Charakterystyka spirali
Typy spiral
Źródła
Spirala to krzywa utworzona przez punkt obracający się wokół stałej osi w coraz większej odległości. Może być zdefiniowana przez funkcję matematyczną, która odnosi odległość punktu od jego początku do kąta, pod jakim jest on obracany. Niektóre popularne spirale obejmują spiralę Archimedesa i spiralę hiperboliczną. Inny typ spirali, zwany spiralą logarytmiczną, występuje w wielu przypadkach w przyrodzie.
Charakterystyka spirali
Spirala jest funkcją, która odnosi odległość punktu od początku do jego kąta z dodatnią
KEY TERMS
Spirala logarytmiczna -Typ krzywej zdefiniowany przez związek r = ea q. Jest to kształt powszechnie występujący w przyrodzie.
Origin -Punkt początkowy spirali. Zwana również jądrem.
Spirala Archimedesa -Rodzaj krzywej określonej zależnością r = aq. Była to pierwsza odkryta spirala.
Ogon -Część spirali, która wije się od początku.
Ośx. Równanie spirali jest zwykle podawane w postaci jej współrzędnych biegunowych. Polarny układ współrzędnych to kolejny sposób, w jaki można zlokalizować punkty na wykresie. W prostokątnym układzie współrzędnych, każdy punkt jest zdefiniowany przez jego odległość x i y od początku. Na przykład punkt (4,3) znajduje się 4 jednostki powyżej na osi x i 3 jednostki w górę na osi y. W przeciwieństwie do prostokątnego układu współrzędnych, biegunowy układ współrzędnych wykorzystuje odległość i kąt od początku punktu, aby określić jego położenie. Powszechną notacją dla tego układu jest (r,θ)gdzie r reprezentuje długość półprostej poprowadzonej od początku do punktu, a θ reprezentuje kąt, jaki ta półprosta tworzy z osią x. Ta półprosta jest często znana jako wektor.
Jak wszystkie inne kształty geometryczne, spirala ma pewne cechy, które pomagają ją zdefiniować. Środek, lub punkt początkowy, spirali jest znany jako jej początek lub jądro. Linia wijąca się z dala od jądra nazywana jest ogonem. Większość spiral jest również nieskończona, czyli nie ma skończonego punktu końcowego.
Typy spiral
Spirale są klasyfikowane przez matematyczny związek pomiędzy długością r wektora promienia, a kątem wektora q, który jest wykonany z dodatnią osią x. Niektóre z najbardziej powszechnych obejmują spiralę Archimedesa, spiralę logarytmiczną, spiralę paraboliczną i spiralę hiperboliczną.
Najprostsza ze wszystkich spiral została odkryta przez starożytnego greckiego matematyka Archimedesa z Syrakuz (287-212 p.n.e.). Spirala Archimedesa jest zgodna z równaniem r = aθ, gdzie r i θ reprezentują współrzędne biegunowe punktu wykreślonego jako długość promienia a, jednostajnie zmieniającego się. W tym przypadku r jest proporcjonalne do θ.
Spirala logarytmiczna, lub równoramienna, została po raz pierwszy zasugerowana przez Rene Descartes’a (1596-1650) w 1638 roku. Inny matematyk, Jakob Bernoulli (1654-1705), który wniósł ważny wkład do tematu prawdopodobieństwa, jest również uznawany za opisującego znaczące aspekty tej spirali. Spirala logarytmiczna jest zdefiniowana przez równanie r = eaθ, gdzie e jest naturalną stałą logarytmiczną, r i θ reprezentują współrzędne biegunowe, a a jest długością zmieniającego się promienia. Spirale te są podobne do okręgu, ponieważ przecinają swoje promienie pod stałym kątem. Jednak w przeciwieństwie do okręgu, kąt, pod którym punkty przecinają promienie, nie jest kątem prostym. Spirale te różnią się też od okręgu tym, że długość ich promieni rośnie, podczas gdy w okręgu długość promienia jest stała. Przykłady spirali logarytmicznej można znaleźć w całej przyrodzie. Skorupa Nautilusa i wzory nasion słonecznika mają kształt spirali logarytmicznej.
Spirala paraboliczna może być reprezentowana przez równanie matematyczne r2 = a2θ. Spirala ta odkryta przez Bonaventurę Cavalieri (1598-1647) tworzy krzywą powszechnie znaną jako parabola. Inna spirala, spirala hiperboliczna, odpowiada równaniu r = a/θ.
Innym rodzajem krzywej podobnej do spirali jest spirala. Spirala jest jak spirala w tym, że jest to krzywa wykonana przez obracanie się wokół punktu w coraz większej odległości. Jednakże, w przeciwieństwie do dwuwymiarowych krzywych płaskich spirali, spirala jest trójwymiarową krzywą przestrzenną, która leży na powierzchni walca. Jej punkty są takie, że tworzy ona stały kąt z przekrojami poprzecznymi walca. Przykładem takiej krzywej jest gwint śruby.
Zobacz też Logarytmy.