Modélisation des bactéries multiflagellées
Nous commençons par construire un modèle computationnel de la locomotion d’une bactérie péritriche, comme indiqué dans la section Méthodes avec des détails mathématiques dans les informations supplémentaires. Nous considérons une bactérie propulsée par Nf flagelles (Fig. 2A) avec un corps cellulaire en forme d’ellipsoïde prolongé. Chaque flagelle est composé de : (i) d’un moteur rotatif qui génère un taux de rotation fixe autour de l’axe du filament flagellaire ; (ii) d’un court crochet flexible traité comme un ressort de torsion autour de l’axe du moteur dont l’hydrodynamique peut être négligée17 ; (iii) d’un filament flagellaire hélicoïdal de la forme polymérique normale à gauche dont l’hydrodynamique est capturée par la théorie des corps minces24. Les paramètres du moteur et du filament sont choisis pour correspondre à ceux des bactéries E. coli7 (tableau S1 dans les informations supplémentaires). Chaque filament hélicoïdal a une extrémité effilée telle que le rayon de l’hélice est nul à son point d’attache au moteur25. Les filaments flagellaires peuvent tourner mais pas se déplacer par rapport à leur point d’attache sur le corps cellulaire et, alors que la rotation autour de l’axe de l’hélice est imposée par le moteur, toute autre rotation par rapport au corps est résolue. Nous négligeons les interactions hydrodynamiques entre le corps cellulaire et les filaments flagellaires mais nous incluons les interactions stériques pour empêcher les filaments de pénétrer dans le corps. Pour chaque crochet, nous utilisons θ pour désigner l’angle d’inclinaison entre la normale au corps cellulaire à l’emplacement du moteur et l’axe du filament flagellaire (c’est-à-dire que lorsque θ = 0, le filament est normal au corps cellulaire). Le moment élastique de rappel imposé par chaque moteur sur son filament flagellaire est modélisé comme un ressort de torsion de constante de ressort \(K=EI/{\ell }_{h}\), où EI et \({\ell }_{h}\) sont respectivement la rigidité en flexion et la longueur du crochet16. La magnitude du moment de rappel est donc donnée par K|θ| et l’élasticité du crochet agit pour aligner l’axe de l’hélice avec la normale au corps cellulaire. Le modèle de calcul résout les positions instantanées des filaments flagellaires et la vitesse de nage, Ub, et la vitesse angulaire, Ωb, du corps cellulaire en fonction de la rigidité du crochet.
(A) Modèle computationnel d’une bactérie péritriche actionnant Nf filaments hélicoïdaux (rayon Rh ; angle de pas β) en les faisant tourner autour de leur axe \(\hat{{\bf{k}}\) avec une vitesse angulaire prescrite. Le crochet flexible agit élastiquement pour aligner l’axe de l’hélice avec la normale \(\hat{{\bf{N}}\) au corps de la cellule. (B) Modèle simplifié pour capturer l’instabilité élastohydrodynamique. Deux filaments actifs droits de longueur \(\ell \) fixés de part et d’autre d’un corps sphérique de rayon \(a\) sont inclinés à un angle ±θ par rapport à la normale à la surface du corps cellulaire, \(\hat{{\bf{N}}}\), et agissent sur la cellule avec une force tangentielle \(f\ell \hat{\bf{t}}\) entraînant la nage de la bactérie modèle avec une vitesse \(U\hat{\bf{y}}\).
Les bactéries pousseuses avec des crochets flexibles subissent une instabilité de nage
L’examen des résultats de notre modèle de calcul met en évidence une instabilité élastohydrodynamique remarquable, illustrée sur la figure 3 dans le cas de Nf = 4 flagelles, le nombre moyen de flagelles sur une cellule d’E. coli6. Les moteurs sont positionnés symétriquement autour de la surface du corps cellulaire. Nous commençons les calculs avec chaque filament flagellaire incliné à un petit angle par rapport à la normale à la surface et faisons avancer le système dans le temps tout en suivant la position de la cellule dans le cadre du laboratoire et des filaments flagellaires par rapport au corps cellulaire. Les films associés sont disponibles en ligne (voir informations complémentaires).
Mouvement de nage pour une bactérie nageant avec Nf = 4 flagelles avec un crochet flexible vs rigide. (A) Position et conformation initiales de chaque cellule. (B) Cellule poussoir avec crochet flexible à t = 200 (temps mis à l’échelle par la vitesse de rotation des flagelles). (C) Cellule pousseuse avec crochet rigide à t = 200. (D) Distance parcourue par chaque nageur (non dimensionnée par le pas des filaments hélicoïdaux) en fonction du temps pour quatre nageurs différents : crochet rigide (losanges) vs flexible (carrés) et pusher (symboles remplis) vs puller (vides).
Dans les Fig. 3A-C nous illustrons la trajectoire d’une bactérie pousseuse (c’est-à-dire une cellule dont les filaments flagellaires subissent une rotation CCW normale) avec deux rigidités de crochet différentes sur une échelle de temps t = 200 (temps non dimensionné par le taux de rotation des flagelles). Alors que les deux commencent au même endroit (A), la cellule avec le crochet flexible (K = 0,1) finit avec ses filaments flagellaires enroulés dans le dos et est capable de nager cinq fois plus vite (B) que la cellule avec le crochet rigide (K = 100) dont les filaments flagellaires sont restés dans la même configuration évasée (C). Ceci est quantifié dans la Fig. 3D où nous traçons la distance nette parcourue en fonction du temps (mise à l’échelle par le pas de l’hélice). La cellule avec un crochet flexible (carré rempli) nage systématiquement plus vite que la cellule rigide (losange rempli). Si nous inversons le sens de rotation des flagelles pour qu’ils tournent dans le sens des aiguilles d’une montre (CW), la cellule devient un tireur et ne passe pas à la nage rapide, ni pour un crochet flexible (carrés vides) ni pour un crochet rigide (diamants vides). Notez que les deux cas rigides (pousseurs et tireurs ; losanges) ont une magnitude de nage identique, une conséquence de la réversibilité cinématique des flux de Stokes5. Il est important de noter que la transition vers la nage rapide pour les bactéries pousseuses flexibles ne se produit pas de manière régulière avec les changements de la rigidité du crochet, mais qu’elle a lieu à une valeur critique sans dimension de Kc ≈ 1 (non dimensionnée en utilisant la viscosité du fluide, le pas du filament hélicoïdal et la fréquence de rotation). Au-dessus de Kc, tous les flagelles restent normaux à la cellule (θ ≈ 0) conduisant à une nage négligeable tandis qu’en dessous de Kc, tous les flagelles s’enroulent derrière la cellule (|θ| ≈ π/2) conduisant à une locomotion nette.
Cette transition brutale ne provient pas d’une instabilité de flambage du crochet qui n’est modélisée ici qu’au niveau d’un ressort de torsion16. Au lieu de cela, l’instabilité découle du couplage bidirectionnel entre la conformation des flagelles et la locomotion cellulaire. Pour élucider la physique de cette instabilité, nous considérons plus en détail le cas d’un corps cellulaire sphérique et de deux flagelles, qui est la configuration minimale capable de montrer l’instabilité tout en capturant la même physique que les cas géométriquement complexes (voir les films associés dans les informations supplémentaires). Les résultats de calcul en régime permanent dans ce cas sont présentés dans la partie principale de la figure 4 (symboles et lignes fines) pour l’angle θ entre l’axe des filaments flagellaires et le corps cellulaire (A) et pour la vitesse de nage nette U de la cellule (B). Alors que la conformation des flagelles des bactéries tireuses est indépendante de la rigidité du crochet et conduit à une nage nulle (cercles rouges clairs), les cellules pousseuses présentent clairement un saut soudain vers une conformation enveloppée et une locomotion nette pour une rigidité du crochet inférieure à Kc ≈ 0.79 (cercles bleu foncé).
Angles d’inclinaison des flagelles à l’état stable (|θ|, A) et vitesses de nage du cadre de laboratoire (U, B) pour le modèle de calcul complet de la Fig. 2A avec deux flagelles (symboles et lignes fines) et pour le modèle simple de filament actif de la Fig. 2B (lignes épaisses) en fonction de la constante de ressort du crochet sans dimension, K. Ligne verte et symboles rouge clair : bactérie tireuse pour laquelle l’état de non-nage est toujours stable ; Ligne rouge foncé et symboles bleu foncé : bactérie tireuse qui subit une transition vers la nage pour K < Kc. La ligne pointillée montre la constante de ressort critique prédite théoriquement, Kc ≈ 0,53.
Modèle analytique de l’instabilité élastohydrodynamique
La dynamique observée peut être capturée par un modèle analytique démontrant que la natation se produit comme le résultat d’une instabilité élastohydrodynamique linéaire. Considérons le modèle géométrique simple illustré à la figure 2. Deux filaments actifs droits de longueur \(\ell \) sont fixés symétriquement de part et d’autre d’un corps cellulaire sphérique de rayon a et sont inclinés d’angles symétriques ±θ par rapport à la normale à la surface du corps, \(\hat{{\bf{N}}}\) (notez que le mode d’inclinaison asymétrique, qui n’est pas pris en compte ici, entraînerait une transition en rotation plutôt qu’en translation). Chaque filament, attaché élastiquement au corps de la cellule par un crochet modélisé comme un ressort de torsion de rigidité K, pousse la cellule le long de sa direction tangentielle avec une densité de force de propulsion \(f\hat{{{\bf{t}}}) qui entraîne la nage de la bactérie avec une vitesse \(U\hat{{\bf{y}}}\) (voir Fig. 2 pour toutes les notations). Pour le mouvement CCW, les forces de propulsion sont dirigées vers le corps de la cellule (f < 0) et la cellule est un pousseur. En revanche, pour le mouvement CW, les forces de propulsion s’éloignent de la cellule (f > 0) et le nageur est un tireur.
La vitesse de nage (U) et le taux de changement de la conformation des filaments (\(\dot{\theta }\)) peuvent être obtenus en appliquant l’équilibre des forces et des moments. En utilisant c|| et c⊥ pour désigner les coefficients de traînée pour un filament mince se déplaçant respectivement parallèlement et perpendiculairement à sa tangente (voir matériel supplémentaire), l’équilibre des forces sur la cellule entière dans le sens de la nage, \(\hat{{\bf{y}}}), s’écrit comme suit
où les deux premiers termes sont dus à la traînée sur le corps de la cellule et sur les filaments actifs due à la natation, le troisième terme est la traînée sur les filaments due à la rotation et le dernier terme est la force propulsive totale agissant sur la cellule.
La deuxième équation provient de l’équilibre du moment sur chaque filament actif, écrit dans la direction \(\hat{{\bf{z}}=\hat{{\bf{x}}\times \hat{{\bf{y}}\) au point d’attache sur la surface de la cellule comme
où le premier terme est le moment hydrodynamique dû à la rotation du filament, le second est le moment hydrodynamique dû à la traînée de nage et le dernier terme est le moment de restauration élastique du crochet agissant pour ramener le filament à sa configuration droite. La combinaison des équations (1) et (2) conduit à une équation d’évolution pour θ
Lorsque le moment élastique domine, la configuration rectiligne θ = 0 est le seul état stationnaire, associé à l’absence de nage. Si au contraire le moment élastique est négligeable, les états de nage avec θ = ±π/2 deviennent des équilibres possibles.
Pour examiner comment une variation de la rigidité du crochet permet la transition d’un état à l’autre, nous résolvons Eq. (3) numériquement avec les valeurs appropriées des filaments flagellaires pour une cellule E. coli nageant de type sauvage et en utilisant la magnitude de f conduisant à l’accord avec les calculs complets à la rigidité du crochet zéro (voir matériel supplémentaire). Nous commençons par de petites perturbations autour de θ = 0 et calculons l’état d’équilibre à long terme de l’équation (3), les résultats étant illustrés à la figure 4 pour les cellules qui poussent (ligne rouge foncée) et celles qui tirent (ligne verte). Les cellules des tireurs ne nagent jamais, quelle que soit la valeur de la rigidité du crochet, et la configuration droite θ = 0 est toujours stable. En revanche, les pushers ne peuvent pas nager pour des crochets plus rigides qu’une valeur critique, mais subissent une transition soudaine vers la nage directe pour des crochets plus mous, en excellent accord avec les calculs du cas complet à deux flagelles (symboles dans la figure 4).
La transition soudaine vers la nage pour une rigidité critique du crochet peut être prédite analytiquement en linéarisant Eq. (3) près de l’équilibre à θ = 0, conduisant à
Si f est positif (tireur) alors la configuration avec θ = 0, qui est associée à aucune nage U = 0, est toujours linéairement stable aux petites perturbations pour toute valeur de K. En revanche, les tireurs avec f < 0 sont linéairement instables pour K < Kc tel que le côté droit de l’équation (4) devient positif, c’est-à-dire \({K}_{c}=-\,f{c}_{\perp }{\ell }^{3}/(2{c}_{\perp }\ell +6\pi \mu a)\). Une instabilité élastohydrodynamique linéaire permet donc aux bactéries pousseuses dotées de crochets suffisamment flexibles de passer dynamiquement à une conformation asymétrique (θ ≠ 0) avec une nage nette (U ≠ 0). Notons que le modèle théorique simple (stabilité linéaire et solution numérique de l’équation 3) prédit une rigidité critique sans dimension de Kc ≈ 0,53, en accord avec les calculs pour le modèle complet de la bactérie, Kc ≈ 0,79.