Matematyka może być bardziej nauką środowiskową, niż nam się wydaje. Choć jest ona poszukiwaniem wiecznych prawd, wiele matematycznych koncepcji wywodzi się z codziennego doświadczenia. Astrologia i architektura zainspirowały Egipcjan i Babilończyków do rozwoju geometrii. Badanie mechaniki podczas rewolucji naukowej w XVII wieku przyniosło nam rachunek.
Niezwykłe jest to, że idee z teorii kwantowej również niosą ze sobą ogromną matematyczną moc, mimo że mamy niewielkie codzienne doświadczenie w kontaktach z cząstkami elementarnymi. Dziwaczny świat teorii kwantowej – gdzie rzeczy mogą znajdować się w dwóch miejscach w tym samym czasie i podlegają prawom prawdopodobieństwa – nie tylko reprezentuje bardziej fundamentalny opis natury niż to, co go poprzedzało, ale także dostarcza bogatego kontekstu dla współczesnej matematyki. Czy logiczna struktura teorii kwantowej, po jej pełnym zrozumieniu i przyswojeniu, mogłaby zainspirować nową dziedzinę matematyki, którą można by nazwać „matematyką kwantową”?
Oczywiście istnieje długotrwały i intymny związek między matematyką i fizyką. Galileusz słynnie pisał o księdze natury czekającej na rozszyfrowanie: „Filozofia jest zapisana w tej wielkiej księdze, wszechświecie, który stoi nieustannie otwarty dla naszego spojrzenia. Ale księga ta nie może być zrozumiana, jeśli najpierw nie nauczymy się rozumieć języka i czytać liter, w których jest napisana. Jest ona napisana w języku matematyki”. Z bardziej współczesnych czasów możemy zacytować Richarda Feynmana, który nie był znany jako koneser abstrakcyjnej matematyki: „Do tych, którzy nie znają matematyki, trudno jest dotrzeć z prawdziwym odczuciem co do piękna, najgłębszego piękna, natury. (…) Jeśli chce się poznać przyrodę, docenić ją, trzeba rozumieć język, którym ona mówi.” (Z drugiej strony, stwierdził również: „Gdyby cała matematyka zniknęła dzisiaj, fizyka zostałaby cofnięta dokładnie o tydzień”, na co pewien matematyk miał sprytną ripostę: „To był tydzień, w którym Bóg stworzył świat.”)
Fizyk matematyczny i laureat Nagrody Nobla Eugene Wigner napisał elokwentnie o zdumiewającej zdolności matematyki do opisywania rzeczywistości, charakteryzując ją jako „nieuzasadnioną skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych.” Te same pojęcia matematyczne pojawiają się w szerokim zakresie kontekstów. Obecnie jednak wydaje się, że jesteśmy świadkami odwrotnej sytuacji: nieracjonalnej skuteczności teorii kwantowej we współczesnej matematyce. Pomysły wywodzące się z fizyki cząstek elementarnych mają niezwykłą tendencję do pojawiania się w najróżniejszych dziedzinach matematyki. Jest to szczególnie prawdziwe w przypadku teorii strun. Jej stymulujące oddziaływanie w matematyce będzie miało trwały i satysfakcjonujący wpływ, niezależnie od tego, jaka okaże się jej ostateczna rola w fizyce fundamentalnej. Liczba dyscyplin, których ona dotyka, jest zawrotna: analiza, geometria, algebra, topologia, teoria reprezentacji, kombinatoryka, prawdopodobieństwo – lista ta ciągnie się w nieskończoność. Zaczyna się współczuć biednym studentom, którzy muszą się tego wszystkiego uczyć!
Co może leżeć u podstaw tej nieuzasadnionej skuteczności teorii kwantowej? Moim zdaniem jest to ściśle związane z faktem, że w świecie kwantowym wszystko, co może się zdarzyć, zdarza się.
W bardzo schematyczny sposób mechanika klasyczna próbuje obliczyć, w jaki sposób cząstka podróżuje z punktu A do punktu B. Na przykład preferowana ścieżka może przebiegać wzdłuż geody – ścieżki o minimalnej długości w zakrzywionej przestrzeni. W mechanice kwantowej rozważa się natomiast zbiór wszystkich możliwych ścieżek z punktu A do punktu B, jakkolwiek długich i zawiłych. Jest to słynna interpretacja Feynmana – „suma nad historiami”. Prawa fizyki przypisują każdej ścieżce pewną wagę, która określa prawdopodobieństwo, że cząstka będzie poruszać się po danej trajektorii. Klasyczne rozwiązanie, które jest zgodne z prawami Newtona, jest po prostu najbardziej prawdopodobne spośród wielu. Tak więc, w naturalny sposób, fizyka kwantowa bada zbiór wszystkich ścieżek, jako ważony zespół, pozwalający nam na sumowanie wszystkich możliwości.
To holistyczne podejście, polegające na rozważaniu wszystkiego naraz, jest bardzo zgodne z duchem współczesnej matematyki, gdzie badanie „kategorii” obiektów skupia się bardziej na wzajemnych relacjach niż na jakimkolwiek konkretnym, indywidualnym przykładzie. To właśnie to spojrzenie z lotu ptaka na teorię kwantową wydobywa zaskakujące nowe powiązania.
Kalkulatory kwantowe
Uderzającym przykładem magii teorii kwantowej jest symetria lustrzana – prawdziwie zdumiewająca równoważność przestrzeni, która zrewolucjonizowała geometrię. Historia zaczyna się w geometrii enumeracyjnej, ugruntowanej, ale niezbyt ekscytującej gałęzi geometrii algebraicznej, która liczy obiekty. Na przykład, badacze mogą chcieć policzyć liczbę krzywych na przestrzeniach Calabi-Yau – sześciowymiarowych rozwiązaniach równań grawitacji Einsteina, które są szczególnie interesujące w teorii strun, gdzie są używane do zawijania dodatkowych wymiarów przestrzeni.
Tak jak można owinąć gumkę wokół cylindra wiele razy, krzywe na przestrzeni Calabi-Yau są klasyfikowane przez liczbę całkowitą, zwaną stopniem, która mierzy, jak często się zawijają. Znalezienie liczby krzywych danego stopnia jest bardzo trudnym zadaniem, nawet dla najprostszej przestrzeni Calabi-Yau, tzw. kwintycznej. Klasyczny wynik z XIX wieku mówi, że liczba linii – krzywych stopnia pierwszego – jest równa 2875. Liczba krzywych stopnia drugiego została obliczona dopiero około 1980 roku i okazuje się, że jest znacznie większa: 609 250. Ale liczba krzywych stopnia trzeciego wymagała pomocy teoretyków strun.
Około 1990 roku grupa teoretyków strun poprosiła geometrów o obliczenie tej liczby. Geometrycy wymyślili skomplikowany program komputerowy i wrócili z odpowiedzią. Teoretycy strun podejrzewali jednak, że jest ona błędna, co sugerowało błąd w kodzie. Po sprawdzeniu, geometrzy potwierdzili, że jest, ale skąd fizycy to wiedzieli?
Teoretycy strun pracowali już nad przełożeniem tego geometrycznego problemu na problem fizyczny. W tym celu opracowali sposób obliczania liczby krzywych dowolnego stopnia jednocześnie. Trudno przecenić szok, jaki wywołał ten wynik w kręgach matematycznych. To było trochę tak, jakby opracować sposób na zdobycie każdej góry, bez względu na jej wysokość!
W ramach teorii kwantowej ma sens połączenie liczby krzywych wszystkich stopni w jedną elegancką funkcję. Złożona w ten sposób, ma ona prostą interpretację fizyczną. Można ją postrzegać jako amplitudę prawdopodobieństwa dla struny propagującej się w przestrzeni Calabi-Yau, gdzie zastosowano zasadę sumy nad historiami. Można pomyśleć, że struna sonduje wszystkie możliwe krzywe każdego możliwego stopnia w tym samym czasie i jest w ten sposób super-wydajnym „kalkulatorem kwantowym.”
Ale drugi składnik był niezbędny do znalezienia rzeczywistego rozwiązania: równoważne sformułowanie fizyki przy użyciu tak zwanej „lustrzanej” przestrzeni Calabi-Yau. Termin „lustro” jest zwodniczo prosty. W przeciwieństwie do sposobu, w jaki zwykłe lustro odbija obraz, tutaj przestrzeń pierwotna i jej lustro mają bardzo różne kształty; nie mają nawet tej samej topologii. Jednak w sferze teorii kwantowej mają one wiele wspólnych właściwości. W szczególności, propagacja struny w obu przestrzeniach okazuje się identyczna. Trudne obliczenia na oryginalnej rozmaitości przekładają się na znacznie prostsze wyrażenie na rozmaitości lustrzanej, gdzie można je obliczyć za pomocą jednej całki. Et voilà!
Duality of Equals
Symetria lustrzana ilustruje potężną własność teorii kwantowej zwaną dualnością: Dwa klasyczne modele mogą stać się równoważne, gdy rozważa się je jako systemy kwantowe, jak za machnięciem czarodziejskiej różdżki, a wszystkie różnice nagle znikają. Dualności wskazują na głębokie, ale często tajemnicze symetrie teorii kwantowej. Ogólnie rzecz biorąc, są one słabo rozumiane i wskazują, że nasze rozumienie teorii kwantowej jest w najlepszym wypadku niekompletne.
Pierwszym i najbardziej znanym przykładem takiej równoważności jest dobrze znany dualizm cząstka-fala, który stwierdza, że każda cząstka kwantowa, taka jak elektron, może być rozpatrywana zarówno jako cząstka, jak i jako fala. Oba punkty widzenia mają swoje zalety, oferując różne spojrzenia na to samo zjawisko fizyczne. Poprawny” punkt widzenia – cz±stka czy fala – jest okre¶lony wył±cznie przez naturę pytania, a nie przez naturę elektronu. Dwie strony lustrzanej symetrii oferują podwójne i równie ważne perspektywy na „geometrię kwantową”.”
Matematyka ma cudowną zdolność łączenia różnych światów. Najbardziej pomijanym symbolem w każdym równaniu jest skromny znak równości. Idee przepływają przez niego, jak gdyby znak równości przewodził prąd elektryczny, który oświetla żarówkę „Aha!” w naszym umyśle. A podwójne linie wskazują, że idee mogą płynąć w obu kierunkach. Albert Einstein był absolutnym mistrzem w znajdowaniu równań, które egzemplifikują tę własność. Weźmy na przykład E = mc2, bez wątpienia najsłynniejsze równanie w historii. W całej swojej niedopowiedzianej elegancji łączy ono fizyczne pojęcia masy i energii, które przed pojawieniem się teorii względności były postrzegane jako całkowicie odrębne. Dzięki równaniu Einsteina dowiadujemy się, że masa może być przekształcona w energię i odwrotnie. Równanie ogólnej teorii względności Einsteina, choć mniej chwytliwe i znane, łączy świat geometrii i materii w równie zaskakujący i piękny sposób. Zwięzłym sposobem na podsumowanie tej teorii jest to, że masa mówi przestrzeni, jak się zakrzywić, a przestrzeń mówi masie, jak się poruszać.
Symetria lustrzana jest kolejnym doskonałym przykładem mocy znaku równości. Jest ona w stanie połączyć dwa różne matematyczne światy. Jednym z nich jest sfera geometrii symplektycznej, gałęzi matematyki, na której opiera się większość mechaniki. Po drugiej stronie jest sfera geometrii algebraicznej, świat liczb zespolonych. Fizyka kwantowa pozwala na swobodny przepływ idei z jednej dziedziny do drugiej i zapewnia nieoczekiwane „wielkie zjednoczenie” tych dwóch dyscyplin matematycznych.
Pocieszające jest to, że matematyka była w stanie wchłonąć tak wiele z intuicyjnego, często nieprecyzyjnego rozumowania fizyki kwantowej i teorii strun oraz przekształcić wiele z tych idei w rygorystyczne twierdzenia i dowody. Matematycy są bliscy zastosowania tej dokładności do homologicznej symetrii lustrzanej, programu, który znacznie rozszerza oryginalną ideę symetrii lustrzanej teorii strun. W pewnym sensie pisz± oni pełny słownik obiektów występuj±cych w dwóch odrębnych ¶wiatach matematycznych, wł±czaj±c w to wszystkie relacje, które spełniaj±. Co znamienne, dowody te często nie podążają ścieżką, którą sugerowałyby argumenty fizyczne. Najwyraźniej nie jest rolą matematyków sprzątanie po fizykach! Wręcz przeciwnie, w wielu przypadkach, aby znaleźć dowody, trzeba było opracować zupełnie nowe linie rozumowania. Jest to kolejny dowód na istnienie głębokiej i jeszcze nieodkrytej logiki, która leży u podstaw teorii kwantowej, a ostatecznie także rzeczywistości.
Niels Bohr bardzo lubił pojęcie komplementarności. Pojęcie to wzięło się stąd, że – jak udowodnił Werner Heisenberg w swojej zasadzie nieoznaczoności – w mechanice kwantowej można zmierzyć albo pęd cząstki p, albo jej pozycję q, ale nie obie te wielkości jednocześnie. Wolfgang Pauli dowcipnie podsumował tę dwoistość w liście do Heisenberga z 19 października 1926 roku, zaledwie kilka tygodni po odkryciu: „Można widzieć świat okiem p i można go widzieć okiem q, ale jeśli otworzy się oba oczy, to człowiek staje się szalony.”
W późniejszych latach Bohr próbował przełożyć tę ideę na znacznie szerszą filozofię. Jedną z jego ulubionych komplementarnych par była prawda i jasność. Być może para matematycznego rygoru i fizycznej intuicji powinna zostać dodana jako kolejny przykład dwóch wzajemnie wykluczających się cech. Możesz patrzeć na świat okiem matematycznym lub komplementarnym okiem fizycznym, ale nie waż się otworzyć obu.
Ten artykuł został przedrukowany w języku hiszpańskim na stronie Investigacionyciencia.es.
.