Les mathématiques pourraient être une science environnementale plus que nous ne le pensons. Même s’il s’agit d’une recherche de vérités éternelles, de nombreux concepts mathématiques trouvent leur origine dans l’expérience quotidienne. L’astrologie et l’architecture ont inspiré les Égyptiens et les Babyloniens à développer la géométrie. L’étude de la mécanique au cours de la révolution scientifique du 17e siècle nous a apporté le calcul.
Ce qui est remarquable, c’est que les idées de la théorie quantique s’avèrent elles aussi porteuses d’un énorme pouvoir mathématique, même si nous avons peu d’expérience quotidienne en matière de particules élémentaires. Le monde bizarre de la théorie quantique – où les choses peuvent sembler être à deux endroits en même temps et sont soumises aux lois de la probabilité – ne représente pas seulement une description plus fondamentale de la nature que ce qui l’a précédé, il fournit également un riche contexte pour les mathématiques modernes. La structure logique de la théorie quantique, une fois pleinement comprise et absorbée, pourrait-elle inspirer un nouveau domaine des mathématiques qui pourrait être appelé « mathématiques quantiques » ?
Il existe bien sûr une relation intime et de longue date entre les mathématiques et la physique. Galilée a écrit à propos d’un livre de la nature qui attend d’être décodé : « La philosophie est écrite dans ce grand livre, l’univers, qui se tient continuellement ouvert à nos regards. Mais ce livre ne peut être compris que si l’on apprend d’abord à comprendre la langue et à lire les lettres qui le composent. Il est écrit dans le langage des mathématiques ». D’une époque plus moderne, nous pouvons citer Richard Feynman, qui n’était pas connu comme un connaisseur des mathématiques abstraites : « Pour ceux qui ne connaissent pas les mathématiques, il est difficile de faire passer un sentiment réel quant à la beauté, la beauté la plus profonde, de la nature. … Si vous voulez apprendre à connaître la nature, à l’apprécier, il est nécessaire de comprendre le langage qu’elle utilise. » (D’autre part, il a également déclaré : « Si toutes les mathématiques disparaissaient aujourd’hui, la physique serait ramenée exactement une semaine en arrière », ce à quoi un mathématicien a eu cette habile riposte : « C’est la semaine où Dieu a créé le monde. »)
Le physicien mathématicien et prix Nobel Eugene Wigner a écrit avec éloquence sur l’étonnante capacité des mathématiques à décrire la réalité, la caractérisant comme « l’efficacité déraisonnable des mathématiques dans les sciences naturelles. » Les mêmes concepts mathématiques apparaissent dans un large éventail de contextes. Mais ces jours-ci, nous semblons assister à l’inverse : l’efficacité déraisonnable de la théorie quantique dans les mathématiques modernes. Les idées issues de la physique des particules ont une étrange tendance à apparaître dans les domaines mathématiques les plus divers. C’est particulièrement vrai pour la théorie des cordes. Son influence stimulante en mathématiques aura un impact durable et gratifiant, quel que soit son rôle final en physique fondamentale. Le nombre de disciplines qu’elle touche est vertigineux : analyse, géométrie, algèbre, topologie, théorie des représentations, combinatoire, probabilité – la liste est longue. On commence à plaindre les pauvres étudiants qui doivent apprendre tout cela !
Quelle pourrait être la raison sous-jacente de cette efficacité déraisonnable de la théorie quantique ? Selon moi, elle est étroitement liée au fait que, dans le monde quantique, tout ce qui peut arriver arrive effectivement.
De manière très schématique, la mécanique classique essaie de calculer comment une particule se déplace de A à B. Par exemple, le chemin privilégié pourrait être le long d’une géodésique – un chemin de longueur minimale dans un espace courbe. En mécanique quantique, on considère plutôt la collection de tous les chemins possibles de A à B, aussi longs et tortueux soient-ils. C’est la fameuse interprétation de Feynman de la « somme des histoires ». Les lois de la physique vont alors attribuer à chaque chemin un certain poids qui détermine la probabilité qu’une particule se déplace le long de cette trajectoire particulière. La solution classique qui obéit aux lois de Newton est simplement la plus probable parmi d’autres. Ainsi, de manière naturelle, la physique quantique étudie l’ensemble de toutes les trajectoires, comme un ensemble pondéré, ce qui nous permet de faire la somme de toutes les possibilités.
Cette approche holistique consistant à tout considérer en même temps est tout à fait dans l’esprit des mathématiques modernes, où l’étude des « catégories » d’objets se concentre beaucoup plus sur les relations mutuelles que sur tout exemple individuel spécifique. C’est cette vision à vol d’oiseau de la théorie quantique qui fait apparaître de nouvelles connexions surprenantes.
Calculateurs quantiques
Un exemple frappant de la magie de la théorie quantique est la symétrie miroir – une équivalence d’espaces vraiment étonnante qui a révolutionné la géométrie. L’histoire commence en géométrie énumérative, une branche bien établie, mais pas très excitante, de la géométrie algébrique qui compte les objets. Par exemple, les chercheurs pourraient vouloir compter le nombre de courbes sur les espaces de Calabi-Yau – des solutions à six dimensions des équations de la gravité d’Einstein qui présentent un intérêt particulier dans la théorie des cordes, où elles sont utilisées pour enrouler des dimensions spatiales supplémentaires.
Tout comme vous pouvez enrouler un élastique autour d’un cylindre plusieurs fois, les courbes sur un espace de Calabi-Yau sont classées par un nombre entier, appelé le degré, qui mesure la fréquence à laquelle elles s’enroulent. Trouver le nombre de courbes d’un degré donné est un problème réputé difficile, même pour l’espace de Calabi-Yau le plus simple, appelé quintique. Un résultat classique du 19e siècle indique que le nombre de lignes – courbes de degré un – est égal à 2 875. Le nombre de courbes de degré deux n’a été calculé que vers 1980 et s’avère beaucoup plus important : 609 250. Mais le nombre de courbes de degré trois a nécessité l’aide des théoriciens des cordes.
Vers 1990, un groupe de théoriciens des cordes a demandé à des géomètres de calculer ce nombre. Les géomètres ont conçu un programme informatique compliqué et sont revenus avec une réponse. Mais les théoriciens des cordes la soupçonnaient d’être erronée, ce qui suggérait une erreur dans le code. Après vérification, les géomètres ont confirmé qu’il y en avait une, mais comment les physiciens le savaient-ils ?
Les théoriciens des cordes avaient déjà travaillé pour traduire ce problème géométrique en un problème physique. Ce faisant, ils avaient développé un moyen de calculer le nombre de courbes de n’importe quel degré en une seule fois. Il est difficile de surestimer le choc de ce résultat dans les milieux mathématiques. C’était un peu comme concevoir un moyen d’escalader chaque montagne, quelle que soit sa hauteur !
Dans le cadre de la théorie quantique, il est parfaitement logique de combiner les nombres de courbes de tous les degrés en une seule fonction élégante. Assemblé de cette façon, il a une interprétation physique directe. Elle peut être considérée comme une amplitude de probabilité pour une corde se propageant dans l’espace de Calabi-Yau, où le principe de la somme sur les histoires a été appliqué. On peut penser qu’une corde sonde toutes les courbes possibles de tous les degrés possibles en même temps et qu’elle est donc un « calculateur quantique » super efficace.
Mais un deuxième ingrédient était nécessaire pour trouver la solution réelle : une formulation équivalente de la physique utilisant un espace Calabi-Yau dit « miroir ». Le terme « miroir » est d’une simplicité trompeuse. Contrairement à la façon dont un miroir ordinaire reflète une image, ici l’espace original et son miroir sont de formes très différentes ; ils n’ont même pas la même topologie. Mais dans le domaine de la théorie quantique, ils partagent de nombreuses propriétés. En particulier, la propagation des cordes dans les deux espaces s’avère être identique. Le calcul difficile sur le collecteur original se traduit par une expression beaucoup plus simple sur le collecteur miroir, où elle peut être calculée par une seule intégrale. Et voilà !
Dualité des égaux
La symétrie miroir illustre une propriété puissante de la théorie quantique appelée dualité : Deux modèles classiques peuvent devenir équivalents lorsqu’ils sont considérés comme des systèmes quantiques, comme si on agitait une baguette magique et que toutes les différences disparaissaient soudainement. Les dualités indiquent des symétries profondes mais souvent mystérieuses de la théorie quantique sous-jacente. En général, elles sont mal comprises et indiquent que notre compréhension de la théorie quantique est, au mieux, incomplète.
Le premier et le plus célèbre exemple d’une telle équivalence est la célèbre dualité particule-onde qui stipule que chaque particule quantique, comme un électron, peut être considérée à la fois comme une particule et comme une onde. Les deux points de vue ont leurs avantages, car ils offrent des perspectives différentes sur le même phénomène physique. Le point de vue « correct » – particule ou onde – est déterminé uniquement par la nature de la question, et non par la nature de l’électron. Les deux côtés de la symétrie miroir offrent des perspectives doubles et également valables sur la « géométrie quantique ».
Les mathématiques ont la merveilleuse capacité de relier des mondes différents. Le symbole le plus négligé dans toute équation est l’humble signe égal. Les idées circulent à travers lui, comme si le signe égal conduisait le courant électrique qui illumine l’ampoule « Aha ! » dans notre esprit. Et les doubles lignes indiquent que les idées peuvent circuler dans les deux sens. Albert Einstein était un maître absolu pour trouver des équations qui illustrent cette propriété. Prenez E = mc2, sans aucun doute l’équation la plus célèbre de l’histoire. Dans toute son élégance discrète, elle relie les concepts physiques de masse et d’énergie qui étaient considérés comme totalement distincts avant l’avènement de la relativité. Grâce à l’équation d’Einstein, nous apprenons que la masse peut être transformée en énergie, et vice versa. L’équation de la théorie générale de la relativité d’Einstein, bien que moins accrocheuse et moins connue, relie les mondes de la géométrie et de la matière d’une manière tout aussi surprenante et belle. Une façon succincte de résumer cette théorie est que la masse indique à l’espace comment se courber, et l’espace indique à la masse comment se déplacer.
La symétrie miroir est un autre exemple parfait du pouvoir du signe égal. Elle est capable de relier deux mondes mathématiques différents. L’un est le domaine de la géométrie symplectique, la branche des mathématiques qui sous-tend une grande partie de la mécanique. De l’autre côté, il y a le domaine de la géométrie algébrique, le monde des nombres complexes. La physique quantique permet aux idées de circuler librement d’un domaine à l’autre et fournit une « grande unification » inattendue de ces deux disciplines mathématiques.
Il est réconfortant de voir comment les mathématiques ont pu absorber une si grande partie du raisonnement intuitif, souvent imprécis, de la physique quantique et de la théorie des cordes, et transformer nombre de ces idées en énoncés et preuves rigoureux. Les mathématiciens sont sur le point d’appliquer cette exactitude à la symétrie miroir homologique, un programme qui étend considérablement l’idée originale de symétrie miroir de la théorie des cordes. En un sens, ils rédigent un dictionnaire complet des objets qui apparaissent dans les deux mondes mathématiques distincts, y compris toutes les relations qu’ils satisfont. De manière remarquable, ces preuves ne suivent souvent pas le chemin que les arguments physiques avaient suggéré. Ce n’est apparemment pas le rôle des mathématiciens de faire le ménage après les physiciens ! Au contraire, dans de nombreux cas, il a fallu développer des lignes de pensée complètement nouvelles pour trouver les preuves. C’est une preuve supplémentaire de la logique profonde et encore non découverte qui sous-tend la théorie quantique et, finalement, la réalité.
Niels Bohr aimait beaucoup la notion de complémentarité. Ce concept est né du fait que, comme l’a prouvé Werner Heisenberg avec son principe d’incertitude, en mécanique quantique, on peut mesurer soit la quantité de mouvement p d’une particule, soit sa position q, mais pas les deux en même temps. Wolfgang Pauli a résumé avec esprit cette dualité dans une lettre à Heisenberg datée du 19 octobre 1926, quelques semaines seulement après la découverte : « On peut voir le monde avec l’œil p, et on peut le voir avec l’œil q, mais si on ouvre les deux yeux, alors on devient fou. »
Dans ses dernières années, Bohr a essayé de pousser cette idée dans une philosophie beaucoup plus large. Une de ses paires complémentaires préférées était la vérité et la clarté. Il faudrait peut-être ajouter la paire de la rigueur mathématique et de l’intuition physique comme un autre exemple de deux qualités mutuellement exclusives. Vous pouvez regarder le monde avec un œil mathématique ou avec un œil physique complémentaire, mais n’osez pas ouvrir les deux.
Cet article a été reproduit en espagnol sur Investigacionyciencia.es.