Deel 1: Delen door steeds kleinere getallen
door een wiskundeleraar op de middelbare school
Voorstel dat je een pizza hebt. Een lekkere op houtskool gebakken pizza uit New Haven, of een ovenhete diepgevroren pizza uit Chicago, of zelfs een van die organische artisanale taarten uit San Francisco die op de een of andere manier artisjokharten op een pizza lijken te doen thuishoren. En, gulle ziel die je bent, je hebt besloten om te delen.
Hoeveel mensen kun je voeden als iedereen de helft van een pizza krijgt (een stevige portie)?
Wel, het is 1 pizza ÷ ½ pizza per persoon = 2 personen.
En hoeveel kun je voeden als iedereen 1/10 van een pizza krijgt (een kazig hapje)?
1 pizza ÷ 0,1 pizza per persoon = 10 personen.
En hoeveel als iedereen 1/100 van een pizza krijgt (een hapklare hap)?
1 pizza ÷ 0,01 pizza per persoon = 100 mensen.
En hoeveel kun je voeden als iedereen 1/1000 van een pizza krijgt (een kruimel met een dotje saus)?
1 pizza ÷ 0,001 pizza’s per persoon = 1000 mensen.
Hoe kleiner het stuk dat je aan elke persoon geeft, hoe meer mensen je kunt voeden. Of, abstracter: hoe kleiner het getal waar je door deelt, hoe groter het resultaat.
Nu, ga nog een stapje verder: Wat als elke persoon 0% van een pizza krijgt?
1 pizza ÷ 0 pizza’s per persoon = ??
Hoeveel mensen kun je voeden? Nou, er is geen limiet, omdat je ze eigenlijk niets te eten geeft. Als er zeven miljard mensen op aarde voor je deur staan en vragen om hun deel van de pizza, kun je zeggen: “Geen probleem!”, want “hun deel van de pizza” stelt helemaal niets voor. Voeg er nog eens zeven miljard aan toe, en je zou hetzelfde zeggen. Hoeveel mensen kun je voeden? Er is geen antwoord.
Wanneer je een getal deelt door 0, is er geen eenduidig antwoord. Delen is iets verdelen in stapels van een bepaalde grootte. En iets verdelen in stapels van grootte nul heeft gewoon geen zin.
Deel 2: “Het omgekeerde van vermenigvuldigen”
door een wiskundepromovendus
Tijdens de afwas vroeg ik mijn verloofde waarom je niet door nul kunt delen. Haar antwoord was bondiger dan het mijne. (Ter verdediging: ik doe de afwas schoner dan zij.)
Wanneer je deelt door een getal – laten we zeggen 4 – vraag je: “Hoeveel keer kan 4 in het getal?” Dus:
Maar als je door 0 deelt, vraag je: “Hoeveel keer kan 0 in het getal?” En het maakt niet uit hoeveel nullen je toevoegt, 0 + 0 + 0 + 0 … zal nooit gelijk zijn aan 12. Dus 12 ÷ 0 is niet gedefinieerd.
Deel 3: “Omgekeerde vermenigvuldiging” Redux
door een wiskundespecialist op basisschoolniveau
Ik heb deze twee verklaringen vervolgens voorgelegd aan mijn zus Jenna, een wiskundespecialist voor de achtste en achtste klas. Zij vond Taryns antwoord goed, en gaf haar eigen nog beknoptere versie.
Deling is het omgekeerde van vermenigvuldiging. Dus als je 12 deelt door 4, zeg je: “Hoeveel keer 4 geeft je 12?”
Delen door nul is dus hetzelfde als vragen: “Hoeveel keer 0 geeft je 12?” Er is natuurlijk geen antwoord, want elk veelvoud van 0 is 0.
Deel 4: Alles bij elkaar
door een professor (mijn vader)
Tijdens een diner met mijn vader James (een professor in Operations Research) vroeg ik hem uit te leggen waarom je niet door nul kunt delen. Hij gaf een uitleg die aardig overeenkwam met de mijne, en vatte toen de relatieve verdiensten van de twee benaderingen heel mooi samen.
De Taryn/Jenna-uitleg, zei hij, snijdt de kern van de zaak aan, en zal een breder (en jonger) publiek tevreden stellen. Het begint met te zeggen, “Nou, hier is wat deling is,” en dan te laten zien dat het concept geen zin heeft wanneer het wordt toegepast op nul.
De Ben/James uitleg, ondertussen, is waardevol omdat het niet afsnijdt naar de achtervolging. Ze verbindt de vraag “Kun je door nul delen?” met andere ideeën (limieten en asymptotisch gedrag), en raakt meer aan de conceptuele kern van het probleem.
Hoe dan ook. Vier wiskundeprofessionals, twee basisuitleg, en nog een blog die zijn stem toevoegt aan het lawaai van antwoorden over dit onderwerp.