Géométrie : Lignes et angles

Les lignes et les angles constituent presque toutes les formes géométriques. Plongeons donc dans la géométrie en discutant de ces éléments très fondamentaux des formes.

Maintenant, nous pouvons commencer à parler de Géométrie. Et la géométrie, bien sûr, est l’étude des formes. Maintenant, pour certaines personnes qui sont orientées visuellement, la Géométrie vient très naturellement. Et d’autres personnes qui n’ont pas développé leurs compétences visuelles, la Géométrie peut être un peu plus difficile.

Spécialement pour les gens pour qui la Géométrie est un peu plus difficile, voici ce que je vais dire.

Il n’est pas suffisant de simplement regarder ces vidéos. Après les avoir regardées, prenez du papier et une règle et dessinez ces différentes formes, dessinez-les physiquement sur le papier. Et construisez des formes et des objets physiques. Vous pouvez utiliser des crayons, des cure-dents, des pailles, tout ce que vous voulez. Construisez réellement des triangles, construisez des rectangles, regardez-les réellement.

Utilisez vos mains !

Utilisez vos mains, nos mains font en fait partie de notre intelligence. Vous utilisez vos mains, vous engagez toutes les parties du cerveau. Cela rendra les choses beaucoup plus faciles, pour comprendre toutes ces relations.

Donc, commençons par les lignes. Les lignes sont droites et elles vont à l’infini dans les deux sens. Ici, nous avons un tas de lignes droites différentes, dans un tas de directions différentes. Il faut imaginer qu’au bout de chaque ligne, il y a des flèches ou quelque chose comme ça. Cela indique que les lignes continuent réellement à l’infini dans les deux directions.

Lignes et angles : Toutes les lignes sont droites

Il est très important de ne pas confondre droite et horizontale. Ces deux mots ont des significations très différentes, mais parfois, il y a des élèves qui les confondent. Toutes les lignes sont droites. Donc, toutes les lignes que nous avions sur la diapositive précédente, des lignes allant dans des directions différentes, toutes ces lignes sont des lignes droites.

Et vous pouvez toujours supposer qu’une ligne est droite sur le test. Si elle semble droite, elle est droite. C’est toujours vrai sur le test. Mais certaines lignes sont tracées horizontalement par commodité. Cependant, vous ne pouvez jamais supposer que des lignes sont exactement horizontales ou verticales simplement parce qu’elles semblent l’être. Les gens sont vraiment confus à ce sujet. Vous êtes confus si vous pensez que horizontal et droit signifient la même chose.

Donc nous disons que vous pouvez supposer à partir du test que les lignes sont droites. Les gens supposent à tort que cela signifie également qu’ils peuvent supposer que les lignes sont horizontales, et ce n’est pas correct. Un segment de ligne est un morceau fini d’une ligne.

Exemple

Donc par exemple, ici nous avons un segment de ligne, il a deux points d’extrémité. Et quand ces points d’extrémité sont étiquetés, cela permet de discuter facilement.

C’est le segment de ligne AB. Et pour les besoins du test, AB peut soit signifier la forme réelle du segment de ligne lui-même. Ou bien la longueur du segment de ligne, la longueur numérique. Un angle se produit entre deux lignes, ou deux segments. Par exemple, ici nous avons un angle.

Lignes et angles : Comprendre les angles

Il se trouve que c’est entre une ligne et un segment. La meilleure façon de comprendre un angle est de le considérer de manière dynamique, comme l’acte de tourner ou de pivoter. En d’autres termes, aller d’ici à ici. Voilà ce qu’est un angle, c’est cet espace dynamique entre deux lignes. Si on étiquette des points, on peut parler d’un angle.

Etiqueter les angles

Nous pourrions appeler cet angle soit CDE ou EDC, le point D, le sommet de l’angle. Juste ici, le point de l’angle doit être au milieu du nom. Ainsi, nous pouvons appeler cet angle CDE ou EDC, tant que le sommet est au milieu. Parfois, dans ces vidéos, j’utiliserai également le nom d’un seul angle, s’il n’y a pas d’ambiguïté. Par exemple, il n’y a qu’un seul angle dans ce diagramme.

Je pourrais donc l’appeler angle D. Théoriquement, cela pourrait se produire lors du test. Bien que le test soit souvent assez prudent pour utiliser toujours un nom à trois lettres pour un angle. Nous mesurons la taille d’un angle en degrés. Le test peut les énoncer directement, donc 50 degrés.

Alternativement, le test peut étiqueter le diagramme et énoncer la mesure de l’angle dans le texte. Donc angle GFH = 50 degrés parce qu’ils ont mis des lettres sur les points du diagramme. Nous pouvons simplement utiliser cela pour parler de cette mesure, en nombre de degrés dans le texte. En fait, la chose préférée à faire est de spécifier l’angle, avec un nombre variable de degrés.

Format flexible des tests

Ce format flexible leur permet soit de spécifier l’angle, pour dans le texte, ils pourraient dire x = 50, ou ils pourraient poser une question à ce sujet. Ils pourraient nous donner d’autres informations et nous dire de trouver x. Ils aimeraient donc faire cela. Nous allons faire une révision rapide des faits de base sur les degrés. Dans un angle droit, il y a 180 degrés et bien sûr, rappelez-vous qu’une ligne droite peut aller dans n’importe quelle direction.

Mais s’il y a un point quelconque sur la ligne droite, tout autour d’un côté de la ligne à l’autre. C’est 180 degrés, il y a 90 degrés dans un angle droit. Donc ici, nous avons deux lignes qui se croisent à angle droit. Il y a en fait quatre angles droits à cette intersection. Si les deux lignes ou segments se rencontrent à angle droit, ils sont appelés perpendiculaires, c’est un terme que vous devez connaître.

Lignes perpendiculaires et angles droits

Le test peut soit dessiner ce petit carré, le signe perpendiculaire, qui est ce petit carré, soit indiquer que l’angle est de 90 degrés. Il peut étiqueter 90 degrés dans le diagramme ou X degrés et nous dire dans le texte que X est égal à 90. Il y a plusieurs façons de nous dire que l’angle est de 90 degrés. Ne supposez pas que deux lignes sont perpendiculaires si on ne vous le dit pas explicitement, c’est souvent un piège.

Supposons que ces points apparaissent dans le cadre d’un diagramme plus large, et qu’aucune autre information ne soit donnée. Il semble certainement que ceux-ci pourraient être à angle droit, et c’est une chose très tentante à supposer. Le test aimerait que vous fassiez l’erreur, de supposer que les lignes sont perpendiculaires, et que l’angle est égal à exactement 90 degrés.

En fait, ce n’est pas le cas, j’ai dessiné ceci de sorte que, cet angle là est un angle de 89,6 degrés. Donc, c’est proche d’être un angle droit, et ça peut ressembler à un angle droit à l’œil nu. Mais aucune des propriétés spéciales de l’angle droit n’est vraie.

Et dans les prochaines vidéos, nous parlerons davantage des propriétés spéciales de l’angle droit. Aucune des propriétés spéciales de l’angle droit n’est vraie, si l’angle est proche de 90 mais pas exactement 90.

Très important, ainsi vous ne pouvez pas supposer que deux lignes sont perpendiculaires, à moins que vous ayez une sorte de justification pour le faire.

Lignes et angles : Formes congruentes

Un terme que je vais introduire, qui n’apparaîtra probablement pas dans le test, est congruent. Congruent est comme égal, pour les formes. Nous utilisons le concept d’égal pour un nombre, et le concept très similaire de « congruent » pour les formes.

Deux formes sont congruentes si elles ont la même forme et la même taille.

Il n’est pas nécessaire qu’elles aient la même orientation. Donc par exemple, les formes violettes et vertes ici sont congruentes, l’une est retournée par rapport à l’autre. On pourrait dire que l’une est une version droitière, et l’autre est une version gauchère, mais c’est la même forme fondamentalement.

Ces deux-là sont congruents, même s’ils ont des orientations différentes.

Bisectrices

Une bissectrice coupe quelque chose en deux morceaux congrus. Une bissectrice d’angle coupe un angle en deux plus petits angles congrus. Donc par exemple ici nous avons une bissectrice d’angle. Si on nous dit, par exemple, que le grand angle, PNM est de 40 degrés, et que NQ coupe l’angle en deux – alors nous pouvons déduire que les deux plus petits angles doivent être chacun de 20 degrés.

Ils doivent chacun être exactement la moitié égale à l’autre, parce que l’angle a été bissecté. De même, la bissectrice d’un segment peut être un point, un autre segment ou une ligne. La bissectrice divise le segment en deux moitiés égales. Remarquez ici que le segment ST coupe PQ en deux. Remarquez aussi qu’il est définitivement vrai que PQ ne coupe pas ST en deux, car SR est clairement plus grand que RT.

Donc, le fait que ST coupe PQ en deux signifie que R est le point milieu de PQ, et que PR = RQ. Nous l’avons divisé en deux moitiés égales, et encore une fois, c’est toujours ce que signifie bissection. Parfois, une ligne peut couper un segment en deux et être également perpendiculaire à celui-ci. La ligne est appelée une bissectrice perpendiculaire du segment.

La ligne VW est perpendiculaire, c’est la bissectrice perpendiculaire de TU. Chaque point de la bissectrice perpendiculaire d’un segment est équidistant des deux points extrêmes du segment. Il s’agit donc d’un fait très pratique à connaître, qui se manifeste de diverses manières. La bissectrice perpendiculaire est en fait l’ensemble de tous les points possibles, qui sont équidistants des deux points d’extrémité du segment.

Lignes et Angles : Regardons les angles

Maintenant quelques faits de base sur les angles. Nous avons déjà dit qu’une ligne droite contient 180 degrés. Cela signifie que si deux angles ou plus se trouvent dans une ligne droite, la somme de leurs angles est de 180 degrés. Donc, par exemple, nous pouvons supposer que cette longue ligne est droite. Elle n’a pas une sorte de légère courbure à cet endroit.

Le test ne nous fera pas cela, si elle semble droite, elle est droite. Et donc, nous savons que ces deux angles ensemble font 180. Donc, x + y = 180. Si la somme des deux angles fait 180, on dit qu’ils sont supplémentaires. Deux angles sur une ligne droite sont toujours complémentaires. Donc, p + q = 180.

Quand deux lignes se croisent

Quand deux lignes se croisent, quatre angles sont formés. Donc ici, nous avons deux lignes qui vont à l’infini dans les deux directions, elles doivent se croiser, et ces quatre angles sont formés. Les paires d’angles opposés l’un à l’autre, ne partageant que le sommet en commun, sont appelés angles verticaux, et les angles verticaux sont toujours congruents. Donc par exemple, A et C, ils ne partagent aucun côté.

Tout ce que a et c ont en commun, c’est qu’ils se touchent à un seul sommet. Ils se touchent au sommet, b et d se touchent aussi au sommet. Et donc c’est pour cela qu’on les appelle des angles verticaux, car ils se touchent à un sommet. Donc, nous savons que les angles verticaux sont congruents, nous savons que a = c, et b = d. Bien sûr, les paires d’angles à côté de l’autre, a + b, b + c, tout cela est complémentaire.

Ils s’additionnent tous à 180 degrés, parce que nous avons des paires d’angles sur une ligne. Par conséquent, si on nous donnait un angle dans ce diagramme, nous pouvons trouver les trois autres. Par exemple, si a = 35, nous savons que c doit être égal. Il doit également être de 35 degrés. Et b et d doivent être l’angle supplémentaire de 145 degrés. De sorte que n’importe quelles deux paires ensemble, n’importe quels deux angles ensemble dans une paire, ajoutent jusqu’à 180 degrés.

Lignes et angles : Problème pratique un

Voici un problème pratique, mettez la vidéo en pause et nous en parlerons ensuite.

Ok Dans le diagramme x = 40 degrés et RT bissecte le grand angle SRU ,qui est un très grand angle. Eh bien SRU est l’angle supplémentaire à cet angle de 40 degrés, donc SRU doit être 180 moins 40 ce qui serait 140. Donc SRU est 140.

Et cet angle est bissecté, car il est bissecté il est coupé en deux moitiés égales. Donc il y a deux moitiés chacune doit être de 70 degrés. SRT = 70 degrés, TRU = 70 degrés. Ce sont les deux moitiés égales de l’angle qui a été coupé en deux. Bien, maintenant remarquez que l’angle TRV, cet angle est fait de TRU et de l’angle x, que nous connaissons.

Nous savons que TRU est de 70 degrés nous savons que l’angle X est de 40 degrés, donc nous les additionnons. TRV doit être un angle de 110 degrés. Maintenant, remarquez que TRV est l’angle vertical de SRW, donc les deux doivent être égaux. Cela signifie que SRW doit également former un angle de 110 degrés, donc Y est égal à 110. Enfin, nous allons revoir les lignes parallèles.

Lignes et angles : Lignes parallèles

Si deux lignes sont parallèles, elles ne se croisent jamais, et elles sont toujours exactement à la même distance. Et encore une fois, c’est une autre de ces propriétés, comme perpendiculaire, proche du parallèle, ne compte pas pour des haricots. Vous devez savoir que les deux lignes sont exactement parallèles. Évidemment, comme les lignes parallèles ne se croisent jamais, elles ne forment jamais d’angles entre elles.

Lignes transversales

On obtient cependant de nombreux angles si une troisième ligne non parallèle coupe les deux lignes parallèles. Cette troisième ligne est appelée une transversale. Une transversale est une ligne qui coupe deux lignes parallèles. Ici, nous avons donc une transversale qui coupe les lignes parallèles WX et YZ. Et nous avons 8 anges ici.

Maintenant les quatre grands anges sont tous égaux. Et les quatre petits anges sont tous égaux. Donc en d’autres termes a = d = e = h et b = c = f = g, c’est la grande idée. Maintenant parmi ceux-ci, bien sûr vous pouvez vous rappeler de la géométrie, il y a toutes sortes de noms spéciaux.

Alternatif intérieur et même côté extérieur et angles correspondants. Si vous voulez vous souvenir de tous ces noms spéciaux, c’est bien, vous n’en avez pas besoin. Tout ce que vous devez retenir, c’est que tous les grands angles sont égaux, tous les petits angles sont égaux. Donc voici à nouveau le diagramme, et maintenant je l’ai étiqueté pour qu’il soit clair que tout est égal.

Lignes et angles : Angles supplémentaires

Notez aussi que p et q sont supplémentaires. Ainsi, tout grand angle plus tout petit angle est égal à 180 degrés, c’est une très grande idée. Ainsi, si on nous donne le degré de l’un des angles ici, nous pourrions trouver les sept autres. En résumé, nous avons parlé de lignes et de segments de lignes, nous avons parlé d’angles et de degrés.

Nous avons souligné qu’il y a 180 degrés dans un angle droit, et 90 degrés dans un angle droit. Nous avons parlé des bissectrices d’angles et des bissectrices perpendiculaires. Une bissectrice d’angle divise un angle en deux angles égaux plus petits. Une bissectrice perpendiculaire est perpendiculaire à un segment, et le divise en deux moitiés égales.

Nous avons parlé de la façon dont deux angles sur une ligne sont complémentaires. Les angles verticaux sont congruents. Et nous avons parlé des angles formés par une transversale, coupant une paire de lignes parallèles. Et nous parlerons de nombreuses applications de ces idées fondamentales, dans les prochaines vidéos.