Zwemmen van peritrichous bacteriën wordt mogelijk gemaakt door een elastohydrodynamische instabiliteit

Modellering van multi-flagellated bacteriën

We beginnen met het bouwen van een computationeel model van de voortbeweging van een peritrichous bacterie, zoals geschetst in de Methodes sectie met wiskundige details in de aanvullende informatie. We beschouwen een bacterie voortbewogen door Nf flagella (Fig. 2A) met een cellichaam in de vorm van een prolate ellipsoïde. Elk flagellum bestaat uit: (i) een roterende motor die een vaste rotatiesnelheid genereert om de as van het flagellaire filament; (ii) een korte flexibele haak behandeld als een torsieveer om de motoras waarvan de hydrodynamica kan worden verwaarloosd17; (iii) een spiraalvormig flagellair filament van de normale linkshandige polymere vorm waarvan de hydrodynamica wordt vastgelegd met slank-lichaam theorie24. Motor en filament parameters worden gekozen om die van E. coli bacteriën 7 (Tabel S1 in aanvullende informatie) overeenkomen. Elke spiraalvormige filament heeft een taps toelopend einde, zodat de helix straal is nul op zijn bevestigingspunt aan de motor 25. Flagellaire filamenten kunnen draaien, maar niet vertalen ten opzichte van hun aanhechtingspunt op het cellichaam en terwijl de rotatie om de helix-as wordt opgelegd door de motor, worden alle verdere rotaties ten opzichte van het lichaam opgelost voor. We verwaarlozen hydrodynamische interacties tussen het cellichaam en de flagellaire filamenten, maar nemen sterische interacties mee om te voorkomen dat filamenten het lichaam binnendringen. Voor elke haak gebruiken we θ om de hoek aan te geven tussen de loodlijn op het cellichaam op de plaats van de motor en de as van het flagellaire filament (d.w.z. wanneer θ = 0 ligt het filament loodrecht op het cellichaam). Het herstellend elastisch moment dat door elke motor aan zijn flagellaire filament wordt opgelegd, wordt gemodelleerd als een torsieveer met veerconstante (K=EI/{ell }_{h}), waarbij EI en {ell }_{h}) respectievelijk de buigstijfheid en de lengte van de haak zijn16. De grootte van het terugstelmoment wordt dus gegeven door K|θ| en de elasticiteit van de haak zorgt ervoor dat de as van de helix uitgelijnd wordt met de loodlijn op het cellichaam. In het computermodel worden de momentane posities van de flagellaire filamenten en de zwemsnelheid, Ub, en de hoeksnelheid, Ωb, van het cellichaam opgelost als functie van de haakstijfheid.

(A) Computermodel van een peritrare bacterie die Nf spiraalvormige filamenten (straal Rh; steekhoek β) in werking stelt door ze met voorgeschreven hoeksnelheid om hun as te draaien \(\hat{{\bf{k}}}). De flexibele haak werkt elastisch om de as van de helix uit te lijnen met de normaal \(\hat{{\bf{N}}}) op het cellichaam. (B) Vereenvoudigd model om de elastohydrodynamische instabiliteit weer te geven. Twee rechte actieve filamenten met een lengte van \(\ell \) die aan weerszijden van een bolvormig lichaam met een straal van \(a\) zijn bevestigd, zijn gekanteld onder een hoek ±θ weg van de normaal van het celoppervlak, \(\hat{\bf{N}}}), en werken in op de cel met een tangentiële kracht \(f\ell \hat{\bf{t}}}}) die resulteert in het zwemmen van de modelbacterie met een snelheid van \(U\hat{\bf{y}}}}).

Zwembacteriën met flexibele haken ondergaan een zweminstabiliteit

Bekijking van de resultaten van ons rekenmodel brengt een opmerkelijke elastohydrodynamische instabiliteit aan het licht, geïllustreerd in fig. 3 in het geval van Nf = 4 flagella, het gemiddelde aantal flagella op een E. coli cel6. De motoren zijn symmetrisch gepositioneerd rond het oppervlak van het cellichaam. We beginnen de berekeningen met elk flagellaire filament gekanteld onder een kleine hoek ten opzichte van de normaal op het oppervlak en marcheren het systeem vooruit in de tijd terwijl we de positie van de cel in het laboratoriumframe en van de flagellaire filamenten ten opzichte van het cellichaam volgen. Bijbehorende filmpjes zijn online beschikbaar (zie aanvullende informatie).

Zwembeweging voor een bacterie die zwemt met Nf = 4 flagella met een flexibele vs. stijve haak. (A) Beginpositie en conformatie van elke cel. (B) Duwcel met flexibele haak op t = 200 (tijd geschaald door rotatiesnelheid van flagella). (C) Duwcel met stijve haak op t = 200. (D) Afstand afgelegd door elke zwemmer (niet gedimensionaliseerd door de steek van de spiraalvormige filamenten) als functie van de tijd voor vier verschillende zwemmers: stijve (ruiten) vs flexibele haak (vierkantjes) en duwboot (gevulde symbolen) vs trekker (leeg).

In Fig. 3A-C illustreren we het traject van een duwende bacterie (d.w.z. een cel met flagellaire filamenten die normaal linksom draaien) met twee verschillende haakstijfheden over een tijdschaal t = 200 (tijd niet gedimensionaliseerd door de rotatiesnelheid van de flagella). Terwijl beiden op dezelfde plaats starten (A), eindigt de cel met de flexibele haak (K = 0,1) met al zijn flagellaire filamenten in de rug gewikkeld en is in staat om vijf keer zo snel te zwemmen (B) als de cel met de stijve haak (K = 100) waarvan de flagellaire filamenten in dezelfde gespreide configuratie zijn gebleven (C). Dit wordt gekwantificeerd in Fig. 3D waar we de netto afgelegde afstand uitzetten als functie van de tijd (geschaald met de helling van de helix). De cel met de flexibele haak (vierkant gevuld) zwemt consequent sneller dan de stijve cel (ruit gevuld). Als we de draairichting van de flagellen omkeren zodat ze met de klok mee (CW) draaien, wordt de cel een trekker en gaat noch bij een flexibele haak (lege vierkantjes) noch bij een stijve (lege ruitjes) over tot snelzwemmen. Merk op dat de twee stijve gevallen (duwers en trekkers; diamanten) hebben identieke zwemmen omvang, een gevolg van de kinematica omkeerbaarheid van Stokes stromen5. Belangrijk is dat de overgang naar snel zwemmen voor flexibele duwbacteriën niet soepel verloopt met veranderingen in de haakstijfheid, maar in plaats daarvan plaatsvindt bij een kritische dimensieloze waarde van Kc ≈ 1 (niet-gedimensionaliseerd met behulp van de viscositeit van de vloeistof, de steek van de spiraalvormige vezel en de rotatiefrequentie). Boven Kc blijven alle flagellen normaal ten opzichte van de cel (θ ≈ 0), hetgeen leidt tot verwaarloosbaar zwemmen, terwijl onder Kc alle flagellen zich achter de cel wikkelen (|θ| ≈ π/2), hetgeen leidt tot een netto voortbeweging.

Deze scherpe overgang is niet het gevolg van een knikinstabiliteit van de haak, die hier alleen op het niveau van een torsieveer16 wordt gemodelleerd. In plaats daarvan ontstaat de instabiliteit door de koppeling in twee richtingen tussen de conformatie van de flagella en de voortbeweging van de cel. Om de fysica van deze instabiliteit te ontrafelen, beschouwen we in meer detail het geval van een bolvormig cellichaam en twee flagellen, wat de minimale configuratie is die in staat is om de instabiliteit te tonen en toch dezelfde fysica weer te geven als geometrisch-complexe gevallen (zie bijbehorende filmpjes in aanvullende informatie). De stationaire rekenresultaten in dit geval worden getoond in het hoofdgedeelte van Fig. 4 (symbolen en dunne lijnen) voor de hoek θ tussen de as van de flagellaire filamenten en het cellichaam (A) en voor de netto lab-frame zwemsnelheid U van de cel (B). Terwijl de flagellaconformatie van trekkende bacteriën onafhankelijk is van de haakstijfheid en tot nulzwemmen leidt (lichtrode cirkels), vertonen duwende cellen duidelijk een plotselinge sprong naar een gewikkelde conformatie en een netto locomotie voor een haakstijfheid onder Kc ≈ 0.79 (donkerblauwe cirkels).

Steady-state flagella kantelhoeken (|θ|, A) en lab-frame zwemsnelheden (U, B) voor het volledige computationele model van Fig. 2A met twee flagellen (symbolen en dunne lijnen) en voor het eenvoudige actieve filamentmodel van Fig. 2B (dikke lijnen) als functie van de dimensieloze haakveerconstante, K. Groene lijn en lichtrode symbolen: trekkerbacterie waarvoor de niet-zwemtoestand altijd stabiel is; Donkerrode lijn en donkerblauwe symbolen: trekkerbacterie die een overgang naar zwemmen ondergaat voor K < Kc. De stippellijn toont de theoretisch voorspelde kritische veerconstante, Kc ≈ 0,53.

Analytisch model van de elastohydrodynamische instabiliteit

De waargenomen dynamiek kan worden gevat door een analytisch model dat aantoont dat zwemmen optreedt als gevolg van een lineaire elastohydrodynamische instabiliteit. Beschouw het eenvoudige geometrische model in fig. 2. Twee rechte actieve filamenten met een lengte van \(\ell \) zijn symmetrisch bevestigd aan weerszijden van een bolvormig cellichaam met straal a en zijn gekanteld onder symmetrische hoeken ±θ weg van de lichaamsoppervlaknormaal, \(\hat{{\bf{N}}}) (merk op dat de asymmetrische kantelmodus, hier buiten beschouwing gelaten, zou leiden tot een overgang in rotatie in plaats van translatie). Elk filament, elastisch bevestigd aan het cellichaam via een haak gemodelleerd als een torsieveer met stijfheid K, duwt op de cel langs hun tangentiële richting met voortstuwingskrachtdichtheid \(f\hat{{\bf{t}}}) wat resulteert in het zwemmen van de bacterie met snelheid \(U\hat{{\bf{y}}}}) (zie Fig. 2 voor alle notatie). Bij een linksdraaiende beweging wijzen de voortstuwingskrachten naar het cellichaam (f < 0) en is de cel een duwboot. Bij een rechtsdraaiende beweging daarentegen wijzen de voortstuwingskrachten van de cel af (f > 0) en is de zwemmer een trekker.

De zwemsnelheid (U) en de veranderingssnelheid van de conformatie van de filamenten (¹(\theta}) kunnen worden verkregen door kracht- en momentenevenwicht af te dwingen. Door c|| en c⊥ te gebruiken om de weerstandscoëfficiënten aan te duiden voor een slank filament dat respectievelijk evenwijdig en loodrecht op zijn raaklijn beweegt (zie aanvullend materiaal), kan het krachtenevenwicht op de hele cel in de zwemrichting als volgt worden berekend \geschreven als

waarbij de eerste term het hydrodynamisch moment is ten gevolge van de rotatie van de gloeidraad, de tweede term het hydrodynamisch moment ten gevolge van de zwemweerstand en de laatste term het elastisch herstelmoment van de haak is dat werkt om de gloeidraad terug te brengen in zijn rechte configuratie. Combinatie van de vergelijkingen (1) en (2) leidt tot een evolutievergelijking voor θ

Wanneer het elastisch moment overheerst, is de rechte configuratie θ = 0 de enige stationaire toestand, die gepaard gaat met niet zwemmen. Als het elastisch moment daarentegen verwaarloosbaar is, worden de zwemtoestanden met θ = ±π/2 mogelijke evenwichtstoestanden.

Om te onderzoeken hoe een variatie van de haakstijfheid de overgang van de ene toestand naar de volgende mogelijk maakt, lossen we Eq. (3) numeriek op met de juiste waarden van de flagellaire filamenten voor een wilde type zwemmende E. coli cel en met behulp van de grootte van f die leidt tot overeenstemming met de volledige berekeningen bij nul haakstijfheid (zie aanvullend materiaal). We beginnen met kleine verstoringen rond θ = 0 en berekenen de lange-tijd stationaire toestand van Eq. (3), met resultaten geïllustreerd in Fig. 4 voor zowel de duwboot (donkerrode lijn) als de trekker (groene lijn). Trekkende cellen zwemmen nooit voor welke waarde van de haakstijfheid dan ook, en de rechte configuratie θ = 0 is altijd stabiel. Duwers daarentegen kunnen niet zwemmen voor haken die stijver zijn dan een kritische waarde, maar ondergaan een plotselinge overgang naar direct zwemmen voor zachtere haken, in uitstekende overeenkomst met de berekeningen van het volledige twee-flagella geval (symbolen in Fig. 4).

De plotselinge overgang naar zwemmen voor een kritische haakstijfheid kan analytisch worden voorspeld door Eq. (3) nabij het evenwicht bij θ = 0, wat leidt tot

Als f positief is (puller) dan is de configuratie met θ = 0, die gepaard gaat met geen zwemmen U = 0, altijd lineair stabiel voor kleine verstoringen voor elke waarde van K. Daarentegen zijn duwers met f < 0 lineair onstabiel voor K < Kc zodanig dat het rechterlid van Eq. (4) positief wordt, d.w.z. \({K}_{c}=-\,f{c}_{\perp }{\ell }^{3}/(2{c}_{\perp }{\ell +6\pi \mu a)\). Een lineaire elastohydrodynamische instabiliteit laat dus toe dat duwbacteriën met voldoende flexibele haken dynamisch overgaan naar een asymmetrische conformatie (θ ≠ 0) met netto zwemmen (U ≠ 0). Merk op dat het eenvoudige theoretische model (lineaire stabiliteit en numerieke oplossing van Eq. 3) een kritische dimensieloze stijfheid voorspelt van Kc ≈ 0,53, in overeenstemming met de berekeningen voor het volledige bacteriemodel, Kc ≈ 0,79.