.
Table des matières
Utilisation de la calculatrice d’écart type
La calculatrice d’écart type ci-dessus offre un moyen simple à la fois de calculer et d’apprendre à trouver l’écart type d’un ensemble de nombres. Mieux que n’importe quelle calculatrice standard, cette calculatrice fournit une solution étape par étape pour savoir comment trouver la réponse par vous-même. Cette calculatrice d’écart type est un excellent outil pédagogique pour vous aider à obtenir les bonnes réponses dans votre propre travail. Si vous avez également besoin de trouver l’étendue d’un ensemble de données, consultez la page Calculatrice des mesures de variabilité. Cette calculatrice trouvera les trois mesures de variabilité, l’étendue, la variance et l’écart type, et vous montrera une solution étape par étape.
Qu’est-ce que l’écart type ?
La définition de l’écart type est une mesure de la « dispersion » des valeurs de données dans l’ensemble de données. La « dispersion » fait référence à la proximité ou à l’éloignement des valeurs de données par rapport à la moyenne de l’ensemble de données. La variance est le carré de l’écart-type. La variance et l’écart-type sont tous deux des mesures de la variabilité.
Cette calculatrice d’écart-type ne vous donne pas seulement une réponse à votre problème, elle vous guide également dans une solution étape par étape.
Que signifie un grand écart-type ?
Selon la définition de l’écart-type, il mesure la dispersion des valeurs de données par rapport à la moyenne. Si l’écart-type est important, cela signifie qu’il y a une grande dispersion des valeurs des données. Cela signifie que les valeurs sont plus étalées et plus éloignées de la moyenne. Cela implique une grande variabilité dans l’ensemble des données. Si l’écart-type est faible, les valeurs de données d’un ensemble de données sont moins éloignées de la moyenne. Cela implique moins de variabilité et plus de cohérence.
Supposons que vous passiez un examen et que l’écart-type des notes de la classe soit de 5,0. À ce stade, nous ne pouvons pas vraiment dire si votre classe a obtenu des résultats cohérents ou non, car nous n’avons rien à quoi la comparer. Maintenant, votre ami d’une autre classe passe un examen et l’écart type des notes de cette classe est de 15,0. Lorsque nous comparons les deux écarts types, nous constatons que votre classe est plus cohérente et moins variée. Il y a moins de cohérence et plus de variabilité dans la classe de votre ami.
Si vous utilisez la calculatrice d’écart-type pour trouver les écarts-types de deux ensembles de données différents, l’écart-type qui est plus petit correspond à l’ensemble de données qui est plus cohérent, et l’écart-type qui est plus grand correspond à l’ensemble de données qui est plus variable.
Exemple de revenu – comparaison de deux villes
Supposons que vous ayez deux ensembles de données constitués du revenu familial. Le premier ensemble de données est constitué de la population des revenus des familles de la ville ‘A’, et le second ensemble de données est constitué de la population des revenus des familles de la ville ‘B’.’ La ville ‘A’ et la ville ‘B’ ont toutes deux des revenus familiaux moyens de 65 000 $. Jusqu’à présent, nous avons:
Moyenne de la ville A:
µ = 65,000
Moyenne de la ville B:
µ = 65,000
Si l’écart-type pour l’ensemble de données des revenus de la ville A est de $ \$ 5,500.00 $ et que l’écart-type de l’ensemble des revenus de la ville B est de $ \$ 2 100,00 $, nous savons que les revenus de la ville A sont plus éloignés de la moyenne, tandis que les revenus de la ville B sont plus proches ou plus concentrés autour de la moyenne. Les revenus dans la ville A ont une plus grande variabilité que les revenus dans la ville B.
Symbole pour l’écart-type
Le symbole pour l’écart-type d’un ensemble de données qui représente un échantillon est s. Le symbole pour l’écart-type d’un ensemble de données qui représente la population est σ (sigma grec minuscule). Nous disposons des informations sur la population de la ville ‘A’ et de la ville ‘B’. Par conséquent, le symbole de l’écart-type pour les deux est :
Écart-type de la ville A :
σ = 5 500 $
Écart-type de la ville B :
σ = 2 100 $
Écart-type pour une variabilité nulle
Un écart-type est toujours un nombre positif, ou éventuellement 0. Supposons que dans la ville ‘C’, chaque famille ait le même revenu, 65 000 $. Bien que, d’un point de vue réaliste, cela ne soit pas possible, mathématiquement, cela signifierait que la moyenne des revenus dans la ville ‘C’ est de $ \$ 65 000 $, et que l’écart-type est de 0. Un écart-type de 0 indique qu’un ensemble de données n’a aucune variabilité, et que chaque valeur de données dans l’ensemble de données est exactement la même.
Essayez ! En utilisant la calculatrice d’écart type, entrez ce qui suit :
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5
Vous verrez que l’écart type sera calculé à 0, et les étapes de la solution vous montreront pourquoi il est de 0.
Unités utilisées pour l’écart type
Les unités de l’écart type sont les mêmes que les unités des valeurs de données dans l’ensemble de données. Dans notre exemple ci-dessus, les valeurs de données sont des revenus en dollars, donc l’écart-type est en dollars.
Qu’est-ce que la variance ?
Liée à l’écart-type d’un ensemble de données est la variance d’un ensemble de données. La variance d’un ensemble de données est le carré de l’écart-type, et donc les unités de la variance sont au carré de celles de l’écart-type. Le symbole de la variance de l’échantillon est s2, et le symbole de la variance de la population est σ2. Dans notre exemple ci-dessus, les variances de la ville A et de la ville B sont :
Variance de la ville A :
σ2 = 30 250 000 $2
Variance de la ville B :
σ2 = 4 410 000 $2
Comme vous le feriez manuellement, la calculatrice d’écart type trouve d’abord la variance, puis prend la racine carrée pour trouver l’écart type.
Application des formules d’écart type et de variance
Maintenant que vous connaissez la définition de l’écart type, voulez-vous apprendre à calculer l’écart type et la variance ? Vous pouvez soit appliquer les formules d’écart-type et de variance, soit faire défiler et utiliser la calculatrice d’écart-type en ligne. Dans le tutoriel ci-dessous, je vais vous montrer comment trouver l’écart type et la variance à la main en utilisant des formules.
Vous voulez savoir comment trouver l’écart type ou la variance d’un ensemble de données manuellement ? Alors, vous devrez utiliser les formules de variance et/ou d’écart type. Ces formules peuvent sembler complexes, mais si vous les calculez par petites étapes, le processus est très facile à gérer. Les formules utilisent différents symboles, selon que l’ensemble de données représente une population ou un échantillon.
Il existe deux versions des formules de variance et d’écart-type, les formules standard et de calcul. J’utiliserai la formule de calcul dans cet article. Elle est plus simple à calculer à la main et comporte moins d’erreurs d’arrondi. Si vous voulez voir la solution de la formule standard, le calculateur d’écart-type ci-dessus peut vous montrer les solutions utilisant les deux formules.
Formule de variance de population et formule de variance d’échantillon
| Formule de variance de population | Formule de variance d’échantillon |
|---|---|
$$ {\sigma^2}= \frac{{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{N}}{N}$Où $\sigma^2$ est le symbole de la variance de la population, |
$ {s^2}= \frac{{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}$Où $s^2$ est le symbole de variance de l’échantillon, |
Il y a une étape très simple entre obtenir la variance et ensuite obtenir l’écart-type. Une fois que vous avez la variance, il suffit de prendre la racine carrée pour obtenir l’écart-type.
Formule d’écart type de population et formule d’écart type d’échantillon
| Ecart type de population. Formule de l’écart type de la population | Formule de l’écart type de l’échantillon |
|---|---|
$$ {\sigma}= \sqrt{\frac{{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{N}}{N}} $$Où $\sigma$ est le symbole d’écart type de la population, |
$ {s}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n – 1} $$Où $s$ est le symbole d’écart type de l’échantillon, |
Exemple sur la façon de trouver l’écart-type et la variance
Démontrons comment trouver l’écart-type et la variance pour un petit ensemble de données, étant donné que l’ensemble de données représente un échantillon de tailles d’enfants. Après avoir obtenu la variance, nous ferons un petit pas pour obtenir l’écart-type. Nous calculerons nos réponses en effectuant une série de 8 étapes.
Le problème : Trouvez la variance et l’écart-type pour ce qui suit . Supposons que vous ayez un échantillon de 5 enfants et que leurs hauteurs soient :
56 po, 49 po, 61 po, 60 po, 63 po
Étape 1 – Écrire les formules de variance et d’écart-type de l’échantillon
Parce que ce problème indique que les 5 valeurs représentent un échantillon, nous utiliserons les formules de variance et d’écart-type de l’échantillon. Tout d’abord, commencez par écrire les formules de calcul de la variance de l’échantillon et de l’écart type de l’échantillon :
$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}$
$$ {s}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n – 1}} $$
Étape 2 – Créer un tableau pour toutes les valeurs de $ x $ et $x^2$
Puis, dessinez un tableau de 2 colonnes et 5 lignes pour chaque valeur de données, et une ligne d’en-tête. Étiquetez la ligne d’en-tête avec $ x $ et $ x^2 $. Maintenant, placez chacune des valeurs de données dans la colonne $ x $. Chaque valeur de données a sa propre ligne. Mettez au carré chaque valeur de x dans la première colonne, et mettez ces valeurs dans la deuxième colonne.
$x$ |
$x^2$ |
| 56 | 3136 |
| 49 | 2401 |
| 61 | 3721 |
| 60 | 3600 |
| 63 | 3969 |
Étape 3 – Additionner toutes les valeurs de la première colonne
Après avoir créé la table et les colonnes, prenez la somme de toutes les valeurs de la première colonne. Ceci est symbolisé par $ \sum{x} $.
$$ \sum{x} = 56+49+61+60+63 $$
$$ \sum{x} = 289 $$
Etape 4 – Equerrez et divisez
Maintenant, prenez la réponse de l’étape 3, 289, et élevez-la au carré. Ensuite, divisez par la taille de l’échantillon.
$$ \frac{(\sum{x})^2}{n} = \frac{83521}{5} = 16704.2 $$
Étape 5 – Additionnez toutes les valeurs de la deuxième colonne
Puis, prenez la somme de toutes les valeurs de la deuxième colonne. Ceci est symbolisé par $ \sum{x^2} $.
$$ \sum{x^2} = 3136+2401+3721+3600+3969$$
$$ \sum{x^2} = 16827 $
Etape 6 – Soustraire $ \sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n} $
Dans cette étape, vous allez prendre la réponse de l’étape 5 et soustraire la réponse de l’étape 4.
$$\sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n}$
$$ 16827 – 16704.2 = 122.8 $$
Etape 7 – Diviser et obtenir la variance
Ici, prenez la réponse de l’étape 6 et divisez par $n – 1$, un de moins que la taille de l’échantillon. C’est la variance!
$$ {s^2}= \frac{{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}{n-1}
= \frac{ 122.8 }{4} = 30.7 $$
Étape 8 – Comment trouver l’écart type à partir de la variance
Enfin, pour trouver l’écart type, prenez la racine carrée de la réponse pour la variance de l’étape 7. Ici, je vais arrondir la réponse à 4 décimales.
$$ s = \sqrt{30,7} = 5,5408 $$
Puisque nos données sont initialement en unités de pouces, l’écart-type est de 5,5408 pouces.
C’est tout ! Pas si mal, hein ? C’est une bonne idée d’utiliser la calculatrice d’écart type ci-dessus pour vous guider dans la résolution d’autres problèmes. Essayez de trouver manuellement les solutions par vous-même et vérifiez votre travail par rapport à la solution obtenue avec la calculatrice. Vous avez réussi !