Modelling of multi-flagellated bacteria
Zaczęliśmy od zbudowania obliczeniowego modelu lokomocji bakterii peritrichous, jak opisano w rozdziale Metody, ze szczegółami matematycznymi w informacjach uzupełniających. Rozważamy bakterię napędzaną przez Nf flagelli (Rys. 2A) o ciele komórkowym w kształcie wydłużonej elipsoidy. Każde flagellum składa się z: (i) silnika rotacyjnego, który generuje stałą prędkość obrotową wokół osi włókna flagowego; (ii) krótkiego elastycznego haka traktowanego jako sprężyna skrętna wokół osi silnika, którego hydrodynamikę można zaniedbać17; (iii) spiralnego włókna flagowego o normalnej lewoskrętnej formie polimerowej, którego hydrodynamikę uchwycono za pomocą teorii smukłego ciała24. Parametry silnika i filamentu zostały dobrane tak, aby odpowiadały tym, które występują u bakterii E. coli7 (Tabela S1 w informacjach uzupełniających). Każde włókno spiralne ma zwężający się koniec, tak że promień spirali jest równy zero w punkcie jego przyłączenia do silnika25. Włókna flagellarne mogą się obracać, ale nie mogą się przemieszczać względem ich punktu zaczepienia na ciele komórki i podczas gdy obrót wokół osi helisy jest narzucony przez silnik, wszelkie dalsze obroty względem ciała są rozwiązywane. Zaniedbujemy oddziaływania hydrodynamiczne pomiędzy ciałem komórki a włóknami flagowymi, ale uwzględniamy oddziaływania steryczne, aby zapobiec wnikaniu włókien do ciała. Dla każdego haka używamy θ, aby oznaczyć kąt nachylenia pomiędzy normalną do ciała komórki w miejscu silnika a osią włókna flagowego (tzn. gdy θ = 0 włókno jest normalne do ciała komórki). Przywracający moment sprężysty nakładany przez każdy silnik na jego włókno flagellarne jest modelowany jako sprężyna skrętna o stałej sprężystości ∗ (K=EI/{h}}), gdzie EI i ∗ są odpowiednio sztywnością zginania i długością haka16. Wielkość momentu przywracającego jest więc dana przez K|θ|, a sprężystość haka działa w celu wyrównania osi spirali z normalną do ciała komórki. Model obliczeniowy wyznacza chwilowe pozycje włókien flagowych oraz prędkość płynięcia, Ub, i prędkość kątową, Ωb, ciała komórki jako funkcję sztywności haka.
(A) Model obliczeniowy bakterii perytrichous uruchamiającej Nf spiralnych włókien (promień Rh; kąt nachylenia β) poprzez obracanie ich wokół osi Ω z zadaną prędkością kątową. Giętki hak działa elastycznie, aby wyrównać oś helisy z normalną \(\hat{{bf{N}}) do ciała komórki. (B) Uproszczony model do uchwycenia niestabilności elastohydrodynamicznej. Dwa proste aktywne włókna o długości \(\ell \) przymocowane po obu stronach kulistego ciała o promieniu \(a\) są przechylone pod kątem ±θ od normalnej powierzchni ciała komórki, \(\hat{{bf{N}}), i działają na komórkę siłą styczną \(f\ell \hat{bf{t}}) powodując pływanie modelowej bakterii z prędkością \(U\hat{{bf{y}}}).
Bakterie pchające z elastycznymi hakami przechodzą niestabilność pływania
Przeanalizowanie wyników naszego modelu obliczeniowego ujawnia niezwykłą elastohydrodynamiczną niestabilność, zilustrowaną na Rys. 3 w przypadku Nf = 4 flagelli, średniej liczby flagelli na komórce E. coli6. Silniki są rozmieszczone symetrycznie wokół powierzchni ciała komórki. Rozpoczynamy obliczenia z każdym włóknem flagowym odchylonym pod pewnym małym kątem od normalnej do powierzchni i posuwamy system naprzód w czasie śledząc pozycję komórki w ramce laboratoryjnej i włókna flagowego względem ciała komórki. Powiązane filmy są dostępne online (zobacz informacje uzupełniające).
Ruch pływacki dla bakterii pływającej z Nf = 4 flagellami z elastycznym vs. sztywnym hakiem. (A) Początkowa pozycja i konformacja każdej komórki. (B) Komórka pchająca z elastycznym hakiem w czasie t = 200 (czas skalowany przez szybkość obrotu flagelli). (C) Komórka popychająca z hakiem sztywnym w t = 200. (D) Odległość przebyta przez każdego pływaka (niewymiarowa przez nachylenie włókien spiralnych) w funkcji czasu dla czterech różnych pływaków: sztywny (romb) vs. elastyczny hak (kwadraty) i pchacz (wypełnione symbole) vs. ciągacz (puste).
Na Rys. 3A-C ilustrujemy trajektorię bakterii pchającej (tj. komórki, której włókna flagowe obracają się w normalnym kierunku CCW) o dwóch różnych sztywnościach haka w skali czasowej t = 200 (czas niewymiarowy przez szybkość obrotu flagelli). Podczas gdy obie zaczynają w tym samym miejscu (A), komórka z elastycznym hakiem (K = 0.1) kończy z włóknami flagowymi zawiniętymi do tyłu i jest w stanie pływać pięć razy szybciej (B) niż komórka ze sztywnym hakiem (K = 100), której włókna flagowe pozostały w tej samej rozłożonej konfiguracji (C). Jest to wyrażone ilościowo na Rys. 3D, gdzie wykreślamy odległość netto przebytą w funkcji czasu (skalowaną przez nachylenie spirali). Komórka z elastycznym hakiem (wypełniony kwadrat) pływa konsekwentnie szybciej niż komórka sztywna (wypełniony romb). Jeśli alternatywnie odwrócimy kierunek rotacji flagelli, aby obracały się zgodnie z ruchem wskazówek zegara (CW), komórka staje się ciągnąca i nie przechodzi do szybkiego pływania ani dla elastycznego haka (puste kwadraty), ani dla sztywnego (puste romby). Zauważmy, że dwa sztywne przypadki (pchacze i ciągnący; romb) mają identyczną wielkość pływania, co jest konsekwencją odwracalności kinematyki przepływów Stokesa5. Co ważne, przejście do szybkiego pływania dla elastycznych bakterii pchaczy nie zachodzi płynnie wraz ze zmianami sztywności haka, ale ma miejsce przy krytycznej bezwymiarowej wartości Kc ≈ 1 (niewymiarowej przy użyciu lepkości płynu, skoku filamentu spiralnego i częstotliwości rotacji). Powyżej Kc, wszystkie flagelle pozostają w normalnym położeniu względem komórki (θ ≈ 0) prowadząc do znikomego pływania, podczas gdy poniżej Kc, wszystkie flagelle owijają się za komórką (|θ| ≈ π/2) prowadząc do lokomocji netto.
To ostre przejście nie pochodzi z niestabilności wyboczeniowej haka, która jest tutaj modelowana tylko na poziomie sprężyny skrętnej16. Zamiast tego, niestabilność wynika z dwukierunkowego sprzężenia pomiędzy konformacją flagelli i lokomocją komórki. Aby rozwikłać fizykę tej niestabilności, rozważamy bardziej szczegółowo przypadek sferycznego ciała komórki i dwóch flagelli, który jest minimalną konfiguracją zdolną do pokazania niestabilności przy jednoczesnym uchwyceniu tej samej fizyki, co geometrycznie złożone przypadki (zobacz powiązane filmy w informacjach uzupełniających). Wyniki obliczeń w stanie ustalonym w tym przypadku są pokazane w głównej części Rys. 4 (symbole i cienkie linie) dla kąta θ pomiędzy osią włókien flagowych a ciałem komórki (A) oraz dla laboratoryjnej prędkości pływania netto U komórki (B). Podczas gdy konformacja flagelli bakterii ciągnących jest niezależna od sztywności haka i prowadzi do zerowego pływania (jasnoczerwone kółka), komórki pchające wyraźnie wykazują nagły skok do konformacji zawiniętej i lokomocji netto dla sztywności haka poniżej Kc ≈ 0.79 (ciemnoniebieskie kółka).
Kąty pochylenia flagelli w stanie ustalonym (|θ|, A) i prędkości pływania w ramce laboratoryjnej (U, B) dla pełnego modelu obliczeniowego z Rys. 2A z dwiema flagami (symbole i cienkie linie) i dla prostego modelu aktywnego włókna z Rys. 2B (grube linie) jako funkcja bezwymiarowej stałej sprężystości haka, K. Zielona linia i jasnoczerwone symbole: bakteria ciągnąca, dla której stan bez pływania jest zawsze stabilny; Ciemnoczerwona linia i ciemnoniebieskie symbole: bakteria pchająca, która przechodzi do pływania dla K < Kc. Linia przerywana pokazuje krytyczną stałą sprężystości przewidywaną teoretycznie, Kc ≈ 0.53.
Analityczny model niestabilności elastohydrodynamicznej
Obserwowana dynamika może być uchwycona przez model analityczny pokazujący, że pływanie zachodzi jako wynik liniowej niestabilności elastohydrodynamicznej. Rozważmy prosty model geometryczny przedstawiony na Rys. 2. Dwa proste aktywne filamenty o długości \(\ell \) są symetrycznie przymocowane po obu stronach sferycznego ciała komórki o promieniu a i są odchylone o symetryczne kąty ±θ od normalnej powierzchni ciała, \(\hat{{bf{N}}}) (zauważmy, że asymetryczny tryb pochylenia, nie rozważany tutaj, prowadziłby do przejścia w rotację zamiast translacji). Każde włókno, elastycznie przymocowane do ciała komórki poprzez hak modelowany jako sprężyna skrętna o sztywności K, naciska na komórkę wzdłuż ich kierunku stycznego z gęstością siły napędowej \(f\hat{{bf{t}}), co skutkuje pływaniem bakterii z prędkością \(U\hat{{bf{y}}}) (patrz Rys. 2 dla całej notacji). Dla ruchu CCW, siły napędowe skierowane są w stronę ciała komórki (f < 0) i komórka jest pchaczem. W przeciwieństwie do tego, dla ruchu CW, siły napędowe skierowane są od komórki (f > 0) i pływak jest ciągnącym.
Prędkość pływania (U) i szybkość zmian konformacji filamentów (∗) mogą być otrzymane przez wymuszenie równowagi sił i momentów. Używaj±c c|| i c⊥ do oznaczenia współczynników oporu dla smukłego włókna poruszaj±cego się odpowiednio równolegle i prostopadle do jego stycznej (patrz materiał uzupełniaj±cy), otrzymujemy równowagę sił działaj±cych na cał± komórkę w kierunku pływania, \), zapisuje się jako
gdzie pierwsze dwa składniki wynikają z oporu na ciele komórki i na aktywnych włóknach spowodowanego pływaniem, trzeci składnik to opór na włóknach spowodowany obrotem, a ostatni składnik to całkowita siła napędowa działająca na komórkę.
Drugie równanie pochodzi z bilansu momentu na każdym aktywnym filamencie, zapisanego w kierunku \(\hat{{bf{z}}= \hat{bf{x}} razy \hat{bf{y}}) w punkcie zaczepienia na powierzchni komórki jako
gdzie pierwszy człon jest momentem hydrodynamicznym spowodowanym obrotem włókna, drugi jest momentem hydrodynamicznym spowodowanym oporem pływaka, a ostatni człon jest sprężystym momentem przywracającym od haka działającym w celu powrotu włókna do konfiguracji prostej. Połączenie równań (1) i (2) prowadzi do równania ewolucji dla θ
Gdy dominuje moment sprężysty, konfiguracja prosta θ = 0 jest jedynym stanem ustalonym, związanym z brakiem pływania. Jeśli zamiast tego moment sprężysty jest pomijalny, stany pływania z θ = ±π/2 stają się możliwymi stanami równowagi.
Aby zbadać jak zmiana sztywności haka pozwala na przejście z jednego stanu do drugiego, rozwiązujemy Eq. (3) numerycznie z odpowiednimi wartościami włókien flagowych dla dzikiego typu pływającej komórki E. coli i używając wielkości f prowadzącej do zgodności z pełnymi obliczeniami przy zerowej sztywności haka (zobacz materiał uzupełniający). Zaczynamy od małych perturbacji wokół θ = 0 i obliczamy długoczasowy stan ustalony z równania (3), z wynikami zilustrowanymi na Rys. 4 zarówno dla komórek pchających (ciemnoczerwona linia) jak i ciągnących (zielona linia). Komórki ciągnące nigdy nie pływają dla żadnej wartości sztywności haka, a konfiguracja prosta θ = 0 jest zawsze stabilna. W przeciwieństwie do tego, pchacze nie mogą pływać dla haków sztywniejszych niż wartość krytyczna, ale ulegają nagłemu przejściu do bezpośredniego pływania dla bardziej miękkich haków, w doskonałej zgodności z obliczeniami dla pełnego przypadku dwóch flag (symbole na Rys. 4).
Nagłe przejście do pływania dla krytycznej sztywności haka może być przewidziane analitycznie przez linearyzację Eq. (3) w pobliżu stanu równowagi przy θ = 0, co prowadzi do
Jeśli f jest dodatnie (puller) to konfiguracja z θ = 0, która jest związana z brakiem pływania U = 0, jest zawsze liniowo stabilna na małe perturbacje dla dowolnej wartości K. Natomiast popychacze z f < 0 są liniowo niestabilne dla K < Kc takiego, że prawa strona równania (4) staje się dodatnia, tzn. ∗ ({K}_{c}=-, f{c}_{perp }^{3}/(2{c}_{perp }^^^^}). Liniowa niestabilność elastohydrodynamiczna umożliwia zatem bakteriom pchającym z wystarczająco elastycznymi hakami dynamiczne przejście do konformacji asymetrycznej (θ ≠ 0) z pływaniem netto (U ≠ 0). Zauważmy, że prosty model teoretyczny (liniowa stabilność i numeryczne rozwiązanie równania 3) przewiduje krytyczną bezwymiarową sztywność Kc ≈ 0.53, co zgadza się z obliczeniami dla pełnego modelu bakterii, Kc ≈ 0.79.
.