Intégration, en mathématiques, technique consistant à trouver une fonction g(x) dont la dérivée, Dg(x), est égale à une fonction donnée f(x). Ceci est indiqué par le signe intégral « ∫, » comme dans ∫f(x), généralement appelé l’intégrale indéfinie de la fonction. Le symbole dx représente un déplacement infinitésimal le long de x ; ainsi ∫f(x)dx est la somme du produit de f(x) et de dx. L’intégrale définie, écrite
avec a et b appelés les limites d’intégration, est égale à g(b) – g(a), où Dg(x) = f(x).
Certaines antidérivées peuvent être calculées en se rappelant simplement quelle fonction a une dérivée donnée, mais les techniques d’intégration impliquent surtout de classer les fonctions en fonction des types de manipulations qui changeront la fonction en une forme dont l’antidérivée peut être plus facilement reconnue. Par exemple, si l’on est familier avec les dérivées, la fonction 1/(x + 1) peut être facilement reconnue comme la dérivée de loge(x + 1). L’anti-dérivée de (x2 + x + 1)/(x + 1) ne peut pas être reconnue aussi facilement, mais si elle est écrite sous la forme x(x + 1)/(x + 1) + 1/(x + 1) = x + 1/(x + 1), elle peut alors être reconnue comme la dérivée de x2/2 + loge(x + 1). Une aide utile pour l’intégration est le théorème connu sous le nom d’intégration par parties. En symboles, la règle est la suivante : ∫fDg = fg – ∫gDf. C’est-à-dire que si une fonction est le produit de deux autres fonctions, f et une qui peut être reconnue comme la dérivée d’une certaine fonction g, alors le problème original peut être résolu si on peut intégrer le produit gDf. Par exemple, si f = x, et Dg = cos x, alors ∫x-cos x = x-sin x – ∫sin x = x-sin x – cos x + C. Les intégrales sont utilisées pour évaluer des quantités telles que l’aire, le volume, le travail et, en général, toute quantité qui peut être interprétée comme l’aire sous une courbe.