Na tym slajdzie mamy dwie wersje równań Eulera, które opisują jak prędkość, ciśnienie i gęstość poruszającego się płynu są ze sobą powiązane.Równania te zostały nazwane na cześć Leonarda Eulera, który był studentem Daniela Bernoulliego i badał różne problemy dynamiki płynów w połowie XVII w. Równania te są zestawem sprzężonych równań różniczkowych i mogą być rozwiązane dla danego problemu przepływu przy użyciu metod rachunku. Równania Eulera pomijają wpływ lepkości płynu, który jest zawarty w równaniach Naviera-Stokesa.Rozwiązanie równań Eulera jest więc tylko przybliżeniem rzeczywistego problemu z płynami.Dla niektórych problemów, jak np. żywotność cienkiego profilu lotniczego przy niskim kącie natarcia, rozwiązanie równań Eulera zapewnia dobry model rzeczywistości. Dla innych problemów, takich jak wzrost warstwy granicznej na płaskiej płycie, równania Eulera nie modelują właściwie problemu.
Nasz świat ma trzy wymiary przestrzenne (góra-dół, lewo-prawo, przód-tył) i jeden wymiar czasowy. W ogólności, równania Eulera mają zależne od czasu równanie ciągłości zachowania masy i trzy zależne od czasu równania zachowania pędu.Na górze rysunku pokazujemy uproszczoną, dwuwymiarową, ustaloną postać równań Eulera.W problemie występują dwie zmienne niezależne, współrzędnex i y pewnej dziedziny. Istnieją cztery zmienne zależne, ciśnienie p, gęstość r oraz dwie składowe wektora prędkości; składowa u jest w kierunku x, a składowa v jest w kierunku y. Wszystkie zmienne zależne są funkcjami zarówno x jak i y.Równania różniczkowe są więc równaniami różniczkowymi cząstkowymi, a nie zwyczajnymi równaniami różniczkowymi, które studiuje się na początku zajęć z rachunku różniczkowego.
Zauważysz, że symbol różniczki jest inny niż zwykłe „d /dt” lub „d /dx”, które widzisz dla równań różniczkowych zwyczajnych. Symbol „
” jest używany do oznaczania różniczkowania cząstkowego. Symbol ten wskazuje, że podczas obliczania pochodnej mamy utrzymywać wszystkie zmienne niezależne na stałym poziomie, z wyjątkiem zmiennej obok symbolu. Zestaw równań jest następujący:
Ciągłość: (r * u)/x + (r * v)/y = 0
X – Momentum: (r * u^2)/x + (r * u * v)/y = – p/x
Y – Momentum: (r * u * v)/x + (r * v^2)/y = – p/y
Although these equations appear very complex, Chociaż równania te wydają się bardzo złożone, studenci inżynierii uczą się, jak je wyprowadzić w procesie bardzo podobnym do tego, który przedstawiamy na stronie internetowej poświęconej zachowaniu pędu. Dwa równania pędu są dwuwymiarowymi uogólnieniami równania zachowania pędu. Równanie natężenia przepływu masy opracowane na stronie o zachowaniu masy jest jednowymiarowym rozwiązaniem równania ciągłości pokazanego tutaj.
Uogólnione rozwiązania tych równań są trudne do uzyskania.Zauważ, że wszystkie zmienne zależne pojawiają się w każdym równaniu.Aby rozwiązać problem przepływu, trzeba rozwiązać wszystkie trzy równania jednocześnie; dlatego nazywamy to sprzężonym układem równań. W rzeczywistości istnieje jeszcze jedno równanie, które jest wymagane do rozwiązania tego układu, ponieważ pokazujemy tylko trzy równania dla czterech niewiadomych. W przeszłości inżynierowie dokonywali dalszych przybliżeń i uproszczeń układu równań, aż uzyskali grupę równań, które mogli rozwiązać. Ostatnio do rozwiązywania przybliżeń równań wykorzystuje się szybkie komputery, stosując różne techniki, takie jak metoda różnic skończonych, metoda objętości skończonej, metoda elementów skończonych i metoda spektralna.Ten obszar badań nazywany jest obliczeniową dynamiką płynów lub CFD.
Jedną z metod uproszczeń stosowanych w przeszłości było założenie, że gaz ma bardzo małą prędkość i zaniedbanie efektów ściśliwości.W przepływie nieściśliwym gęstość jest stała i możemy ją usunąć z równania ciągłości:
Ciągłość: u/x + v/y = 0
Możemy następnie uczynnić równania pędu i wykorzystać równanie ciągłości do ich uproszczenia:
X – Momentum: u * u/x + v * u/y = – / r
Y – Momentum: u * v/x + v * v/y = – / r
Ten układ równań posłużył do opracowania algorytmu wykorzystanego w programieFoilSimcomputer.
Działania:
Zwiedzanie z przewodnikiem
Nawigacja …
Strona główna przewodnika dla początkujących