Op deze plaat zien we twee versies van de Euler vergelijkingen die beschrijven hoe de snelheid, druk en dichtheid van een bewegende vloeistof aan elkaar gerelateerd zijn.De vergelijkingen zijn genoemd naar Leonard Euler, een student van Daniel Bernoulli, die in het midden van de 17e eeuw verschillende stromingsproblemen bestudeerde. De vergelijkingen zijn een verzameling gekoppelde differentiaalvergelijkingen en kunnen voor een gegeven stromingsprobleem worden opgelost met behulp van methoden uit de calculus. Hoewel de vergelijkingen zeer complex lijken, zijn het in feite vereenvoudigingen van de meer algemene Navier-Stokesequaties van de stromingsleer. De Euler vergelijkingen verwaarlozen de effecten van de viscositeit van de vloeistof die wel in de Navier-Stokes vergelijkingen zijn opgenomen.Een oplossing van de Euler vergelijkingen is daarom slechts een benadering van een echt vloeistofprobleem.Voor sommige problemen, zoals de lift van een dun vleugelprofiel bij een lage invalshoek, geeft een oplossing van de Euler vergelijkingen een goed model van de werkelijkheid. Voor andere problemen, zoals de groei van de grenslaag op een vlakke plaat, geven de Euler vergelijkingen geen goed model van het probleem.
Onze wereld heeft drie ruimtelijke dimensies (op-neer, links-rechts, voor-en-achter) en één tijdsdimensie. In het algemeen hebben de Eulervergelijkingen een tijdafhankelijke continuïteitsvergelijking voor behoud van massa en drie tijdafhankelijke momentumvergelijkingen.Bovenaan in de figuur staat een vereenvoudigde, tweedimensionale, constante vorm van de Eulervergelijkingen.Er zijn twee onafhankelijke variabelen in het probleem, dex- en y-coördinaten van een of ander domein. Er zijn vier afhankelijke variabelen, de druk p, dichtheid r, en twee componenten van de snelheidsvector; de u-component is in de x-richting, en de v-component in de y-richting.Alle afhankelijke variabelen zijn functies van zowel x als y.De differentiaalvergelijkingen zijn dus partiële differentiaalvergelijkingen en geen gewone differentiaalvergelijkingen zoals je die in een beginnend college wiskunde bestudeert.
Je zult merken dat het differentiaalsymbool anders is dan het gebruikelijke “d /dt” of “d /dx” dat je bij gewone differentiaalvergelijkingen ziet. Het symbool “
” wordt gebruikt om partiële differentiatie aan te geven. Het symbool geeft aan dat we alle afhankelijke variabelen, behalve de variabele naast het symbool, vast moeten houden bij het berekenen van een afgeleide. De reeks vergelijkingen zijn:
Continuïteit: (r * u)/x + (r * v)/y = 0
X – Momentum: (r * u^2)/x + (r * u * v)/y = – p/x
Y – Momentum: (r * u * v)/x + (r * v^2)/y = – p/y
Hoewel deze vergelijkingen zeer ingewikkeld lijken, leren ingenieursstudenten hoe ze af te leiden in een proces dat veel lijkt op de afleiding die we presenteren op de webpagina over behoud van momentum. De twee momentumvergelijkingen zijn tweedimensionale generalisaties van de vergelijking van het behoud van momentum. De massastroomvergelijking ontwikkeld op dewebpagina over behoud van massa is een eendimensionale oplossing van de hier getoonde continuïteitsvergelijking.
Generaliseerde oplossingen van deze vergelijkingen zijn moeilijk te verkrijgen.Merk op dat alle afhankelijke variabelen in elke vergelijking voorkomen.Om een stromingsprobleem op te lossen, moet je alle drie de vergelijkingen tegelijk oplossen; daarom noemen we dit een gekoppeld stelsel van vergelijkingen. Er is eigenlijk nog een vergelijking nodig om dit stelsel op te lossen, want we tonen slechts drie vergelijkingen voor vier onbekenden. In het verleden hebben ingenieurs de vergelijkingen verder benaderd en vereenvoudigd tot zij een groep vergelijkingen hadden die zij konden oplossen. Onlangs zijn computers met hoge snelheid gebruikt om benaderingen van de vergelijkingen op te lossen met behulp van een verscheidenheid van technieken zoals eindige verschillen, eindige volumes, eindige elementen, en spectrale methoden.Dit studiegebied wordt Computational Fluid Dynamics of CFD genoemd.
Een van de vereenvoudigingsmethoden die in het verleden werden gebruikt, was aan te nemen dat het gas een zeer lage snelheid had en de effecten van samendrukbaarheid te verwaarlozen.In een incompressibele stroming is de dichtheid constant en kunnen we deze uit de continuïteitsvergelijking verwijderen:
Continuïteit: u/x + v/y = 0
We kunnen dan de momentumvergelijkingen ontbinden en de continuïteitsvergelijking gebruiken om ze te vereenvoudigen:
X – Momentum: u * u/x + v * u/y = – / r
Y – Momentum: u * v/x + v * v/y = – / r
Deze reeks vergelijkingen werd gebruikt om het algoritme te ontwikkelen dat in hetFoilSimcomputerprogramma wordt gebruikt.
Activiteiten:
Rondleidingen
Navigatie …
Beginner’s Guide Home Page