Partie 1 : Diviser par des nombres de plus en plus petits
par un professeur de mathématiques du secondaire
Supposons que vous avez une pizza. Une belle pizza cuite au charbon de bois à New Haven, ou une pizza profonde de Chicago cuite au four, ou même une de ces tartes artisanales biologiques de San Francisco qui donnent l’impression que les cœurs d’artichauts ont leur place sur une pizza. Et, âme généreuse que vous êtes, vous avez décidé de partager.
Combien de personnes pouvez-vous nourrir si tout le monde obtient la moitié d’une pizza (une portion copieuse) ?
Eh bien, c’est 1 pizza ÷ ½ pizzas par personne = 2 personnes.
Et combien pouvez-vous en nourrir si tout le monde reçoit 1/10 de pizza (une collation au fromage)?
1 pizza ÷ 0,1 pizzas par personne = 10 personnes.
Et combien pouvez-vous en nourrir si tout le monde reçoit 1/100 de pizza (une bouchée) ?
1 pizza ÷ 0,01 pizzas par personne = 100 personnes.
Et combien pouvez-vous en nourrir si chacun reçoit 1/1000 de pizza (une miette avec une pointe de sauce) ?
1 pizza ÷ 0,001 pizzas par personne = 1000 personnes.
Plus la part que vous donnez à chaque personne est petite, plus vous pouvez nourrir de personnes. Ou, plus abstraitement : plus le nombre par lequel vous divisez est petit, plus le résultat est grand.
Maintenant, faites un pas de plus : Et si chaque personne reçoit 0 % d’une pizza ?
1 pizza ÷ 0 pizzas par personne = ? ??
Combien de personnes pouvez-vous nourrir ? Eh bien, il n’y a pas de limite, car vous ne leur donnez en fait rien à manger. Si les sept milliards d’habitants de la Terre se présentent tous à votre porte, demandant leur part de pizza, vous pouvez dire « Pas de problème ! » parce que « leur part de pizza » ne représente rien du tout. Ajoutez sept milliards de plus, et vous direz la même chose. Combien de personnes pouvez-vous nourrir ? Il n’y a pas de réponse.
Lorsque vous divisez un nombre par 0, il n’y a pas de réponse unique. Diviser, c’est casser quelque chose en piles d’une certaine taille. Et casser quelque chose en piles de taille zéro n’a tout simplement pas de sens.
Partie 2 : « Inverse de la multiplication »
par un doctorant en mathématiques
Alors qu’elle faisait la vaisselle, j’ai demandé à ma fiancée pourquoi on ne peut pas diviser par zéro. Sa réponse à brûle-pourpoint a été plus concise que la mienne. (Pour ma défense, je fais la vaisselle plus proprement qu’elle.)
Lorsque vous divisez par un nombre – disons 4 – vous vous demandez : « Combien de fois 4 peut-il entrer dans le nombre ? ». Donc :
Mais quand vous divisez par 0, vous vous demandez : « Combien de fois le 0 peut-il entrer dans le nombre ? ». Et peu importe le nombre de zéros que vous ajoutez, 0 + 0 + 0 + 0 … ne sera jamais égal à 12. Donc 12 ÷ 0 est indéfini.
Partie 3 : « Inverse de la multiplication » Redux
par un spécialiste des mathématiques de niveau élémentaire
J’ai ensuite soumis ces deux explications à ma sœur Jenna, spécialiste des mathématiques de la maternelle à la 8e année. Elle a aimé la réponse de Taryn, et a donné sa propre version encore plus concise.
La division est l’inverse de la multiplication. Donc, lorsque vous divisez 12 par 4, vous dites : « Qu’est-ce qui, multiplié par 4, vous donne 12 ? »
Donc, diviser par zéro revient à demander : « Qu’est-ce qui, multiplié par 0, vous donne 12 ? ». Il n’y a évidemment pas de réponse, puisque tout multiple de 0 sera 0.
Partie 4 : Lier tout cela
par un professeur (mon père)
Lors d’un dîner avec mon père James (professeur de recherche opérationnelle), je lui ai demandé d’expliquer pourquoi on ne peut pas diviser par zéro. Il a donné une explication assez similaire à la mienne, puis a résumé assez joliment les mérites relatifs des deux approches.
L’explication de Taryn/Jenna, a-t-il dit, va droit au but, et satisfera un public plus large (et plus jeune). Elle commence par dire : » Eh bien, voici ce qu’est la division « , puis montre que le concept n’a aucun sens lorsqu’il est appliqué à zéro.
L’explication de Ben/James, quant à elle, est précieuse parce qu’elle ne va pas droit au but. Elle relie la question « Peut-on diviser par zéro ? » à d’autres idées (limites et comportement asymptotique), et va davantage au cœur conceptuel du problème.
Anyway, there you have it. Quatre professionnels des mathématiques, deux explications de base, et un blog de plus qui ajoute sa voix au tintamarre des réponses sur ce sujet.