Hoe te denken met exponenten en logaritmen

Hier is een truc voor het doordenken van problemen met exponenten en logs. Stel gewoon twee vragen:

1) Hebben we het over inputs (oorzaak van de verandering) of outputs (de werkelijke verandering die heeft plaatsgevonden?)

Logaritmen onthullen de inputs die de groei hebben veroorzaakt
Exponenten vinden het uiteindelijke resultaat van de groei

2) Hebben we het over het perspectief van de teler, of dat van een waarnemer?

e en de natuurlijke log zijn vanuit het oogpunt van de teler, van moment tot moment
Basis 10, basis 2, enz. zijn metingen die handig zijn voor een menselijke waarnemer

In mijn hoofd zet ik de opties in een tabel:

exponent logaritme gezichtspunt vergelijking

Ik heb gedachten als “Ik heb de oorzaak nodig, vanuit het perspectief van de teler… dat is de natuurlijke log.”. (Natuurlijke log wordt afgekort met kleine letters LN, van het hoogdravende logarithmus naturalis.)

Ik was gefrustreerd met lessen die het binnenste deel van de tabel beschreven, de ruwe functies, zonder de bijschriften die uitlegden wanneer je ze moest gebruiken!

Dat gaat niet op, laten we direct oefenen met denken in logs en exponenten.

Scenario: Beschrijf de groei van het BBP

Hier volgt een typisch voorbeeld van groei:

Van 2000 tot 2010 is het BBP van de VS veranderd van 9,9 biljoen in 14,4 biljoen

Ok, zeker, die getallen laten zien dat er verandering heeft plaatsgevonden. Maar we willen waarschijnlijk inzicht in de oorzaak: Welk gemiddeld jaarlijks groeipercentage zou deze verandering verklaren?

Onmiddellijk denken mijn hersenen aan “logaritmen”, omdat we terugwerken van de groei naar het tempo dat de groei heeft veroorzaakt. Ik begin met een gedachte als deze:

$\rightarrow \text{oorzaak van de groei}$

Een goed begin, maar laten we het aanscherpen.

Eerst, welke logaritme moeten we gebruiken?

Ik kies standaard de natuurlijke logaritme. De meeste gebeurtenissen zijn uiteindelijk in termen van de groeier (niet de waarnemer), en ik vind het leuk om “mee te rijden” met het groeiende element om te visualiseren wat er gebeurt. (Radialen zijn vergelijkbaar: zij meten hoeken in termen van de beweger.)

Volgende vraag: op welke verandering passen we de logaritme toe?

We zijn eigenlijk alleen maar geïnteresseerd in de verhouding tussen begin en eind: 9,9 biljoen naar 14,4 biljoen in 10 jaar. Dat is dezelfde groei als van 9,90 naar 14,40 dollar in dezelfde periode.

We kunnen onze gedachte aanscherpen:

\rightarrow \text{oorzaak van groei}

$>Displaystyle{[\ln(\frac{14.4}{9.9}) = .374}$

Ok, de oorzaak was een percentage van .374 of 37,4%. Zijn we klaar?

Nog niet. Logaritmen weten niet hoe lang een verandering heeft geduurd (we hebben er toch geen 10 jaar ingestopt?). Ze geven ons een percentage alsof alle verandering in een enkele periode heeft plaatsgevonden.

De verandering zou inderdaad een enkel jaar van 37,4% continue groei kunnen zijn, of 2 jaar van 18,7% groei, of een andere combinatie.

Uit het scenario weten we dat de verandering 10 jaar heeft geduurd, dus het tempo moet zijn geweest:

${ \text{snelheid} = \frac{.374}{10} = .0374 = 3,74%}$

Uit het oogpunt van onmiddellijke, continue groei is de Amerikaanse economie met 3,74% per jaar gegroeid.

Zijn we nu klaar? Niet helemaal!

Dit continue tempo is vanuit het perspectief van de groeier, alsof we “meerijden” met de economie terwijl die verandert. Een bankier geeft waarschijnlijk om het mensvriendelijke, jaar-op-jaar verschil. We kunnen dit uitrekenen door de continue groei een jaar lang te laten lopen:

\rightarrow \text{effect van groei} }

$\displaystyle{e^{\text{rate} <p>{e^{.0374 \text{tijd}} = \text{groei}}$

{e^{.0374 \cdot 1} = 1.0381}

De jaar-op-jaar winst is 3,8%, iets hoger dan het 3,74% onmiddellijke percentage als gevolg van de samengestelde interest. Hier is een andere manier om het te zeggen:

Op instant-basis groeit een bepaald deel van de economie met 3,74%, gemodelleerd met $e^(.0374 * jaren)$
Op jaarbasis, met samengestelde effecten uitgewerkt, groeit de economie met 3,81%, gemodelleerd door $1,0381^jaren$

In de financiële wereld willen we misschien de verandering van jaar tot jaar, die mooi kan worden vergeleken met andere trends. In de wetenschap en techniek geven we de voorkeur aan het modelleren van gedrag op een momentane basis.

Scenario: Beschrijf Natuurlijke Groei

Ik verafschuw gecompliceerde voorbeelden als “Veronderstel dat bacteriën zich elke 24 uur verdubbelen, vind de groeiformule.”. Repliceren bacteriekolonies zich met schone menselijke tussenpozen, en wachten we op een exacte verdubbeling?

Een beter scenario: “Hé, ik vond wat bacteriën, wachtte een uur, en het klontje groeide van 2,3 gram naar 2,32 gram. Ik ga nu lunchen. Bereken hoeveel we hebben als ik over 3 uur terug ben.”

Laten we dit modelleren. We hebben een logaritme nodig om de groeisnelheid te vinden, en dan een exponent om die groei vooruit te projecteren. Net als voorheen houden we alles in termen van de natuurlijke log om te beginnen.

De groeifactor is:

$\rightarrow \text{oorzaak van groei}$

Dit is het tempo voor één uur, en het algemene model om vooruit te projecteren wordt

displaystyle{{exponent met tempo en tijd} \rightarrow \text{effect van groei} }

${e^{.0086 \cdot \text{uur}} \rightarrow \text{effect van groei}}$

Als we beginnen met 2,32 en 3 uur groeien dan hebben we:

$Displaystyle{2,32 ^{,0086 ^{,0086 ^{,0086 3} = 2,38}$

Hoe lang duurt het voor de bacterie verdubbeld is? Stel je voor dat je wacht tot 1 2 is geworden:

${1 \cdot e^{.0086 \cdot \text{uur}} = 2}$

We kunnen mechanisch de natuurlijke log van beide kanten nemen om “de exponent ongedaan te maken”, maar laten we eens intuïtief denken.

Als 2 het eindresultaat is, dan is ln(2) de groei-input die ons daar heeft gebracht (een bepaalde snelheid × tijd). We weten dat de snelheid .0086 was, dus de tijd om tot 2 te komen zou zijn:

${ \text{uren} = \frac{\ln(2)}{{rate} = \frac{.693}{.0086} = 80.58}$

De kolonie zal na ~80 uur verdubbeld zijn. (Blij dat je niet bent blijven hangen?)

Wat betekent de perspectiefwisseling eigenlijk?

Uitzoeken of je de input (oorzaak van de groei) of de output (resultaat van de groei) wilt, is vrij eenvoudig. Maar hoe visualiseer je het perspectief van de teler?

Stel je voor dat we kleine werkers hebben die het uiteindelijke groeipatroon opbouwen (zie het artikel over exponenten):

$compound interest$

Als ons groeipercentage 100% is, zeggen we tegen onze eerste werker (meneer Blauw) dat hij gestaag moet doorwerken en aan het eind van het jaar een kopie van 100% van zichzelf moet hebben gemaakt. Als we hem dag voor dag volgen, zien we dat hij aan het eind van het jaar inderdaad een 100% kopie van zichzelf (Mr. Green) af heeft.

Maar… die arbeider die hij aan het bouwen was (Mr. Green) begint ook te werken. Als meneer Groen voor het eerst verschijnt op het 6-maands punt, heeft hij een half jaar om te werken (dezelfde jaarlijkse snelheid als meneer Blauw) en bouwt hij meneer Rood. Natuurlijk is meneer Rood uiteindelijk maar half af, want meneer Groen heeft maar 6 maanden.

Wat als meneer Groen na 4 maanden zou verschijnen? Een maand? Een dag? Een seconde? Als werknemers onmiddellijk beginnen te groeien, krijgen we de onmiddellijk-voor-stantcurve die wordt gedefinieerd door $e^x$:

continue groei

De natuurlijke log geeft een groeipercentage in termen van het perspectief van een individuele werknemer. We voegen dat percentage in $e^x$ om het eindresultaat te vinden, met alle samenstellingen inbegrepen.

Gebruik van andere grondslagen

Omschakelen naar een ander type logaritme (basis 10, basis 2, enz.) betekent dat we op zoek zijn naar een patroon in de totale groei, niet naar wat de individuele werknemer doet.

Elk logaritme stelt een vraag bij het zien van een verandering:

Log basis e:
Log base 2: Hoeveel verdubbelingen waren er nodig?
Log base 10: Hoeveel 10x-ingen waren er nodig?

Hier volgt een scenario om te analyseren:

In 30 jaar is het aantal transistoren op gangbare chips gestegen van 1000 naar 1 miljard

Hoe zou u dit analyseren?

Microchips zijn niet één geheel dat in de loop der tijd probleemloos groeit. Het zijn afzonderlijke uitgaven, van concurrerende bedrijven, en duiden op een algemene technische trend.
Omdat we niet “meerijden” met een uitdijende microchip, gebruiken we een schaal die voor menselijk gemak is gemaakt. Verdubbelen is makkelijker dan verveelvoudigen.

Met deze aannames krijgen we:

$\rightarrow \text{oorzaak van groei}$

$>Displaystyle{\log_2(\frac{1 miljard}}{1000}) = \log_2(\text{1 miljoen}) \sim \text{20 verdubbelingen}}$

De “oorzaak van de groei” was 20 verdubbelingen, waarvan we weten dat die in 30 jaar hebben plaatsgevonden. Dit is gemiddeld 2/3 verdubbelingen per jaar, of 1,5 jaar per verdubbeling – een mooie vuistregel.

Vanuit het perspectief van de kweker berekenen we $1 miljard/1000 / 30 jaar = 46% continue groei (een beetje moeilijker te vatten in dit scenario).

We kunnen onze analyse samenvatten in een tabel:

exponenten transistor voorbeeld

Samenvatting

Leren gaat over het vinden van de verborgen bijschriften achter een concept. Wanneer wordt het gebruikt? Welk gezichtspunt brengt het naar het probleem?

Mijn huidige interpretatie is dat exponenten vragen naar oorzaak vs. gevolg en kweker vs. waarnemer. Maar we zijn nooit klaar; een deel van het plezier is te zien hoe we oude concepten kunnen heroveren.

Happy math.

Appendix: The Change Of Base Formula

Hier staat hoe je moet denken over het veranderen van basis. Uitgaande van een 100% continue groei,

ln(x) is de tijd om tot x te groeien
ln(2) is de tijd om tot 2 te groeien

Omdat we de tijd hebben om te verdubbelen, kunnen we zien hoeveel er zouden “passen” in de totale tijd om tot x te groeien:

$Tekst{aantal verdubbelingen van 1 tot x} = \frac{\ln(x)}{\ln(2)} = \log_2(x)}$

Bijv. hoeveel verdubbelingen komen voor van 1 tot 64?

Wel, ln(64) = 4.158. En ln(2) = .693. Het aantal verdubbelingen dat past is:

${\frac{\ln(64)}{\ln(2)} = \frac{4.158}{.693} = 6}$

In de echte wereld kunnen rekenmachines aan precisie inboeten, dus gebruik indien mogelijk een directe logbase 2 functie. En natuurlijk kunnen we een breukgetal hebben: Van 1 naar de vierkantswortel van 2 gaan is “een halve” verdubbeling, of log2(1,414) = 0,5.

Omschakelen naar logbasis 10 betekent dat we het aantal 10x-ingen tellen dat past:

$>Displaystyle{Tekst{aantal 10x-ingen van 1 tot x} = \frac{\ln(x)}{\ln(10)} = \log_{10}(x) }$

Leuk toch? Lees Logaritmen gebruiken in de echte wereld voor meer voorbeelden.

Andere artikelen in deze serie

Een intuïtieve gids voor exponentiële functies & e
Het natuurlijk logaritme (ln)
Een visuele gids voor eenvoudige, samengestelde en doorlopende rentetarieven
Gemeenschappelijke definities van e (ingekleurd)
Uitleg van exponenten (Waarom is 0^0 = 1?
Logaritmen gebruiken in de echte wereld
Hoe te denken met exponenten en logaritmen
Inzicht in discrete vs. continue groei
Wat betekent een exponent nu eigenlijk?
Vraag: Waarom is e speciaal? (2,718…, niet 2, 3,7 of een ander getal?)