Wiskunde is misschien meer een omgevingswetenschap dan we beseffen. Hoewel het een zoektocht is naar eeuwige waarheden, vinden veel wiskundige concepten hun oorsprong in de alledaagse ervaring. Astrologie en architectuur inspireerden Egyptenaren en Babyloniërs om geometrie te ontwikkelen. De studie van de mechanica tijdens de wetenschappelijke revolutie van de 17e eeuw bracht ons de calculus.
Het is opmerkelijk dat ideeën uit de kwantumtheorie ook een enorme wiskundige kracht blijken te bezitten, ook al hebben we weinig dagelijkse ervaring met het omgaan met elementaire deeltjes. De bizarre wereld van de kwantumtheorie – waar dingen op twee plaatsen tegelijk kunnen lijken te zijn en onderworpen zijn aan de wetten van de waarschijnlijkheid – vertegenwoordigt niet alleen een fundamentelere beschrijving van de natuur dan wat eraan voorafging, het biedt ook een rijke context voor de moderne wiskunde. Zou de logische structuur van de kwantumtheorie, wanneer die eenmaal volledig begrepen en geabsorbeerd is, een nieuw gebied van wiskunde kunnen inspireren dat “kwantumwiskunde” genoemd zou kunnen worden?
Er bestaat natuurlijk een langdurige en intieme relatie tussen wiskunde en natuurkunde. Galileo schreef over een boek van de natuur dat wacht om ontcijferd te worden: “Filosofie is geschreven in dit grote boek, het universum, dat voortdurend open ligt voor onze blik. Maar het boek kan niet begrepen worden tenzij men eerst de taal leert begrijpen en de letters leert lezen waarin het is samengesteld. Het is geschreven in de taal van de wiskunde.” Uit modernere tijden kunnen we Richard Feynman citeren, die niet bekend stond als een kenner van abstracte wiskunde: “Voor hen die geen verstand hebben van wiskunde is het moeilijk om een echt gevoel over te brengen van de schoonheid, de diepste schoonheid, van de natuur. … Als je de natuur wilt leren kennen, haar wilt waarderen, is het noodzakelijk de taal te begrijpen waarin zij spreekt.” (Aan de andere kant verklaarde hij ook: “Als alle wiskunde vandaag zou verdwijnen, zou de natuurkunde precies één week worden teruggezet,” waarop een wiskundige de slimme repliek had: “Dit was de week dat God de wereld schiep.”)
De wiskundige natuurkundige en Nobelprijswinnaar Eugene Wigner heeft welsprekend geschreven over het verbazingwekkende vermogen van de wiskunde om de werkelijkheid te beschrijven, en het gekarakteriseerd als “de onredelijke doeltreffendheid van de wiskunde in de natuurwetenschappen.” Dezelfde wiskundige concepten duiken op in een breed scala van contexten. Maar tegenwoordig lijken we getuige te zijn van het omgekeerde: de onredelijke doeltreffendheid van de kwantumtheorie in de moderne wiskunde. Ideeën die hun oorsprong vinden in de deeltjesfysica hebben de griezelige neiging om op te duiken in de meest uiteenlopende wiskundige gebieden. Dit geldt in het bijzonder voor de snaartheorie. Haar stimulerende invloed in de wiskunde zal een blijvende en lonende impact hebben, wat haar uiteindelijke rol in de fundamentele fysica ook zal blijken te zijn. Het aantal disciplines dat erdoor wordt geraakt is duizelingwekkend: analyse, meetkunde, algebra, topologie, representatietheorie, combinatoriek, waarschijnlijkheid – de lijst gaat maar door en door. Men begint medelijden te krijgen met de arme studenten die dit allemaal moeten leren!
Wat zou de onderliggende reden kunnen zijn voor deze onredelijke effectiviteit van de kwantumtheorie? Volgens mij hangt die nauw samen met het feit dat in de kwantumwereld alles wat kan gebeuren, ook gebeurt.
Op een heel schematische manier probeert de klassieke mechanica te berekenen hoe een deeltje van A naar B reist. In de kwantummechanica beschouwt men in plaats daarvan de verzameling van alle mogelijke paden van A naar B, hoe lang en ingewikkeld ook. Dit is Feynman’s beroemde “som over geschiedenissen” interpretatie. De wetten van de fysica kennen dan aan elk pad een bepaald gewicht toe dat de waarschijnlijkheid bepaalt dat een deeltje langs dat bepaalde traject zal bewegen. De klassieke oplossing die voldoet aan de wetten van Newton is gewoon de meest waarschijnlijke van de vele. Op natuurlijke wijze bestudeert de kwantumfysica dus de verzameling van alle paden, als een gewogen geheel, dat ons in staat stelt alle mogelijkheden bij elkaar op te tellen.
Deze holistische benadering, waarbij alles tegelijk wordt bekeken, is zeer in de geest van de moderne wiskunde, waar de bestudering van “categorieën” van objecten zich veel meer richt op de onderlinge relaties dan op enig specifiek afzonderlijk voorbeeld. Het is deze kijk in vogelvlucht op de kwantumtheorie die verrassende nieuwe verbanden aan het licht brengt.
Kwantumrekenaars
Een treffend voorbeeld van de magie van de kwantumtheorie is de spiegelsymmetrie – een werkelijk verbazingwekkende gelijkwaardigheid van ruimten die een revolutie in de meetkunde teweeg heeft gebracht. Het verhaal begint in de enumeratieve meetkunde, een gevestigde, maar niet erg opwindende tak van de algebraïsche meetkunde die objecten telt. Onderzoekers willen bijvoorbeeld het aantal krommen in Calabi-Yau-ruimten tellen – zesdimensionale oplossingen van Einsteins zwaartekrachtsvergelijkingen die van bijzonder belang zijn in de snaartheorie, waar ze worden gebruikt om extra ruimtedimensies op te krullen.
Net zoals je een elastiekje meerdere keren om een cilinder kunt wikkelen, worden de krommen in een Calabi-Yau-ruimte geclassificeerd door een geheel getal, de graad genaamd, dat aangeeft hoe vaak ze zich omwikkelen. Het vinden van het aantal krommen van een gegeven graad is een beroemd moeilijk probleem, zelfs voor de eenvoudigste Calabi-Yau-ruimte, de zogenaamde quintische. Een klassiek resultaat uit de 19e eeuw stelt dat het aantal lijnen – krommen van graad één – gelijk is aan 2.875. Het aantal krommen van graad-twee is pas rond 1980 berekend en blijkt veel groter te zijn: 609.250. Maar voor het aantal krommen van graad drie was de hulp nodig van snaartheoretici.
Omstreeks 1990 vroeg een groep snaartheoretici aan meetkundigen om dit aantal te berekenen. De meetkundigen bedachten een ingewikkeld computerprogramma en kwamen terug met een antwoord. Maar de snaar-theoretici vermoedden dat het een vergissing was, wat een fout in de code suggereerde. Bij controle bevestigden de meetkundigen dat er een fout in zat, maar hoe wisten de natuurkundigen dat? Snaartheoretici waren al bezig geweest om dit meetkundige probleem te vertalen in een natuurkundig probleem. Daarbij hadden ze een manier ontwikkeld om het aantal krommen van elke graad in één keer te berekenen. Het is moeilijk de schok van dit resultaat in wiskundige kringen te overschatten. Het was een beetje alsof men een manier had gevonden om elke berg te beklimmen, hoe hoog ook!
In de kwantumtheorie is het volkomen logisch om de aantallen krommen van alle graden te combineren tot één enkele elegante functie. Op deze manier samengesteld, heeft het een eenvoudige fysische interpretatie. Zij kan worden gezien als een waarschijnlijkheidsamplitude voor een snaar die zich voortplant in de Calabi-Yau ruimte, waar het sum-over-histories principe is toegepast. Een snaar kan worden geacht alle mogelijke krommen van elke mogelijke graad tegelijk te onderzoeken en is dus een superefficiënte “quantumcalculator”.
Maar er was nog een tweede ingrediënt nodig om de eigenlijke oplossing te vinden: een equivalente formulering van de fysica met gebruikmaking van een zogenaamde “spiegel”-Calabi-Yau-ruimte. De term “spiegel” is bedrieglijk eenvoudig. In tegenstelling tot de manier waarop een gewone spiegel een beeld weerkaatst, hebben de oorspronkelijke ruimte en zijn spiegel hier zeer verschillende vormen; zij hebben zelfs niet dezelfde topologie. Maar in het rijk van de kwantumtheorie delen zij vele eigenschappen. In het bijzonder blijkt de voortplanting van een snaar in beide ruimten identiek te zijn. De moeilijke berekening op de oorspronkelijke manifold vertaalt zich in een veel eenvoudiger uitdrukking op de spiegelmanifold, waar het kan worden berekend door een enkele integraal. Et voilà!
Duality of Equals
Spiegelsymmetrie illustreert een krachtige eigenschap van de kwantumtheorie, genaamd dualiteit: Twee klassieke modellen kunnen gelijkwaardig worden wanneer ze als kwantumsystemen worden beschouwd, alsof er met een toverstaf wordt gezwaaid en alle verschillen plotseling verdwijnen. Dualiteiten wijzen op diepe maar vaak mysterieuze symmetrieën van de onderliggende kwantumtheorie. In het algemeen worden ze slecht begrepen en zijn ze een aanwijzing dat ons begrip van de kwantumtheorie op zijn best onvolledig is.
Het eerste en beroemdste voorbeeld van zo’n gelijkwaardigheid is de bekende deeltjes-golf dualiteit die stelt dat elk kwantumdeeltje, zoals een elektron, zowel als een deeltje als als een golf kan worden beschouwd. Beide gezichtspunten hebben hun voordelen en bieden verschillende perspectieven op hetzelfde fysische verschijnsel. Het “juiste” gezichtspunt – deeltje of golf – wordt uitsluitend bepaald door de aard van de vraag, niet door de aard van het elektron. De twee kanten van spiegelsymmetrie bieden twee en gelijkwaardige perspectieven op “quantum geometrie.”
Wiskunde heeft het wonderbaarlijke vermogen om verschillende werelden met elkaar te verbinden. Het meest over het hoofd geziene symbool in elke vergelijking is het nederige gelijkheidsteken. Ideeën stromen er doorheen, alsof het gelijkheidsteken de elektrische stroom geleidt die de “Aha!” gloeilamp in onze geest doet oplichten. En de dubbele lijnen geven aan dat ideeën in beide richtingen kunnen stromen. Albert Einstein was een absolute meester in het vinden van vergelijkingen die deze eigenschap illustreren. Neem E = mc2, zonder twijfel de beroemdste vergelijking uit de geschiedenis. In al haar ingetogen elegantie verbindt zij de natuurkundige concepten van massa en energie die vóór de komst van de relativiteit als totaal verschillend werden beschouwd. Door de vergelijking van Einstein leren we dat massa kan worden omgezet in energie, en omgekeerd. De vergelijking van Einsteins algemene relativiteitstheorie, hoewel minder pakkend en bekend, verbindt de werelden van geometrie en materie op een even verrassende en mooie manier. Een beknopte manier om die theorie samen te vatten is dat massa de ruimte vertelt hoe te krommen, en ruimte vertelt massa hoe te bewegen.
Spiegelsymmetrie is een ander perfect voorbeeld van de kracht van het gelijkheidsteken. Het is in staat om twee verschillende wiskundige werelden te verbinden. De ene is het rijk van de symplectische meetkunde, de tak van de wiskunde die ten grondslag ligt aan een groot deel van de mechanica. Aan de andere kant bevindt zich het gebied van de algebraïsche meetkunde, de wereld van de complexe getallen. De kwantumfysica laat ideeën vrijelijk van het ene gebied naar het andere stromen en zorgt voor een onverwachte “grote eenwording” van deze twee wiskundige disciplines.
Het is geruststellend om te zien hoe de wiskunde in staat is geweest om zoveel van de intuïtieve, vaak onnauwkeurige redeneringen van de kwantumfysica en de snaartheorie te absorberen, en om veel van deze ideeën om te zetten in rigoureuze verklaringen en bewijzen. Wiskundigen staan op het punt deze nauwkeurigheid toe te passen op homologische spiegelsymmetrie, een programma dat het oorspronkelijke idee van spiegelsymmetrie in de snaartheorie enorm uitbreidt. In zekere zin schrijven zij een volledig woordenboek van de objecten die in de twee afzonderlijke wiskundige werelden voorkomen, inclusief alle relaties waaraan zij voldoen. Opmerkelijk is dat deze bewijzen vaak niet het pad volgen dat fysische argumenten hadden voorgesteld. Het is blijkbaar niet de taak van wiskundigen om de rommel op te ruimen na de natuurkundigen! Integendeel, in vele gevallen moesten volledig nieuwe denkpistes worden ontwikkeld om de bewijzen te vinden. Dit is nog een bewijs van de diepe en nog niet ontdekte logica die ten grondslag ligt aan de kwantumtheorie en, uiteindelijk, aan de werkelijkheid.
Niels Bohr was zeer gesteld op het begrip complementariteit. Het begrip kwam voort uit het feit dat, zoals Werner Heisenberg met zijn onzekerheidsprincipe aantoonde, men in de kwantummechanica ofwel het momentum p van een deeltje ofwel zijn positie q kan meten, maar niet beide tegelijk. Wolfgang Pauli vatte deze dualiteit geestig samen in een brief aan Heisenberg van 19 oktober 1926, slechts enkele weken na de ontdekking: “Men kan de wereld zien met het p-oog, en men kan hem zien met het q-oog, maar als men beide ogen opent, dan wordt men gek.”
In zijn latere jaren probeerde Bohr dit idee door te trekken naar een veel bredere filosofie. Een van zijn favoriete complementaire paren was waarheid en helderheid. Misschien moet het paar van wiskundige nauwkeurigheid en natuurkundige intuïtie worden toegevoegd als een ander voorbeeld van twee elkaar uitsluitende kwaliteiten. Je kunt naar de wereld kijken met een wiskundig oog of met een complementair natuurkundig oog, maar waag het niet beide te openen.
Dit artikel werd in het Spaans herdrukt op Investigacionyciencia.es.