Inhoudsopgave
Het gebruik van de standaardafwijkingscalculator
De bovenstaande standaardafwijkingscalculator biedt een eenvoudige manier om de standaardafwijking van een reeks getallen te berekenen en te leren hoe u deze kunt vinden. Beter dan welke standaard calculator dan ook, biedt deze calculator een stap-voor-stap oplossing voor hoe je zelf het antwoord kunt vinden. Deze standaardafwijking calculator is een uitstekend leermiddel om je te helpen bij het vinden van de juiste antwoorden in je eigen werk. Als je ook het bereik van een gegevensverzameling moet vinden, raadpleeg dan de pagina Maateenheden van variabiliteit calculator. Die rekenmachine vindt alle drie maten van variabiliteit, het bereik, de variantie en de standaardafwijking, en toont je een stapsgewijze oplossing.
Wat is de standaardafwijking?
De definitie van de standaardafwijking is een maat voor de “spreiding” van de gegevenswaarden binnen de gegevensverzameling. De “spreiding” verwijst naar hoe dicht of ver weg de gegevenswaarden liggen in vergelijking met het gemiddelde van de gegevensverzameling. De variantie is het kwadraat van de standaardafwijking. Zowel de variantie als de standaardafwijking zijn maatstaven voor variabiliteit.
Deze standaardafwijking calculator geeft u niet alleen een antwoord op uw probleem, het leidt u ook door een stap-voor-stap oplossing.
Wat impliceert een grote standaardafwijking?
Volgens de definitie van standaardafwijking, meet het de spreiding van de gegevenswaarden ten opzichte van het gemiddelde. Als er een grote standaardafwijking is, dan is er een grote spreiding van de gegevenswaarden. Dit betekent dat de waarden verder van het gemiddelde af liggen. Dit impliceert een grote variabiliteit in de gegevensreeks. Als de standaardafwijking klein is, zijn de gegevenswaarden in een gegevensreeks minder verspreid van het gemiddelde. Dit impliceert minder variabiliteit en meer consistentie.
Voorstel dat u een examen aflegt en de standaardafwijking voor de klascijfers is 5,0. Op dit punt kunnen we niet echt zeggen of uw klas consistent presteerde of niet, omdat we niets hebben om het mee te vergelijken. Nu doet je vriend in een andere klas een examen en de standaardafwijking voor die klascijfers is 15,0. Als we de twee standaardafwijkingen vergelijken, is er meer consistentie en minder variatie in jouw klas.
Als u de standaardafwijking-calculator gebruikt om de standaardafwijkingen van twee verschillende gegevensverzamelingen te vinden, is de standaardafwijking die kleiner is, voor de gegevensverzameling die consistenter is, en de standaardafwijking die groter is, voor de gegevensverzameling die variabeler is.
Voorbeeld van inkomen – twee steden vergelijken
Voorstel dat u twee gegevensverzamelingen hebt die bestaan uit gezinsinkomen. De eerste gegevensverzameling bestaat uit de populatie van inkomens van gezinnen in stad ‘A’, en de tweede gegevensverzameling bestaat uit de populatie van inkomens van gezinnen in stad ‘B.’ Stad ‘A’ en stad ‘B’ hebben beide een gemiddeld gezinsinkomen van $65.000. Tot nu toe hebben we:
Stad A gemiddelde:
µ = 65.000
Stad B gemiddelde:
µ = 65.000
Als de standaardafwijking voor de gegevensverzameling van inkomens uit stad A $ 5.500 is.00 $ bedraagt, en de standaardafwijking voor de inkomensgegevens van stad B $ 2100,00 $ bedraagt, dan weten we dat de inkomens in stad A verder van het gemiddelde af liggen, terwijl de inkomens in stad B dichter bij het gemiddelde liggen, of er dichter bij geclusterd zijn. De inkomens in stad A hebben een grotere variabiliteit dan de inkomens in stad B.
Symbool voor de standaardafwijking
Het symbool voor de standaardafwijking van een gegevensverzameling die een steekproef weergeeft is s. Het symbool voor de standaardafwijking van een gegevensverzameling die een populatie weergeeft is σ (kleine letters Griekse sigma). We hebben de populatiegegevens voor zowel stad “A” als stad “B”. Daarom is het symbool voor de standaardafwijking voor beide:
Stad A standaardafwijking:
σ = $5.500
Stad B standaardafwijking:
σ = $2.100
Standaardafwijking voor geen variabiliteit
Een standaardafwijking is altijd een positief getal, of mogelijk 0. Stel dat in stad ‘C’ elk gezin hetzelfde inkomen heeft, $ 65.000 $. Hoewel dit realistisch gezien niet mogelijk is, zou dit wiskundig gezien betekenen dat het inkomen in stad ‘C’ $ 65.000 is, en de standaardafwijking 0. Een standaardafwijking van 0 geeft aan dat een gegevensreeks helemaal geen variabiliteit heeft, en dat elke gegevenswaarde in de gegevensreeks precies hetzelfde is.
Probeer het eens! Voer met de standaardafwijkingscalculator het volgende in:
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5
U zult zien dat de standaardafwijking wordt berekend op 0, en de stappen voor de oplossing laten u zien waarom deze 0 is.
Gebruikte eenheden voor de standaardafwijking
De eenheden voor de standaardafwijking zijn dezelfde als de eenheden voor de gegevenswaarden in de gegevensreeks. In ons voorbeeld hierboven zijn de gegevenswaarden in dollars, zodat de standaardafwijking in dollars is.
Wat is de variantie?
Verband met de standaardafwijking van een gegevensverzameling is de variantie van een gegevensverzameling. De variantie van een gegevensverzameling is het kwadraat van de standaardafwijking, en daarom zijn de eenheden voor de variantie het kwadraat van de eenheden van de standaardafwijking. Het symbool voor de steekproefvariantie is s2, en het symbool voor de populatievariantie is σ2. In ons voorbeeld hierboven zijn de varianties voor Stad A en Stad B:
Stad A variantie:
σ2 = 30.250.000 $2
Stad B variantie:
σ2 = 4.410.000 $2
Net zoals u handmatig zou doen, vindt de standaardafwijkingscalculator eerst de variantie en neemt dan de vierkantswortel om de standaardafwijking te vinden.
Toepassing van de standaardafwijking- en variantieformules
Nu u de definitie van de standaardafwijking kent, wilt u leren hoe u de standaardafwijking en variantie kunt berekenen? U kunt ofwel de standaardafwijking en variantie formules toepassen, of u kunt naar boven scrollen en de standaardafwijking calculator online gebruiken. In de onderstaande tutorial laat ik u zien hoe u de standaardafwijking en variantie met de hand kunt vinden met behulp van formules.
Wilt u weten hoe u de standaardafwijking of variantie van een gegevensverzameling handmatig kunt vinden? Dan zult u de variantie- en/of standaardafwijkingsformules moeten gebruiken. Deze formules kunnen er ingewikkeld uitzien, maar in kleine stappen is het berekeningsproces zeer beheersbaar. De formules gebruiken verschillende symbolen, afhankelijk van of de gegevensverzameling een populatie of een steekproef vertegenwoordigt.
Er zijn twee versies van de variantie- en standaardafwijkingsformules, de standaardformule en de rekenformule. Ik zal in dit artikel de rekenformule gebruiken. Deze is eenvoudiger met de hand te berekenen en heeft minder afrondingsfouten. Als je de standaardformule oplossing wilt zien, kan de Standaardafwijking Calculator hierboven je oplossingen laten zien met beide formules.
Bevolkingsvariantieformule en steekproefvariantieformule
| Bevolkingsvariantieformule | Bemonsteringsvariantieformule |
|---|---|
$ {\sigma^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{N}}{N}$Waarbij $\sigma^2$ het populatievariantiesymbool is, |
$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({sum}{x})^2}{n}{n-1}$Waarbij $s^2$ het steekproefvariantiesymbool is, |
Er is een heel eenvoudige stap tussen het verkrijgen van de variantie en vervolgens het verkrijgen van de standaardafwijking. Zodra u de variantie hebt, neemt u gewoon de vierkantswortel om de standaardafwijking te krijgen.
Vorming voor standaardafwijking van de bevolking en formule voor standaardafwijking van het monster
| Vorming voor standaardafwijking van de bevolking Formule | Vorming steekproefstandaardafwijking |
|---|---|
$$ {sigma}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{N}}{N}} $$Waarbij $\sigma$ het symbool voor de standaardafwijking van de populatie is, |
$$ {s}= \sqrt{\frac{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}{n – 1}} $$Waarbij $s$ het symbool voor de standaardafwijking van de steekproef is, |
Voorbeeld van hoe de standaardafwijking en variantie te vinden
Laten we eens doorlopen hoe we de standaardafwijking en variantie voor een kleine gegevensverzameling kunnen vinden, gegeven dat de gegevensverzameling een steekproef van de lichaamslengten van kinderen vertegenwoordigt. Nadat we de variantie hebben berekend, nemen we een kleine stap om de standaardafwijking te berekenen. We berekenen onze antwoorden door een reeks van 8 stappen te doorlopen.
Het probleem: Vind de variantie en standaardafwijking voor het volgende. Stel dat u een steekproef van 5 kinderen hebt en hun lengte is:
56 in, 49 in, 61 in, 60 in, 63 in
Stap 1 – Schrijf de formules voor steekproefvariantie en steekproefstandaardafwijking
Omdat in dit probleem staat dat de 5 waarden een steekproef vertegenwoordigen, zullen we de formules voor steekproefvariantie en steekproefstandaardafwijking gebruiken. Begin eerst met het schrijven van de formules voor de steekproefvariantie en de steekproefstandaardafwijking:
$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({sum}{x})^2}{n}{n-1}$$
$ {s}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({sum}{x})^2}{n}{n – 1}} $
Stap 2 – Maak een tabel voor alle waarden van $ x $ en $x^2$
Teken vervolgens een tabel met 2 kolommen en 5 rijen voor elke gegevenswaarde, en een header-rij. Label de header rij met $ x $ en $ x ^ 2 $. Zet nu elk van de datawaarden in de kolom $ x $. Elke datawaarde heeft zijn eigen rij. Ruit elke waarde van x in de eerste kolom, en zet deze waarden in de tweede kolom.
$x$ |
$x^2$ |
| 56 | 3136 |
| 49 | 2401 |
| 61 | 3721 |
| 60 | 3600 |
| 63 | 3969 |
Stap 3 – Tel alle waarden in de eerste kolom bij elkaar op
Nadat de tabel en kolommen zijn aangemaakt, neem je de som van alle waarden in de eerste kolom. Dit wordt gesymboliseerd als $ \sum{x} $.
$$ \sum{x} = 56+49+61+60+63 $$
$$ \sum{x} = 289 $$
Step 4 – Kwadrateren en delen
Nu neemt u het antwoord van stap 3, 289, en kwadrateert het. Deel vervolgens door de grootte van de steekproef.
$$ \frac{(\sum{x})^2}{n} = \frac{83521}{5} = 16704.2 $$
Stap 5 – Tel alle waarden in de tweede kolom bij elkaar op
Naar aanleiding hiervan neemt u de som van alle waarden in de tweede kolom. Dit wordt gesymboliseerd als $ \sum{x^2} $.
$$ \sum{x^2} = 3136+2401+3721+3600+3969$$
$$ \sum{x^2} = 16827 $$
Stap 6 – Aftrekken $ \sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n} $
In deze stap, neem je het antwoord van stap 5 en trekt het af van het antwoord van stap 4.
$$\sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n}$
$$ 16827 – 16704.2 = 122.8 $$
Stap 7 – Deel en verkrijg de variantie
Hier neemt u het antwoord van stap 6 en deelt dit door $n – 1$, één minder dan de steekproefgrootte. Dat is de variantie!
$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({sum}{x})^2}{n}{n-1}
= \frac{ 122.8 }{4} = 30.7 $$
Stap 8 – Hoe vindt u de standaardafwijking van de variantie
Tot slot, om de standaardafwijking te vinden, neemt u de vierkantswortel van het antwoord voor de variantie uit stap 7. Hier rond ik het antwoord af op 4 decimalen.
$$ s = \sqrt{30,7} = 5,5408 $$
Omdat onze gegevens aanvankelijk in eenheden van inches zijn, is de standaardafwijking 5,5408 inches.
Dat is het! Niet zo slecht, hè? Het is een goed idee om de standaardafwijking calculator hierboven te gebruiken om je te helpen bij het oplossen van meer problemen. Probeer de oplossingen zelf handmatig uit te werken en controleer je werk met de uitgewerkte oplossing van de rekenmachine. Je hebt het voor elkaar!