Geometrie: Lijnen en hoeken

Lijnen en hoeken vormen bijna alle geometrische vormen. Laten we daarom eens in de meetkunde duiken door deze basiselementen van vormen te bespreken.

Nu kunnen we het gaan hebben over Geometrie. En geometrie is natuurlijk de studie van vormen. Voor sommige mensen, die visueel ingesteld zijn, is geometrie heel natuurlijk. En andere mensen die hun visuele vaardigheden niet hebben ontwikkeld, kan Geometrie een beetje moeilijker zijn.

Speciaal voor de mensen voor wie Geometrie een beetje moeilijker is, is dit wat ik ga zeggen.

Het is niet genoeg om alleen deze video’s te bekijken. Nadat je deze bekeken hebt, pak papier en een liniaal en teken deze verschillende vormen, teken ze echt fysiek op papier. En bouw vormen en fysieke objecten. Je kunt potloden, tandenstokers, rietjes, iets dergelijks gebruiken. Bouw driehoeken, bouw rechthoeken, kijk er echt naar.

Gebruik je handen!

Gebruik je handen, onze handen zijn eigenlijk een deel van onze intelligentie. Als je je handen gebruikt, schakel je elk deel van je hersenen in. Dat zal het veel makkelijker maken, om al deze relaties te begrijpen.

Dus laten we beginnen met lijnen. Lijnen zijn recht en gaan eindeloos door in beide richtingen. Hier hebben we een heleboel verschillende rechte lijnen, in een heleboel verschillende richtingen. Je moet je voorstellen dat er aan het eind van elke lijn pijlen of iets dergelijks staan. Dit geeft aan dat de lijnen in beide richtingen oneindig lang doorlopen.

Lijnen en hoeken: Alle lijnen zijn recht

Het is heel belangrijk om recht niet te verwarren met horizontaal. Deze twee woorden hebben zeer verschillende betekenissen, maar soms zijn er leerlingen die ze verwarren. Alle lijnen zijn recht. Dus alle lijnen die we op de vorige dia hadden, lijnen die in verschillende richtingen gaan, dat zijn allemaal rechte lijnen.

En je kunt altijd aannemen dat een lijn recht is op de test. Als het er recht uitziet, is het recht. Dat is altijd waar op de test. Maar sommige lijnen zijn voor het gemak horizontaal getekend. Je kunt er echter nooit van uitgaan dat lijnen precies horizontaal of verticaal zijn, alleen omdat ze er zo uitzien. Nu raken mensen hierover echt in de war. U bent in de war als u denkt dat horizontaal en recht hetzelfde betekenen.

Dus wij zeggen dat je uit de test mag afleiden dat lijnen recht zijn. Mensen gaan er ten onrechte van uit dat dit ook betekent dat ze mogen aannemen dat lijnen horizontaal zijn, en dat is niet juist. Een lijnstuk is een eindig stuk van een lijn.

Voorbeeld

Dus bijvoorbeeld, hier hebben we een lijnstuk, het heeft twee eindpunten. En als deze eindpunten gelabeld zijn, maakt dat het makkelijk om te bespreken.

Dit is lijnstuk AB. En voor het doel van de test, AB kan ofwel de eigenlijke vorm van het lijnstuk zelf betekenen. Of het kan de lengte van het lijnstuk betekenen, de numerieke lengte. Een hoek ontstaat tussen twee lijnen, of twee lijnstukken. Bijvoorbeeld, hier hebben we een hoek.

Lijnen en hoeken: Understanding Angles

Dit is toevallig tussen een lijn en een lijnstuk. De beste manier om een hoek te begrijpen is hem dynamisch op te vatten, als de handeling van draaien of roteren. Dus met andere woorden, van hier naar hier gaan. Dat is wat een hoek is, het is die dynamische ruimte tussen de twee lijnen. Als we punten labelen, kunnen we over een hoek praten.

Hoeken labelen

We kunnen deze hoek CDE of EDC noemen, Punt D, het hoekpunt van de hoek. Hier moet het punt van de hoek in het midden van de naam staan. We kunnen dus ofwel CDE of EDC noemen, zolang het hoekpunt maar in het midden ligt. Soms zal ik in deze video’s ook de naam van een enkele hoek gebruiken, als er geen onduidelijkheid is. Bijvoorbeeld, er is maar één hoek in dit diagram.

Dus ik zou het hoek D kunnen noemen. Theoretisch zou dat op de test kunnen voorkomen. Hoewel de test vaak voorzichtig genoeg is om altijd een drie-letter naam voor een hoek te gebruiken. We meten de grootte van een hoek in graden. De test kan die direct aangeven, dus 50 graden.

Alternatief kan de test het diagram labelen en de maat van de hoek in de tekst vermelden. Dus hoek GFH = 50 graden omdat ze letters op de punten in het diagram hebben gezet. We kunnen dat gewoon gebruiken om over die maat te praten, in het aantal graden in de tekst. Eigenlijk, het waarschijnlijk favoriete ding om te doen is het volgende gewoon hoek specificeren, met een variabel aantal graden.

Flexibel testformaat

Dit flexibele formaat stelt hen in staat om ofwel de hoek te specificeren, want in de tekst zouden ze kunnen zeggen x = 50, of ze zouden er een vraag over kunnen stellen. Ze zouden ons andere informatie kunnen geven en zeggen vind x. Dus ze zouden dit graag doen. We zullen even de basisfeiten van graden op een rijtje zetten. Een rechte hoek heeft 180 graden en een rechte lijn kan in elke richting gaan.

Maar als er een punt op de rechte lijn is, helemaal rond van de ene kant van de lijn naar de andere. Dat is 180 graden, er zijn 90 graden in een rechte hoek. Dus hier hebben we twee lijnen die elkaar snijden in een rechte hoek. Er zijn eigenlijk vier rechte hoeken op dat snijpunt. Als de twee lijnen of lijnstukken elkaar in een rechte hoek snijden, worden ze loodrecht genoemd, dat is een term die je moet kennen.

Perpendicular Lines and Right Angles

De toets kan ofwel dat kleine vierkantje tekenen, het loodrechte teken, dat is dat kleine vierkantje, of het kan aangeven dat de hoek 90 graden is. Het kan 90 graden in het diagram labelen of X graden en ons in de tekst vertellen dat X gelijk is aan 90. Er zijn verschillende manieren waarop ze ons kunnen vertellen dat het een hoek van 90 graden is. Ga er niet van uit dat twee lijnen loodrecht op elkaar staan als dat niet expliciet gezegd wordt, dit is vaak een valkuil.

Veronderstel dat deze punten verschijnen als deel van een groter diagram, en dat er geen verdere informatie wordt gegeven. Het lijkt er zeker op dat ze in een rechte hoek zouden kunnen staan, en dat is erg verleidelijk om aan te nemen. De test zou graag zien dat je de fout maakt, aan te nemen dat de lijnen loodrecht op elkaar staan, en dat de hoek precies gelijk is aan 90 graden.

In feite is dat niet zo, ik heb dit zo getekend dat, die hoek daar een hoek van 89,6 graden is. Het is dus bijna een rechte hoek, en met het blote oog ziet het er misschien uit als een rechte hoek. Maar geen van de speciale rechte hoek eigenschappen zijn waar.

En in volgende video’s zullen we het meer hebben over speciale rechte hoek eigenschappen. Geen van de speciale rechte hoek eigenschappen is waar, als de hoek dicht bij 90 is, maar niet precies 90.

Zeer belangrijk, je kunt dus niet aannemen dat twee lijnen loodrecht op elkaar staan, tenzij je daar een soort rechtvaardiging voor hebt.

Lijnen en hoeken: Congruente Vormen

Een term die ik zal introduceren, en die waarschijnlijk niet op de toets voorkomt, is congruent. Congruent is als gelijk, voor vormen. We gebruiken het begrip “gelijk” voor een getal, en het zeer vergelijkbare begrip “congruent” voor vormen.

Twee vormen zijn congruent als ze dezelfde vorm en dezelfde grootte hebben.

Ze hoeven niet dezelfde oriëntatie te hebben. Dus bijvoorbeeld, de paarse en de groene vorm hier zijn congruent, de ene is omgedraaid ten opzichte van de andere. Je zou kunnen zeggen dat de ene een rechtshandige versie is, en de andere een linkshandige versie, maar in wezen is het dezelfde vorm.

Deze twee zijn congruent, ook al hebben ze verschillende oriëntaties.

Bissectrices

Een bissectrice snijdt iets in twee congruente stukken. Een bissectrice van een hoek snijdt een hoek in twee kleinere congruente hoeken. Dus bijvoorbeeld hier hebben we een bissectrice van een hoek. Als ons bijvoorbeeld wordt verteld dat de grote hoek, PNM 40 graden is, en dat NQ de hoek doorsnijdt, dan kunnen we daaruit afleiden dat de twee kleinere hoeken elk 20 graden moeten zijn.

Ze moeten elk precies voor de helft gelijk zijn aan elkaar, omdat de hoek in tweeën is gedeeld. Op dezelfde manier kan de bissectrice van een lijnstuk een punt, een ander lijnstuk of een rechte zijn. De bissectrice verdeelt het lijnstuk in twee gelijke helften. Hier snijdt lijnstuk ST in PQ. Merk ook op dat het zeker waar is dat PQ niet bissectrice ST is, want SR is duidelijk groter dan RT.

Dus het feit dat ST PQ doorsnijdt betekent dat R het midden van PQ is, en dat PR = RQ. We hebben het in twee gelijke helften verdeeld, en nogmaals, dat is altijd wat bissecteren betekent. Soms snijdt een lijn een lijnstuk en staat er ook loodrecht op. De lijn heet dan een middelloodlijn van het lijnstuk.

Lijn VW staat loodrecht, het is de middelloodlijn van TU. Elk punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt op gelijke afstand van de twee eindpunten van het lijnstuk. En dus is dat een heel handig feit om te weten, dat zich op verschillende manieren manifesteert. De middelloodlijn is in feite de verzameling van alle mogelijke punten, die op gelijke afstand liggen van de twee eindpunten van het lijnstuk.

Lijnen en hoeken: Laten we eens kijken naar hoeken

Nu enkele basisfeiten over hoeken. We hebben al gezegd dat een rechte lijn 180 graden bevat. Dit betekent dat als twee of meer hoeken in een rechte liggen, de som van hun hoeken 180 graden is. Dus bijvoorbeeld, we kunnen aannemen dat die lange lijn recht is. Hij heeft niet een of andere lichte kromming op dat punt.

De test zal ons dat niet doen, als het er recht uitziet, is het recht. En daarom weten we dat die twee hoeken samen 180 maken. Dus, x + y = 180. Als de twee hoeken bij elkaar opgeteld 180 zijn, dan heten ze supplementair. Twee hoeken op een rechte zijn altijd supplementair. Dus p + q = 180.

Als twee lijnen elkaar kruisen

Als twee lijnen elkaar kruisen, worden er vier hoeken gevormd. Dus hier hebben we twee lijnen die eeuwig doorgaan in beide richtingen, ze moeten elkaar kruisen, en deze vier hoeken worden gevormd. De paren van tegenover elkaar liggende hoeken, die alleen het hoekpunt gemeen hebben, worden verticale hoeken genoemd, en verticale hoeken zijn altijd congruent. Dus bijvoorbeeld A en C, die hebben geen zijden gemeen.

Het enige dat a en c gemeen hebben is dat ze elkaar raken in één hoekpunt. Ze raken elkaar bij het hoekpunt, b en d raken elkaar ook bij het hoekpunt. En daarom worden ze verticale hoeken genoemd, omdat ze elkaar raken in een hoekpunt. We weten dus dat verticale hoeken congruent zijn, we weten dat a = c, en b = d. Natuurlijk, de paren van hoeken naast elkaar, a + b, b + c, die zijn allemaal supplementair.

Ze tellen allemaal op tot 180 graden, want we hebben paren van hoeken op een lijn. Daarom, als we één hoek in dit diagram zouden krijgen, kunnen we de andere drie vinden. Bijvoorbeeld, als a = 35, dan weten we dat c gelijk moet zijn. Die moet ook 35 graden zijn. En b en d moeten de supplementaire hoek van 145 graden zijn. Zodat elke twee paren samen, elke twee hoeken samen in een paar, optellen tot 180 graden.

Lijnen en hoeken: Oefenprobleem één

Hier is een oefenprobleem, pauzeer de video en dan gaan we hierover praten.

Okay In het diagram x = 40 graden en RT bissectects the big angle SRU, which is a very big angle. SRU is de supplementaire hoek van die hoek van 40 graden, dus SRU moet 180 min 40 zijn, wat 140 zou zijn. Dus SRU is 140.

En deze hoek is gehalveerd, omdat hij gehalveerd is, is hij in twee gelijke helften gesneden. Er zijn dus twee helften die elk 70 graden zijn. SRT = 70 graden, TRU = 70 graden. Dat zijn de twee gelijke helften van de hoek die doorgesneden werd. Merk nu op dat de hoek TRV, die hoek is gemaakt van TRU en hoek x, die we kennen.

We weten dat TRU 70 graden is en we weten dat hoek X 40 graden is, dus we tellen ze bij elkaar op. TRV moet een hoek van 110 graden zijn. Merk nu op dat TRV de verticale hoek van SRW is, dus die twee moeten gelijk zijn. Dus dat betekent dat SRW ook een hoek van 110 graden moet zijn, dus Y is gelijk aan 110. Tenslotte bekijken we de parallelle lijnen.

Lijnen en hoeken: Parallelle lijnen

Als twee lijnen evenwijdig zijn, snijden ze elkaar nooit, en liggen ze altijd op precies dezelfde afstand van elkaar. En ook dit is weer zo’n eigenschap, zoals loodrecht, dicht bij evenwijdig, telt niet voor bonen. Je moet weten dat de twee lijnen precies evenwijdig zijn. Omdat evenwijdige lijnen elkaar nooit snijden, vormen ze natuurlijk ook geen hoeken met elkaar.

Transversale lijnen

We krijgen echter veel hoeken, als een derde niet-parallelle lijn de twee evenwijdige lijnen snijdt. Deze derde lijn noemt men een transversaal. Een transversaal is een lijn die twee evenwijdige lijnen snijdt. Dus hier hebben we een transversaal die de parallelle lijnen WX en YZ snijdt. En we krijgen daar acht engelen.

Nu zijn de vier grote engelen allemaal gelijk. En de vier kleine engelen zijn allemaal gelijk. Dus met andere woorden a = d = e = h en b = c = f = g, dat is het grote idee. Daaronder zijn er natuurlijk allerlei speciale namen, zoals u die nog wel kent uit de meetkunde.

Binnenhoeken en buitenhoeken met dezelfde zijde en overeenkomstige hoeken. Als je al die speciale namen wilt onthouden, is dat prima, dat hoeft niet. Het enige dat je moet onthouden is dat alle grote hoeken gelijk zijn, alle kleine hoeken zijn gelijk. Dus hier is het diagram weer, en nu heb ik het gelabeld zodat het duidelijk is dat alles gelijk is.

Lijnen en hoeken: Supplementaire Hoeken

Ook zie je dat p en q supplementair zijn. Dus elke grote hoek plus elke kleine hoek is gelijk aan 180 graden, dat is een heel groot idee. Dus, als we de graad van een van de hoeken hier krijgen, kunnen we de andere zeven vinden. Samenvattend: we hebben het over lijnen en lijnstukken gehad, we hebben het over hoeken en graden gehad.

We hebben erop gewezen dat een rechte hoek 180 graden heeft en een rechte hoek 90 graden. We hebben het gehad over bissectrices van hoeken en middelloodlijnen. Een bissectrice van een hoek verdeelt een hoek in twee kleinere gelijke hoeken. Een middelloodlijn staat loodrecht op een lijnstuk, en verdeelt het in twee gelijke helften.

We hebben het gehad over hoe twee hoeken op een lijn supplementair zijn. Verticale hoeken zijn congruent. En we hebben het gehad over de hoeken gevormd door een transversaal, die een paar parallelle lijnen snijdt. En we zullen het hebben over veel toepassingen van deze fundamentele ideeën, in de komende video’s.