Sur cette diapositive, nous avons deux versions des équations d’Euler qui décrivent comment la vitesse, la pression et la densité d’un fluide en mouvement sont liées.Les équations sont nommées en l’honneur de Léonard Euler, qui était étudiant avec Daniel Bernoulli, et a étudié divers problèmes de dynamique des fluides au milieu des années 1700.Les équations sont un ensemble d’équations différentielles couplées et elles peuvent être résolues pour un problème d’écoulement donné en utilisant des méthodes de calcul.Bien que les équations semblent être très complexes, elles sont en fait des simplifications des équations plus générales de Navier-Stokese de la dynamique des fluides. Les équations d’Euler négligent les effets de la viscosité du fluide qui sont inclus dans les équations de Navier-Stokes.Une solution des équations d’Euler n’est donc qu’une approximation d’un problème réel de fluides.Pour certains problèmes, comme le soulèvement d’un profil mince à faible angle d’attaque, une solution des équations d’Euler fournit un bon modèle de la réalité. Pour d’autres problèmes,comme la croissance de la couche limite sur une plaque plane, les équations d’Euler ne modélisent pas correctement le problème.
Notre monde a trois dimensions spatiales (haut-bas, gauche-droite, avant-arrière) et une dimension temporelle. En général, les équations d’Euler ont une équation de continuité dépendante du temps pour la conservation de la masse et trois équations de conservation de la quantité de mouvement dépendantes du temps.En haut de la figure, nous montrons une forme simplifiée, bidimensionnelle et stable des équations d’Euler.Il y a deux variables indépendantes dans le problème, les coordonnéesx et y d’un certain domaine. Il y a quatre variables dépendantes, la pression p, la densité r, et deux composantes du vecteur vitesse ; la composante u est dans la direction x, et la composante v est dans la direction y. Toutes les variables dépendantes sont des fonctions de x et y. Les équations différentielles sont donc des équations différentielles partielles.Les équations différentielles sont donc des équations différentielles partielleset non des équations différentielles ordinaires que vous étudiez au début du cours de calcul.
Vous remarquerez que le symbole différentiel est différent des habituels « d /dt » ou « d /dx » que vous voyez pour les équations différentielles ordinaires. Le symbole « 
» est utilisé pour indiquer la différentiation partielle.Le symbole indique que nous devons maintenir toutes les variables indépendantes fixes, sauf la variable à côté du symbole, lors du calcul d’une dérivée. L’ensemble des équations sont :
Continuité : (r * u)/x + (r * v)/y = 0
X – Momentum : (r * u^2)/x + (r * u * v)/y = – p/x
Y – Momentum : (r * u * v)/x + (r * v^2)/y = – p/y
Bien que ces équations semblent très complexes, les étudiants en ingénierie de premier cycle apprennent à les dériver selon un processus très similaire à la dérivation que nous présentons sur la page Web de la conservation de la quantité de mouvement. Les deux équations de quantité de mouvement sont des généralisations bidimensionnelles de l’équation de conservation de la quantité de mouvement. L’équation du débit massique développée sur la page Web de la conservation de la masse est une solution unidimensionnelle de l’équation de continuité présentée ici.
Les solutions généralisées de ces équations sont difficiles à obtenir.Remarquez que toutes les variables dépendantes apparaissent dans chaque équation.Pour résoudre un problème d’écoulement, vous devez résoudre les trois équations simultanément ; c’est pourquoi nous appelons cela un système couplé d’équations. En fait, une autre équation est nécessaire pour résoudre ce système, puisque nous ne montrons que trois équations pour quatre inconnues. Une équation d’état met en relation la pression et la densité d’un gaz.Dans le passé, les ingénieurs procédaient à d’autres approximations et simplifications de l’ensemble des équations jusqu’à ce qu’ils obtiennent un groupe d’équations qu’ils pouvaient résoudre.Récemment, des ordinateurs à grande vitesse ont été utilisés pour résoudre des approximations des équations à l’aide de diverses techniques telles que les différences finies, les volumes finis, les éléments finis et les méthodes spectrales.Ce domaine d’étude est appelé Computational Fluid Dynamics ou CFD.
L’une des méthodes de simplification utilisées dans le passé était de supposer que le gaz avait une vitesse très faible et de négliger les effets de la compressibilité.Dans un écoulement incompressible, la densité est constante et nous pouvons la supprimer de l’équation de continuité :
Continuité : u/x + v/y = 0
Nous pouvons alors factoriser les équations de quantité de mouvement et utiliser l’équation de continuité pour les simplifier:
X – Quantité de mouvement : u * u/x + v * u/y = – / r
Y – Momentum : u * v/x + v * v/y = – / r
Cet ensemble d’équations a été utilisé pour développer l’algorithme utilisé dans le programmeFoilSimcomputer.
Activités:
Visites guidées
Navigation …
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