Karakteristieken van een spiraal
Soorten spiralen
Bronnen
Een spiraal is een kromme die wordt gevormd door een punt dat om een vaste as draait op een steeds grotere afstand. Zij kan worden gedefinieerd door een wiskundige functie die de afstand van een punt tot zijn oorsprong relateert aan de hoek waaronder het wordt gedraaid. Enkele veel voorkomende spiralen zijn de spiraal van Archimedes en de hyperbolische spiraal. Een ander type spiraal, logaritmische spiraal genoemd, komt in veel gevallen in de natuur voor.
Karakteristieken van een spiraal
Een spiraal is een functie die de afstand van een punt tot de oorsprong relateert aan de hoek met de positieve
KEY TERMS
Logaritmische spiraal -Een type kromme gedefinieerd door de relatie r = ea q. Het is een vorm die vaak in de natuur voorkomt.
Oorsprong -Het beginpunt van een spiraal. Ook bekend als de kern.
Spiraal van Archimedes -Een type kromme gedefinieerd door de relatie r = aq. Dit was de eerste spiraal die werd ontdekt.
Staart -Het deel van een spiraal dat zich van de oorsprong af kronkelt.
x-as. De vergelijking van een spiraal wordt meestal gegeven in termen van de poolcoördinaten. Het poolcoordinatenstelsel is een andere manier waarop punten op een grafiek kunnen worden gelokaliseerd. In het rechthoekige coördinatenstelsel wordt elk punt gedefinieerd door zijn x- en y-afstand tot de oorsprong. Bijvoorbeeld, het punt (4,3) ligt 4 eenheden verder op de x-as, en 3 eenheden verder op de y-as. In tegenstelling tot het rechthoekig coördinatenstelsel, gebruikt het poolcoordinatenstelsel de afstand en de hoek van een punt tot de oorsprong om zijn plaats te bepalen. De gebruikelijke notatie voor dit stelsel is (r,θ)waarbij r de lengte is van een straal getrokken vanuit de oorsprong naar het punt, en θ de hoek die deze straal maakt met de x-as. Deze straal wordt vaak vector genoemd.
Zoals alle andere meetkundige vormen heeft ook een spiraal bepaalde kenmerken die hem helpen definiëren. Het middelpunt, of beginpunt, van een spiraal wordt de oorsprong of kern genoemd. De lijn die van de kern weg kronkelt, wordt de staart genoemd. De meeste spiralen zijn ook oneindig, dat wil zeggen dat ze geen eindpunt hebben.
Soorten spiralen
Spiralen worden ingedeeld naar de wiskundige relatie tussen de lengte r van de straalvector, en de vectorhoek q, die met de positieve x-as wordt gemaakt. Enkele van de meest voorkomende zijn de spiraal van Archimedes, de logaritmische spiraal, de parabolische spiraal, en de hyperbolische spiraal.
De eenvoudigste van alle spiralen werd ontdekt door de oude Griekse wiskundige Archimedes van Syracuse (287-212 v.Chr.). De spiraal van Archimedes voldoet aan de vergelijking r = aθ, waarbij r en θ de poolcoördinaten zijn van het punt dat wordt uitgezet als de lengte van de straal a, gelijkmatig verandert. In dit geval is r evenredig met θ.
De logaritmische, of gelijkbenige spiraal werd voor het eerst voorgesteld door Rene Descartes (1596-1650) in 1638. Een andere wiskundige, Jakob Bernoulli (1654-1705), die belangrijke bijdragen heeft geleverd aan het onderwerp waarschijnlijkheid, wordt ook gecrediteerd voor het beschrijven van belangrijke aspecten van deze spiraal. Een logaritmische spiraal wordt gedefinieerd door de vergelijking r = eaθ, waarbij e de natuurlijke logaritmische constante is, r en θ de poolcoördinaten zijn, en a de lengte van de veranderende straal. Deze spiralen zijn vergelijkbaar met een cirkel omdat ze hun stralen onder een constante hoek kruisen. Maar in tegenstelling tot een cirkel is de hoek waaronder de punten de stralen kruisen geen rechte hoek. Ook verschillen deze spiralen van een cirkel doordat de lengte van de stralen toeneemt, terwijl bij een cirkel de lengte van de straal constant is. Voorbeelden van de logaritmische spiraal zijn overal in de natuur te vinden. De schelp van een Nautilus en de zaadpatronen van zonnebloempitten hebben beide de vorm van een logaritmische spiraal.
Een parabolische spiraal kan worden voorgesteld door de wiskundige vergelijking r2 = a2θ. Deze door Bonaventura Cavalieri (1598-1647) ontdekte spiraal creëert een kromme die algemeen bekend staat als een parabool. Een andere spiraal, de hyperbolische spiraal, voldoet aan de vergelijking r = a/θ.
Een ander type kromme dat lijkt op een spiraal is een helix. Een helix is als een spiraal in die zin dat het een kromme is die wordt gemaakt door rond een punt te draaien op een steeds grotere afstand. Maar in tegenstelling tot de tweedimensionale vlakke krommen van een spiraal, is een helix een driedimensionale ruimtekromme die op het oppervlak van een cilinder ligt. Haar punten zijn zodanig dat zij een constante hoek maakt met de doorsneden van de cilinder. Een voorbeeld van deze kromme is de schroefdraad van een bout.
Zie ook Logaritmen.