Geometria: Linie i Kąty

Linie i kąty tworzą prawie wszystkie kształty geometryczne. Więc zanurzmy się w geometrii, omawiając te bardzo podstawowe elementy kształtów.

Teraz możemy zacząć mówić o Geometrii. I Geometria oczywiście, jest badanie kształtów. Teraz dla niektórych ludzi, którzy są wizualnie zorientowane, Geometria przychodzi bardzo naturalnie. A innym ludziom, którzy nie rozwinęli swoich umiejętności wizualnych, Geometria może być trochę trudniejsza.

Szczególnie dla ludzi, dla których Geometria jest trochę trudniejsza, oto co powiem.

Nie wystarczy po prostu obejrzeć te filmy. Po ich obejrzeniu, wyciągnij papier i linijkę i narysuj te różne kształty, faktycznie fizycznie narysuj je na papierze. I budujcie kształty i obiekty fizyczne. Możesz użyć ołówków, wykałaczek, słomek, czegokolwiek w tym stylu. Właściwie budujcie trójkąty, budujcie prostokąty, właściwie patrzcie na nie.

Use Your Hands!

Używaj swoich rąk, nasze ręce są właściwie częścią naszej inteligencji. Używając rąk, angażujesz każdą część mózgu. To sprawi, że będzie o wiele łatwiej, zrozumieć te wszystkie zależności.

Więc zacznijmy od linii. Linie są proste i ciągną się w nieskończoność w obu kierunkach. Tutaj mamy kilka różnych linii prostych, w wielu różnych kierunkach. Musisz sobie wyobrazić, że na końcu każdej linii są jakieś strzałki lub coś w tym stylu. To wskazuje, że linie rzeczywiście iść na zawsze w obu kierunkach.

Linie i kąty: All Lines Are Straight

To jest bardzo ważne, aby nie mylić prostej z poziomą. Te dwa słowa mają bardzo różne znaczenia, ale czasami zdarzają się uczniowie, którzy je mylą. Wszystkie linie są proste. Więc wszystkie linie, które mieliśmy na poprzednim slajdzie, linie idące w różnych kierunkach, wszystkie one są liniami prostymi.

I zawsze możesz założyć, że linia jest prosta na teście. Jeśli wygląda na prostą, to jest prosta. To jest zawsze prawda na teście. Ale niektóre linie są rysowane poziomo dla wygody. Jednakże, nigdy nie można zakładać, że linie są dokładnie poziome lub pionowe tylko dlatego, że tak wyglądają. Teraz ludzie są naprawdę zdezorientowani w tej kwestii. Jesteś zdezorientowany, jeśli myślisz, że poziomy i prosty oznaczają to samo.

Mówimy więc, że można założyć na podstawie testu, że linie są proste. Ludzie błędnie zakładają, że oznacza to również, że mogą założyć, że linie są poziome, a to nie jest poprawne. Odcinek linii jest skończonym fragmentem linii.

Przykład

Więc na przykład, tutaj mamy odcinek linii, ma on dwa punkty końcowe. A kiedy te punkty końcowe są oznaczone, to ułatwia to dyskusję.

To jest odcinek linii AB. I dla celów testu, AB może albo oznaczać rzeczywisty kształt samego odcinka linii. Albo może oznaczać długość odcinka linii, długość liczbową. Kąt występuje między dwiema liniami lub dwoma odcinkami. Na przykład, tutaj mamy kąt.

Linie i kąty: Understanding Angles

This happens to be between one line and one segment. Najlepszym sposobem na zrozumienie kąta jest myślenie o nim dynamicznie, jako o akcie obracania się lub rotacji. Innymi słowy, przechodzenie z tego miejsca do tego. To właśnie jest kąt, to ta dynamiczna przestrzeń pomiędzy dwiema liniami. Jeśli oznaczymy punkty, możemy mówić o kącie.

Oznaczanie Kątów

Możemy nazwać ten kąt albo CDE albo EDC, Punkt D, wierzchołek kąta. Właśnie tutaj, punkt kąta musi być w środku nazwy. I tak, możemy nazwać albo CDE albo EDC, tak długo jak wierzchołek jest w środku. Czasami w tych filmach będę też używał nazwy pojedynczego kąta, jeśli nie ma niejasności. Na przykład, w tym diagramie jest tylko jeden kąt.

Mógłbym więc nazwać go kątem D. Teoretycznie mogłoby się to zdarzyć na teście. Chociaż test jest często na tyle ostrożny, że zawsze używa trzyliterowej nazwy dla kąta. Wielkość kąta mierzymy w stopniach. Test może je podać bezpośrednio, więc 50 stopni.

Alternatywnie, test może oznaczyć diagram i podać miarę kąta w tekście. Więc kąt GFH = 50 stopni, ponieważ umieścili litery na punktach w diagramie. Możemy po prostu użyć tego, aby porozmawiać o tej miarze, w liczbie stopni w tekście. Właściwie, prawdopodobnie jest to ulubiona rzecz do zrobienia jest następujące po prostu określić kąt, ze zmienną liczbą stopni.

Flexible Format of Testing

Ten elastyczny format pozwala im albo określić kąt, dla w tekście, mogliby powiedzieć x = 50, albo mogliby zadać pytanie o to. Mogliby podać nam inne informacje i powiedzieć znajdź x. Więc chcieliby to zrobić. Zrobimy szybki przegląd podstawowych faktów dotyczących stopni. W kącie prostym jest 180 stopni i oczywiście pamiętaj, że linia prosta może iść w dowolnym kierunku.

Ale jeśli jest jakikolwiek punkt na linii prostej, przez całą drogę od jednej strony linii do drugiej. To jest 180 stopni, w kącie prostym jest 90 stopni. Więc tutaj mamy dwie linie przecinające się pod kątem prostym. W rzeczywistości na tym przecięciu są cztery kąty proste. Jeśli dwie linie lub odcinki spotykają się pod kątem prostym, nazywa się je prostopadłymi, to jest termin, który powinieneś znać.

Linie prostopadłe i kąty proste

Test może albo narysować ten mały kwadrat, znak prostopadłości, który jest tym małym kwadratem, albo może wskazać, że kąt wynosi 90 stopni. Może oznaczyć 90 stopni na diagramie lub X stopni i powiedzieć nam w tekście, że X równa się 90. Istnieje wiele sposobów, aby powiedzieć nam, że jest to kąt 90 stopni. Nie zakładaj, że dwie linie są prostopadłe, jeśli nie powiedziano ci tego wprost, często jest to pułapka.

Załóżmy, że te punkty pojawiają się jako część większego diagramu i nie są podane żadne dalsze informacje. Z pewnością wygląda na to, że te punkty mogą być pod kątem prostym, a to jest bardzo kusząca rzecz do założenia. Test chciałby, żebyś popełnił błąd, zakładając, że linie są prostopadłe i że kąt jest równy dokładnie 90 stopni.

W rzeczywistości tak nie jest, narysowałem to tak, że ten kąt ma 89,6 stopnia. Tak więc, jest on bliski bycia kątem prostym, i może wyglądać jak kąt prosty gołym okiem. Ale żadna ze specjalnych własności kąta prostego nie jest prawdziwa.

A w nadchodzących filmach, będziemy mówić więcej o specjalnych właściwościach kąta prostego. Żadna ze specjalnych własności kąta prostego nie jest prawdziwa, jeśli kąt jest bliski 90, ale nie dokładnie 90.

Bardzo ważne, więc nie możesz założyć, że dwie linie są prostopadłe, chyba że masz jakieś uzasadnienie, aby to zrobić.

Linie i kąty: Congruent Shapes

Jednym z pojęć, które wprowadzę, a które prawdopodobnie nie pojawi się na teście, jest congruent. Kongruentny jest jak równy, dla kształtów. Używamy pojęcia „równy” dla liczby i bardzo podobnego pojęcia „przystający” dla kształtów.

Dwa kształty są przystające jeśli mają ten sam kształt i ten sam rozmiar.

Nie muszą mieć tej samej orientacji. Więc na przykład, fioletowy i zielony kształt tutaj są przystające, jeden jest odwrócony od drugiego. Można powiedzieć, że jeden z nich jest praworęczny, a drugi jest leworęczny, ale zasadniczo jest to ten sam kształt.

Te dwa są przystające, nawet jeśli mają różne orientacje.

Bisectors

Sieczna przecina coś na dwie przystające części. Dwusieczna kąta tnie kąt na dwa mniejsze przystające kąty. Więc na przykład tutaj mamy dwusieczną kąta. Jeśli powiedziano nam, na przykład, że duży kąt PNM ma 40 stopni i że NQ przecina ten kąt, to możemy wywnioskować, że dwa mniejsze kąty muszą mieć po 20 stopni.

Każdy z nich musi być dokładnie w połowie równy sobie, ponieważ kąt został podzielony na dwusieczne. Podobnie, dwusieczną odcinka może być punkt, inny odcinek lub prosta. Dwusieczna dzieli odcinek na dwie równe połowy. Zauważmy, że odcinek ST przecina odcinek PQ. Zauważ też, że to na pewno prawda, że PQ nie jest dwusieczną odcinka ST, bo SR jest wyraźnie większy od RT.

Więc fakt, że ST przecina PQ oznacza, że R jest środkiem PQ, i że PR = RQ. Podzieliliśmy go na dwie równe połowy, i znowu, to jest zawsze to, co oznacza dwusieczna. Czasami prosta jest dwusieczną odcinka i jednocześnie jest do niego prostopadła. Linia ta jest nazywana dwusieczną prostopadłą odcinka.

Linia VW jest prostopadła, jest to symetralna odcinka TU. Każdy punkt na symetralnej odcinka jest jednakowo odległy od dwóch punktów końcowych odcinka. Jest to bardzo przydatny fakt, który można wykorzystać na wiele sposobów. Symetralna odcinka to zbiór wszystkich możliwych punktów, które są jednakowo odległe od dwóch punktów końcowych odcinka.

Linie i kąty: Let’s Look at Angles

Teraz kilka podstawowych faktów o kątach. Powiedzieliśmy już, że linia prosta zawiera 180 stopni. Oznacza to, że jeśli dwa lub więcej kątów leży w linii prostej, to suma ich kątów wynosi 180 stopni. Więc na przykład możemy założyć, że ta długa linia jest prosta. Nie ma ona jakiegoś lekkiego zagięcia w tym punkcie.

Test nam tego nie zrobi, jeśli wygląda na prostą, to jest prosta. I dlatego wiemy, że te dwa kąty razem tworzą 180. Więc, x + y = 180. Jeżeli te dwa kąty sumują się do 180, to nazywamy je uzupełniającymi. Dwa kąty na linii prostej są zawsze uzupełniające. Zatem p + q = 180.

When Two Lines Cross

Gdy dwie linie się przecinają, powstają cztery kąty. Więc tutaj mamy dwie linie, które idą na zawsze w obu kierunkach, muszą się przeciąć, a te cztery kąty są tworzone. Pary kątów naprzeciwko siebie, dzielące tylko wierzchołek we wspólnym, nazywane są kątami pionowymi, a kąty pionowe są zawsze przystające. Więc na przykład, A i C, nie mają żadnych wspólnych boków.

Wszystko co a i c mają wspólnego to to, że dotykają się w jednym wierzchołku. Dotykają się w tym wierzchołku, b i d również dotykają się w tym wierzchołku. I dlatego nazywamy je kątami pionowymi, ponieważ spotykają się w wierzchołku. Wiemy więc, że kąty pionowe są przystające, wiemy, że a = c, i b = d. Oczywiście pary kątów obok siebie, a + b, b + c, wszystkie te kąty są uzupełniające.

Wszystkie one sumują się do 180 stopni, ponieważ mamy pary kątów na prostej. Dlatego, jeśli otrzymaliśmy jeden kąt w tym diagramie, możemy znaleźć pozostałe trzy. Na przykład, jeśli a = 35, to wiemy, że c musi być równe. To również musi być 35 stopni. A b i d muszą być kątami uzupełniającymi o mierze 145 stopni. Tak, że dowolne dwie pary razem, dowolne dwa kąty razem w parze, sumują się do 180 stopni.

Linie i kąty: Practice Problem One

Tutaj jest problem ćwiczeniowy, wstrzymaj wideo i wtedy porozmawiamy o tym.

Okay Na rysunku x = 40 stopni i RT przecina duży kąt SRU , który jest bardzo dużym kątem. SRU jest kątem uzupełniającym do kąta 40 stopni, więc SRU musi być równe 180 minus 40, czyli 140. Więc SRU wynosi 140.

A ten kąt jest dwusieczną, ponieważ jest on podzielony na dwie równe połowy. Więc są dwie połówki, każda z nich musi mieć 70 stopni. SRT = 70 stopni, TRU = 70 stopni. To są dwie równe połówki kąta, który został przecięty. Teraz zauważ, że kąt TRV jest utworzony z TRU i kąta x, który znamy.

Wiemy, że TRU ma 70 stopni, wiemy, że kąt X ma 40 stopni, więc dodajemy je do siebie. TRV musi być kątem o mierze 110 stopni. Teraz zauważ, że TRV jest kątem pionowym SRW, więc te dwa kąty muszą być równe. Oznacza to, że SRW również musi być kątem 110 stopni, więc Y równa się 110. Na koniec zajmiemy się prostymi równoległymi.

Linie i kąty: Parallel Lines

Jeśli dwie proste są równoległe, to nigdy się nie przecinają i zawsze są dokładnie w tej samej odległości od siebie. I znowu, jest to kolejna z tych właściwości, jak prostopadłe, bliskie równoległym, nie liczy się dla fasoli. Musisz wiedzieć, że te dwie proste są dokładnie równoległe. Oczywiście, ponieważ linie równoległe nigdy się nie przecinają, nigdy nie tworzą ze sobą kątów.

Linie poprzeczne

Mamy wiele kątów chociaż, jeśli trzecia nie-równoległa linia przecina dwie linie równoległe. Ta trzecia linia jest nazywana poprzeczną. Poprzeczna to linia, która przecina dwie linie równoległe. Mamy więc tu poprzeczną przecinającą proste równoległe WX i YZ. I mamy tam osiem aniołów.

Teraz wszystkie cztery duże anioły są równe. I cztery małe anioły są równe. Więc w innych słowach a = d = e = h i b = c = f = g, to jest wielki pomysł. Teraz wśród nich, oczywiście możesz pamiętać z geometrii, są wszystkie rodzaje specjalnych nazw.

Alternatywny wewnętrzny i ten sam bok zewnętrzny i odpowiednie kąty. Jeśli chcesz zapamiętać wszystkie te specjalne nazwy, to świetnie, nie musisz tego robić. Wszystko co musisz zapamiętać to to, że wszystkie duże kąty są równe, wszystkie małe kąty są równe. Więc tutaj jest diagram ponownie, a teraz oznaczyłem go tak, że jest jasne, że wszystko jest równe.

Linie i Kąty: Supplementary Angles

Zauważ również, że p i q są uzupełniające. Więc każdy duży kąt plus każdy mały kąt równa się 180 stopni, to jest naprawdę duży pomysł. Tak więc, jeśli otrzymamy stopień dowolnego z kątów tutaj, możemy znaleźć pozostałe siedem. Podsumowując, rozmawialiśmy o liniach i odcinkach linii, rozmawialiśmy o kątach i stopniach.

Wskazaliśmy, że w kącie prostym jest 180 stopni, a w kącie prostym 90 stopni. Rozmawialiśmy o dwusiecznych kątów i dwusiecznych prostopadłych. Dwusieczna kąta dzieli kąt na dwa mniejsze równe kąty. Dwusieczna prostopadła jest prostopadła do odcinka i dzieli go na dwie równe połowy.

Mówiliśmy o tym, że dwa kąty na prostej są uzupełniające. Kąty pionowe są przystające. I rozmawialiśmy o kątach utworzonych przez poprzeczną, przecinającą parę prostych równoległych. I będziemy mówić o wielu zastosowaniach tych fundamentalnych idei, w nadchodzących filmach.

.