant la longueur d’onde de la lumière et D le diamètre d’ouverture (exprimé en secondes d’arc, il est de 134/D pour D en mm, ou de 4,5/D pour D en pouces, tous deux pour une longueur d’onde de 550nm).
La résolution de deux sources ponctuelles dépend inévitablement du grossissement du télescope. Pour que les images de deux points lumineux soient entièrement résolues, elles doivent être séparées par au moins un seul photorécepteur rétinien non éclairé (vraisemblablement un cône, puisque la limite de résolution des bâtonnets est nettement inférieure). Atteindre près de 100% de la limite de diffraction pour les sources ponctuelles nécessite de très forts grossissements, mais le gain en résolution est relativement faible après environ 25x par pouce d’ouverture.
Bien qu’il n’y ait pas de différence dans une imagerie à source ponctuelle unique entre la lumière cohérente et incohérente en ce qui concerne la distribution de l’intensité relative – tant que la lumière reste presque monochromatique – la limite de résolution pour une paire de sources ponctuelles pour la première varie avec la différence de phase entre les deux sources, de ~2λ/D avec une différence de phase nulle, à ~λ/D avec une différence de phase de π/2, et environ deux fois meilleure que celle avec la différence de phase égale à π (c’est-à-dire.c’est-à-dire λ/2), comme le montre la FIG. 12 à gauche (extrait de Optical Imaging and Aberrations 2, Mahajan). Puisque, selon le théorème de Van Cittert-Zernike, la lumière arrivant des étoiles est cohérente dans les télescopes de taille amateur, tant qu’elle est presque monochromatique, il est intéressant de se demander dans quelle mesure ce facteur de cohérence, qui change avec la largeur de bande de la longueur d’onde et l’OPD de la source, influence la limite de résolution réelle dans le champ.
La limite de résolution par diffraction de source ponctuelle pour la lumière incohérente, la lumière cohérente avec λ/4 OPD entre les composantes et, peut-être, des cas spécifiques de lumière partiellement cohérente, est donnée par ~λF, F étant le rapport nombre de la distance focale sur diamètre d’ouverture (F=ƒ/D, avec ƒ étant la distance focale). C’est un produit de la résolution angulaire et de la distance focale : λF=λƒ/D. Plus précisément, il s’agit de la limite de résolution pour deux images d’objets ponctuels d’intensité quasi égale (FIG.12). La limite de résolution peut varier de manière significative pour deux sources ponctuelles d’intensité inégale, ainsi que pour d’autres types d’objets (FIG. 14-16).
FIGURE 12 : GAUCHE : La limite de diffraction à la résolution de deux images d’objets ponctuels en lumière incohérente est approchée lorsque les deux sont d’intensité optimale presque égale. Au fur et à mesure que les deux PSF se rapprochent, l’intensité profonde entre eux diminue. À la séparation centrale de la moitié du diamètre du disque d’Airy – 1,22λ/D radians (138/D en secondes d’arc, pour λ=0,55μ et le diamètre d’ouverture D en mm), appelée limite de Rayleigh – la profondeur est à près de 3/4 de l’intensité maximale. En réduisant la séparation à λ/D (113,4/D en secondes d’arc pour D en mm, ou 4,466/D pourD en pouces, tous deux pour λ=0,55μ), on réduit l’intensité profonde à moins de 2 % sous le pic. C’est la limite conventionnelle de résolution par diffraction pour deux sources ponctuelles. Elle est juste en dessous de la limite empirique de résolution des étoiles doubles, connue sous le nom de limite de Dawes, donnée comme 116/Dmm secondes d’arc pour des étoiles blanches de magnitude visuelle m~5logD-5 pour D en mm (m~5logD+2 pour D en pouces), presque identique à la largeur maximale à mi-hauteur, ou FWHM de la PSF, égale à 1,03λ/D. Avec une réduction supplémentaire de la séparation, le contraste profond disparaît, et deux disques parasites fusionnent. La séparation à laquelle l’intensité s’aplatit au sommet est appelée limite de Sparrow, donnée par 107/D pour D en mm.
DROITE : La résolution de deux étoiles presque aussi brillantes en lumière cohérente à une séparation angulaire de 1,22λ/D varie avec l’OPD entre deux sources ponctuelles. À une différence de trajectoire nulle, les deux motifs fusionnent, formant les maxima centraux de 1,83λF de rayon et de 1,47 d’intensité maximale. À π/2 OPD, le motif combiné est identique à celui en lumière incohérente, et à OPD=π, les deux maxima de 1,11 sont un peu plus largement séparés, l’intensité profonde entre eux tombant à zéro, ces deux derniers indiquant une résolution limite nettement meilleure. Notez que pour un flux donné d’ondes x, les amplitudes individuelles des ondes A pour la lumière cohérente sont d’abord additionnées puis élevées au carré, sous la forme (xA)2, tandis qu’elles sont élevées au carré puis additionnées pour la lumière incohérente sous la forme xA2, afin d’obtenir leur intensité combinée. Cela rend l’intensité réelle de l’image de la lumière cohérente pour une amplitude donnée plus élevée d’un facteur x que celle de la lumière incohérente, et sa variation proportionnelle à x2, et non à x.
Les intensités de pointe des deux images d’objets ponctuels sur la FIG. 12 restent inchangées à la séparation centrale de 1,22λ/D, et plus. Aux séparations plus petites (à l’intérieur de la limite de Rayleigh), les deux intensités de pic commencent à augmenter, d’abord lentement, puis assez rapidement, l’intensité combinée doublant lorsque les deux centres fusionnent.
La séparation à laquelle la PSF combinée s’aplatit au sommet se produit à la séparation des centres 107/D en secondes d’arc, pour D en mm (4,2/D pour D en pouces). C’est ce qu’on appelle la limite de Sparrow, qui permet de détecter les doubles rapprochés en se basant sur l’allongement visuel de la tache centrale brillante du diagramme de diffraction. Pour des séparations plus proches, le pic d’intensité du motif combiné se forme au point médian entre deux images gaussiennes d’objets ponctuels.
Les tracés PSF ci-dessus sont pour l’intensité nominale (normalisée). Bien qu’il s’agisse d’un moyen assez courant d’illustrer la résolution d’une source ponctuelle, la réponse de l’œil humain à l’intensité lumineuse est principalement logarithmique, donc mieux illustrée par des PSF logarithmiques. Par exemple, l’écart d’intensité entre le pic central et les deuxièmes maxima dans une ouverture sans aberration est respectivement de 57 à 1 ; l’œil, cependant, voit le pic comme étant moins de deux fois plus lumineux (ceci s’applique lorsque les deux sont bien en deçà du seuil de détection de l’œil ; à mesure que le premier anneau lumineux, plus faible, s’approche du seuil de détection et passe en dessous, le différentiel d’intensité perçu augmente considérablement). Le graphique ci-dessous (FIG. 13) montre la PSF logarithmique (log10) pour la lumière polychromatique (dans la gamme qui est 1/10 de la longueur d’onde moyenne, encart H), plus proche de la PSF d’une étoile réelle que de la PSF monochromatique.
FIGURE 13 : La PSF logarithmique d’une ouverture sans aberration sur l’échelle de magnitude (stellaire) montre une distribution de l’intensité dans l’image stellaire plus proche de celle réellement perçue par l’œil humain (c’est-à-dire que l’intensité apparente s’échelonne inversement à la magnitude). En allant d’une étoile de magnitude nulle à une magnitude de 15, rien n’indique que la taille visuelle des maxima centraux diffère considérablement entre les étoiles brillantes et les étoiles moyennement et modérément faibles (ceci néglige les effets physiologiques secondaires possibles – et probables – sur la rétine, en particulier avec les sources très brillantes). Ce n’est que lorsque la périphérie du maximum central commence à passer sous le seuil de détection que sa taille visible diminue. Pour la résolution théorique maximale de deux sources ponctuelles, fixée à λ/D en radians (206,265λ/D en secondes d’arc), le disque central visible ne peut pas être significativement plus grand que λ/D angulairement (illustré pour l’étoile de magnitude zéro, par commodité). Un disque modérément plus grand devrait quand même permettre une résolution claire, en raison de la faible intensité de formation entre deux images d’étoiles, les disques apparaissant probablement moins que parfaitement ronds. Le graphique ci-dessus implique que cela se produirait au seuil de détection, environ deux magnitudes en dessous de l’intensité maximale. Cela n’est pas loin de la base rapportée pour établir la limite de résolution empirique par le révérend William Rutter Dawes : des paires d’étoiles presque aussi brillantes, environ trois magnitudes plus brillantes que l’étoile la plus faible détectable avec l’ouverture testée (Sky Catalogue 2000.0, Hirshfeld/Sinnott, p.xi). Selon lui, la résolution limite n’est possible qu’en l’absence de structure d’anneau visible (le niveau d’aberration typique, ou l’obstruction centrale moyenne, éclaircit le 1er anneau lumineux de moins d’une magnitude – comme illustré sur laFIG. 95 – ce qui équivaut à ~2mm de différentiel de hauteur sur le graphique ci-dessus).
Comme mentionné, cette limite s’applique aux images d’objets ponctuels presque également lumineux et contrastés au niveau d’intensité optimal. La limite de résolution pour les paires d’étoiles de luminosité inégale, ou celles qui sont significativement au-dessus ou au-dessous du niveau d’intensité optimal est plus faible. Pour d’autres formes d’images, la limite de résolution peut également s’écarter de manière significative, à la fois au-dessus et au-dessous de la limite conventionnelle. Un exemple est une ligne sombre sur fond clair, dont l’image de diffraction est définie par les images des deux bords lumineux qui l’entourent. Ces images sont définies par la fonction d’étalement des bords (ESF), dont la configuration diffère considérablement de la PSF (FIG. 14). Sa chute d’intensité au sein de la séquence principale étant, par ailleurs, assez similaire à celle de la PSF, la résolution de ce type de détail est plus susceptible d’être limitée par la sensibilité du détecteur, que par la diffraction (dans le sens où le différentiel d’intensité pour le point médian entre les images gaussiennes des bords par rapport aux pics d’intensité, forme un différentiel de contraste non nul pour toute séparation finie des bords).
FIGURE 14 : La limite de la résolution par diffraction varie significativement avec la forme de l’objet/détail. L’image d’une ligne sombre sur un fond clair est une conjonction d’images de diffraction des deux bords lumineux, décrite par la fonction d’étalement des bords (ESF). Comme le montre l’illustration, l’écart entre les deux profils d’intensité à une séparation de λ/D est beaucoup plus important pour l’ESF que pour la PSF (qui est presque identique à la fonction d’étalement de ligne, déterminant la résolution MTF limite). Cela implique une résolution limite considérablement meilleure que λ/D, ce qui correspond aux observations pratiques (division de Cassini, rilles de la Lune, etc.). La chute graduelle de l’intensité au sommet de la courbe d’intensité autour des bords peut produire des caractéristiques très subtiles à faible contraste, même si la séparation elle-même reste invisible.
L’image par diffraction d’une source ponctuelle à la surface de la plupart des objets étendus ne pourrait être détectée que si elle était séparée du reste de la surface, non pas parce qu’elle est petite et relativement faible, mais parce qu’elle est généralement d’une intensité beaucoup plus faible que celle de la surface. Par exemple, la luminosité moyenne totale de Jupiter est comme s’il y avait une étoile de 6ème magnitude dans chaque seconde d’arc carré de sa surface. Est-ce qu’une surface d’émission de 1 seconde d’arc carré est une source ponctuelle valable ? C’est possible, mais cela dépend vraiment de la taille de l’ouverture. Le calcul de diffraction (Imagerie et aberrations 2, Mahajan) montre que le disque incohérent émetteur de lumière – ou un trou – plus petit que ~1/4 du disque d’Airy, produit une PSF pas sensiblement différente de celle d’une source ponctuelle parfaite (FIG. 14). Avec le diamètre angulaire du disque d’Airy donné par 2,44λ/D en radians (multiplié par 206 265 pour les secondes d’arc), cela fixe le diamètre maximal du disque (trou) qui se qualifie comme source ponctuelle à ~0,6λ/D, ou plus petit, en radians, ~125 000λ/D, ou plus petit, en secondes d’arc (la taille linéaire correspondante est directement déterminée par sa distance, comme un produit de la distance et de sa taille angulaire en radians).
En conséquence, l’image de diffraction d’une surface étendue peut être évaluée comme un produit de points de surface ne dépassant pas 1/4 du diamètre du disque d’Airy (une division supplémentaire de cette source ponctuelle effective à une luminance de surface donnée ne fait que diminuer les maxima PSF réels d’une telle unité de surface, mais ses caractéristiques spatiales ne changent pas sensiblement par rapport à celles d’un point de disque d’Airy de 1/4, et le volume PSF intégré sur une surface de point de disque d’Airy de 1/4 ne diffère pas sensiblement de celui produit par un tel point). En termes de secondes d’arc carrées, la surface correspondant à un point de 125 000λ/D de diamètre est pour le côté carré plus petit d’un facteur de π/4, donc donnée par 99 000λ/D. Pour λ=0,00055mm (pic photopique), cela donnerait 0,54 seconde d’arc carrée (c’est-à-dire un carré avec un côté de 0,54 seconde d’arc) pour une ouverture de 100mm, 0,27 seconde d’arc pour 200mm, et ainsi de suite.
FIGURE 15 : Un objet n’a pas besoin d’être strictement une source ponctuelle pour produire une PSF de source ponctuelle, mais si ses dimensions angulaires dépassent un certain niveau, son maximum de diffraction central s’élargit, et il se transforme en une image d’objet étendu. GAUCHE : Changement dans la distribution radiale de l’intensité lorsque la zone d’émission augmente de zéro (source ponctuelle) à un disque de 2λF de rayon. Au rayon du disque égal à λF/4, ou 1/5 du rayon du disque d’Airy, la PSF résultante est seulement légèrement plus large que celle d’une source ponctuelle, donc une zone d’émission circulaire de cette taille, ou plus petite, peut être considérée comme une source ponctuelle par rapport à son image de diffraction. DROITE : Changement de l’intensité centrale avec l’augmentation de la défocalisation axiale. Plus le rayon du disque est grand, moins l’intensité centrale de son image est sensible à la défocalisation. Alors qu’elle tombe à zéro dès la défocalisation à 1 onde pour un rayon de disque (trou) égal à λF/4, elle reste supérieure à zéro au-delà de la défocalisation à 4 ondes dès un rayon de disque égal à λF, légèrement inférieur à celui du disque d’Airy. Notez que les intensités centrales sur les deux graphiques sont toutes normalisées à 1, mais l’intensité réelle du pic varie avec la taille du disque. Avec une luminance de surface du disque constante, les pics de diffraction réels pour 0,25, 0,5, 1 et 2 rayons, normalisés au plus élevé, se rapporteraient à 0,15, 0,88, 0,97 et 1, respectivement.
Contrairement à l’image de diffraction de source ponctuelle, où il n’y a pas de différence appréciable dans la forme de PSF normalisée pour la lumière cohérente et incohérente, une image d’objet étendue en lumière cohérente développe des pics isolés sur ses maxima centraux, le plus fort étant à son bord. Il en résulte l’effet appelé « edge ringing », rendant l’intégrité de l’image inférieure à celle en lumière incohérente.
La surface d’un objet étendu peut être décomposée sur des sources ponctuelles, qui se chevauchent et grandissent en une image de diffraction plus grande de celui-ci. Toute zone distinctive sur une telle surface peut également être décomposée sur ses sources ponctuelles effectives. La visibilité d’une telle zone – un détail de surface – dans l’image du télescope dépend de multiples facteurs : sa taille, sa luminosité et son contraste et, si des couleurs sont présentes, la spécificité de la teinte et la saturation.
Bien sûr, les aberrations optiques peuvent également avoir un effet significatif sur la distribution de l’intensité, l’image par rapport à l’objet, l’énergie de diffusion et la baisse du contraste/résolution. Bien que les aberrations provoquent ici le même effet général, les spécificités sont différentes de celles de la source ponctuelle (FIG. 16).
FIGURE 16 : Distribution d’intensité radiale dans l’image de diffraction d’un disque incohérent, avec le rayon 2,3 fois le rayon du disque d’Airy avec une défocalisation nulle (noir plein) et des quantités spécifiées de l’aberration. Une défocalisation d’un quart d’onde P-V a un effet négligeable sur l’intensité centrale et l’énergie perdue dans le maximum central, et une défocalisation d’un demi onde réduit seulement l’intensité centrale de ce maximum à 0,91. Une vague de défocalisation, qui ramène l’intensité centrale du PSF à zéro, est encore juste en dessous de 0,5 ici. Cependant, la valeur numérique de l’intensité centrale n’a pas ici les mêmes implications que pour le PSF. Alors que dans ce dernier, elle se rapproche étroitement de l’énergie relative conservée dans les maxima – impliquant donc directement la perte d’énergie relative – ici, elle est généralement optimiste à cet égard. La raison en est la manière différente avec laquelle l’aberration affecte la forme des maxima centraux : puisque son énergie est proportionnelle à son volume, le volume aberré remodelé qui, contrairement aux maxima PSF, perd relativement plus d’énergie sur les côtés que sur le dessus du maxima central aberré, provoque une disparité significative entre la baisse nominale relative des maxima centraux et la perte d’énergie relative. En général, cette dernière est nettement plus élevée. Ainsi, par exemple, alors que la chute des maxima centraux pour les P-V 1/4 et 1/2 onde de défocalisation est de 2% et 9%, la perte d’énergie correspondante est – très approximativement – plus proche de 10% et 30%, respectivement. Dans le même temps, le changement de la taille relative de la FWHM pour ces niveaux d’erreur, de manière similaire à la PSF, reste insignifiant.
Si l’effet des aberrations sur l’image de diffraction d’un objet étendu est tellement plus petit, comment les aberrations dans cette gamme, assez courantes dans les télescopes, infligent-elles une perte notable au contraste des détails étendus ? Eh bien, elles ne le font pas, pas à ce niveau de détail. Avec un rayon d’image gaussien de 2,3λF, ce disque est presque 4,5 fois plus large que la fréquence de coupure de la MTF (1,03λF), ce qui place la fréquence normalisée correspondante de la MTF à 0,22. C’est donc dans le domaine des basses fréquences que la baisse de contraste causée par les aberrations est généralement plus faible (FIG. 17).
FIGURE 17 : Tracés MTF polychromatiques (photopiques) à gauche montrant l’effet de la défocalisation sur le transfert de contraste et, pour comparaison, leur effet sur la CTF (à droite). La MTF sinusoïdale (standard) présente un transfert de contraste généralement plus faible que la MTF carrée, la défocalisation dans la première abaissant le contraste par rapport à l’image sans aberration à la fréquence de 0,22 : 14 % à 1/4 d’ondeP-V, et 39 % à 1/2 d’onde. Ces chiffres sont à comparer à une perte de contraste de 19 % et 56 % respectivement, calculée en moyenne sur toute la gamme de fréquences. Avec le CTF à onde carrée, la perte de contraste correspondante est de 14% et 40%, respectivement.
La MTF et le CTF donnent tous deux une perte de contraste à cette taille de détail supérieure à l’estimation grossière de la perte d’énergie/contraste basée sur la distribution radiale de l’énergie. La différence est relativement modeste à 1/4 d’onde de défocalisation, 14% contre ~10%, et plus ambivalente à 1/2 onde : 56% et 40% contre ~30% pour la MTF et la CTF, respectivement. Mais c’est à prévoir, puisque ni l’un ni l’autre n’est directement comparable dans la forme à un disque cohérent (à 1/2 onde de défocalisation, la différence de transfert de contraste entre les deux est même légèrement supérieure à celle entre le CTF et le disque).
Et ni l’une ni l’autre des deux FTM, ni, d’ailleurs, le disque incohérent sur fond sombre, ne constituent une forme de détail similaire, disons, au détail planétaire typique. Un tel détail est imbriqué dans l’entourage de détails adjacents d’intensité similaire. Le niveau de sa détection dépend autant – sinon plus – de la distinction des couleurs que du différentiel d’intensité (contraste). Le facteur couleur est entièrement négligé par la MTF. Si deux objets de même intensité sont placés en contact l’un avec l’autre, leur image montrera une surface unique et continue, simplement parce qu’il n’y a pas de discontinuité dans l’émission des ondes. Mais si ces surfaces émettent à des longueurs d’onde principales différentes, l’œil créera une distinction en leur attribuant des couleurs différentes. En d’autres termes, la couleur produit une qualité semblable au contraste, ce qui peut améliorer la détection/résolution pour tout niveau de contraste inhérent à l’image, y compris zéro.
Si nous supposons, cependant, que de tels détails étendus ne sont pas liés de manière transparente à leur environnement, et/ou varient dans leurs intensités relatives – le scénario le plus probable – alors il y a une discontinuité d’émission d’ondes entre eux, et leurs images de diffraction, au moins en première approximation, se superposent en formant l’image finale complexe. Entre deux détails très proches d’intensité similaire – comme illustré sur la figure 10C en haut à droite, l’énergie combinée remplira probablement la majeure partie de l’espace entre leurs images individuelles respectives, ne laissant qu’une étroite zone de transition à très faible contraste, peu susceptible d’être détectée. La détection de tels détails dépendrait entièrement de leur distinction de couleur ; plus elle est faible, plus vite elle sera affectée par la propagation de l’énergie causée par l’aberration, mais le degré auquel elle sera affectée dépend aussi de façon critique de la taille angulaire du détail.
Si l’intensité relative du détail est significativement différente, le contraste devient aussi un facteur significatif (FIG. 10C, en bas à droite). De tels détails sont plus typiques de la surface de la Lune. En raison de leur niveau de contraste relativement élevé, ils seront moins affectés par le débordement de l’énergie aberrante. Encore une fois, leur taille angulaire est le principal déterminant de l’effet de tout niveau d’aberration donné sur leur détection.
Ceci, évidemment, ne fait qu’effleurer la surface de la relation entre la qualité d’image des détails étendus et les aberrations. Mais ce concept très basique apporte plus de lumière sur ce sujet assez obscur. En général, une plus grande ouverture résoudra plus de détails, car son point-source effectif (qui peut également être considéré comme un pixel d’image) est, comme mentionné, inversement proportionnel à la taille de l’ouverture. En outre, la saturation des couleurs sera meilleure. Le facteur de luminosité est quelque peu ambivalent, car il peut être à la fois bénéfique et néfaste. Il est généralement bénéfique pour la détection des sources ponctuelles et similaires, ainsi que des objets peu lumineux de tous types. Il peut être désavantageux pour la résolution des détails des objets brillants, ponctuels et étendus. Cependant, étant donné que la transmission de lumière du télescope peut être facilement abaissée à n’importe quelle ouverture donnée, ce désavantage est de nature plutôt formelle.
Généralement, la taille du plus petit détail détectable sur la surface d’un objet étendu est grossièrement proportionnelle à la limite de résolution de diffraction nominale (objet ponctuel) du télescope et à son pouvoir de collecte de lumière, mais elle est aussi nettement inférieure, variant selon le type de détail et l’environnement. Pour les détails lumineux typiques à faible contraste (planètes majeures), et les détails sombres à faible contraste (la plupart des nébuleuses et des galaxies), l’analyse MTF de Rutten et Venrooij (Telescope Optics, p215) indique la limite de résolution MTF plus faible d’un facteur de ~2 et ~7, respectivement, que pour le motif lumineux et contrasté (qui est pratiquement identique à la limite de résolution stellaire nominale du télescope).
Les prémisses formelles et les résultats expérimentaux sur le sujet de la résolution des télescopes sont couverts en détail dans Amateur Astronomer’s Handbook, J.B. Sidgwick (p37-51). Naturellement, la résolution en général se détériore avec l’introduction d’aberrations de front d’onde.
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