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La résolution des fractions
2ème niveau
Pour résoudre une équation avec fractions, on la transforme en une équation sans fractions — que l’on sait résoudre. Cette technique s’appelle la compensation des fractions.
Exemple 1. Résolvez pour x:
| x 3 |
+ | x – 2 5 |
= 6. |
Solution. Effacer les fractions comme suit:
Multiplier les deux côtés de l’équation — chaque terme — par la LCM des dénominateurs. Chaque dénominateur se divisera alors en son multiple. Nous aurons alors une équation sans fractions.
La LCM de 3 et 5 est 15. Il faut donc multiplier les deux côtés de l’équation par 15.
| 15- | x 3 |
+ | 15- | x – 2 5 |
= 15- 6 |
À gauche, distribuez 15 à chaque terme. Chaque dénominateur va maintenant se diviser en 15 — c’est le point
— et nous avons l’équation simple suivante qui a été « débarrassée » des fractions:
| 5x + 3(x – 2) | = | |
| Elle se résout facilement comme suit : | ||
| 5x + 3x – 6 | = | 90 |
| 8x | = | 90 + 6 |
| . | ||
| x | = | 96 8 |
| = | ||
Nous disons « multiplier » les deux côtés de l’équation, mais nous profitons du fait que l’ordre dans lequel nous multiplions ou divisons n’a pas d’importance. (Leçon 1.) Par conséquent, nous divisons la LCM par chaque dénominateur d’abord, et de cette façon, nous éliminons les fractions.
Nous choisissons un multiple de chaque dénominateur, car chaque dénominateur sera alors un diviseur de celui-ci.
Exemple 2. Effacer les fractions et résoudre x:
| x 2 |
– | 5x 6 |
= | 1 9 |
Solution. La LCM de 2, 6 et 9 est 18. (Leçon 23 d’arithmétique.) Multipliez les deux côtés par 18 — et annulez.
9x – 15x = 2.
Il ne devrait pas être nécessaire d’écrire réellement 18. L’élève devrait simplement regarder 
et voir que 2 ira dans 18 neuf (9) fois. Ce terme devient donc 9x.
Puis, regarder 
, et voir que 6 ira dans 18 trois (3) fois. Ce terme devient donc 3- -5x = -15x.
Enfin, regardez 
, et voyez que 9 fera à dans 18 deux (2) fois. Ce terme devient donc 2 – 1 = 2.
Voici l’équation clivée, suivie de sa solution :
| 9x – 15x | = | 2 | |
| -6x | = | 2 | |
| x | = | 2 -6 |
|
| x | – | 1 3 |
|
Exemple 3. Résolvez pour x:
½(5x – 2) = 2x + 4.
Solution. Il s’agit d’une équation avec une fraction. Effacer les fractions en mutipliant les deux côtés par 2 :
| 5x – 2 | = | 4x + 8 |
| 5x – 4x | = | 8 + 2 |
| x | = | |
Dans les problèmes suivants, éliminez les fractions et résolvez l’équation x :
Pour voir chaque réponse, passez votre souris sur la zone colorée.
Pour recouvrir la réponse, cliquez sur « Rafraîchir » (« Reload »).
Faites d’abord le problème vous-même !
| Problème 1. | x 2 |
– | x 5 |
= | 3 |
| Le LCM est 10. Voici l’équation compensée et sa solution : | |||||
| 5x | – | 2x | = | 30 | |
| 3x | = | 30 | |||
| x | = | ||||
Sur la résolution de toute équation avec des fractions, la ligne suivante que vous écrivez —
5x – 2x = 30
— ne doit pas contenir de fractions.
| Problème 2. | x 6 |
= | 1 12 |
+ | x 8 |
|
| Le LCM est 24. Voici l’équation clivée et sa solution : | ||||||
| 4x | = | 2 + 3x | ||||
| 4x – 3x | = | 2 | ||||
| x | = | 2 | ||||
| Problème 3. | x – 2 5 |
+ | x 3 |
= | x 2 |
| Le LCM est 30. Voici l’équation débarrassée et sa solution : | |||||
| 6(x – 2) + 10x | = | 15x | |||
| 6x – 12 + 10x | = | 15x | |||
| 16x – 15x | = | 12 | |||
| x | = | ||||
Problème 4. Une fraction égale à une fraction.
| x – 1 4 |
= | x 7 |
|
| Le LCM est 28. Voici l’équation résolue et sa solution : | |||
| 7(x – 1) | = | 4x | |
| 7x – 7 | = | 4x | |
| 7x – 4x | = | 7 | |
| 3x | = | 7 | |
| x | = | 7 3 |
|
Nous voyons que lorsqu’une seule fraction est égale à une seule fraction, alors l’équation peut être résolue par une « multiplication croisée ». »
| Si | ||||
| a b |
= | c d |
, | |
| alors | ||||
| ad | = | bc. | ||
| Problème 5. | x – 3 3 |
= | x – 5 2 |
| Voici l’équation élucidée et sa solution : | |||
| 2(x – 3) | = | 3(x – 5) | |
| . | |||
| 2x – 6 | = | 3x – 15 | |
| 2x – 3x | = | – 15 + 6 | |
| -x | = | -9 | |
| x | = | 9 | |
| Problème 6. | x – 3 x – 1 |
= | x + 1 x + 2 |
||
| Voici l’équation résolue et sa solution : | |||||
| (x – 3)(x + 2) | = | (x – 1)(x + 1) | |||
| x² -x – 6 | = | x² – 1 | |||
| -x | = | -1 + 6 | |||
| -x | = | 5 | |||
| x | = | -5. | |||
| Problème 7. | 2x – 3 9 |
+ | x + 1 2 |
= | x – 4 |
| Le LCM est 18. Voici l’équation clivée et sa solution : | |||||
| 4x – 6 + 9x + 9 | = | 18x – 72 | |||
| . | |||||
| 13x + 3 | = | 18x – 72 | |||
| 13x – 18x | = | – 72 – 3 | |||
| -5x | = | -75 | |||
| x | = | ||||
| Problème 8. | 2 x |
– | 3 8x |
= | 1 4 |
| Le LCM est 8x. Voici l’équation clivée et sa solution : | |||||
| 16 – 3 | = | 2x | |||
| 2x | = | 13 | |||
| x | = | 13 2 |
|||
2ème niveau
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