Wzory Pi

Teoria liczb > Stałe > Pi >

Obliczenia i analiza > Szeregi > Wzory BBP >

Obliczenia i analiza > Obliczenia >. Całki > Całki definitywne >

MathWorld Contributors > Cloitre >

MathWorld Contributors > Plouffe >

MathWorld Contributors > Sondow >

Mniej…

Istnieje wiele wzorów wielu typów. Między innymi są to szeregi, iloczyny, konstrukcje geometryczne, granice, wartości specjalne i iteracje pi.

jest ściśle związane z własnościami okręgów i sfer. Dla okręgu o promieniu , obwód i pole są dane przez

			(1)
			(2)

Podobnie, dla kuli o promieniu , pole powierzchni i objętość zamknięta wynoszą

			(3)
			(4)

Dokładnym wzorem na w postaci odwrotnych tangensów ułamków jednostkowych jest wzór Machina

(5)

Istnieją jeszcze trzy inne wzory podobne do wzoru Machina, a także tysiące innych podobnych wzorów o większej liczbie wyrażeń.

GregorySeries

Gregory i Leibniz znaleźli

			(6)
			(7)

(Wells 1986, s. 50), który jest znany jako szereg Gregory’ego i może być otrzymany przez wstawienie do szeregu Leibniza dla . Błąd po tym wyrazie tego szeregu w szeregu Gregory’ego jest większy niż , więc suma ta zbiega się tak wolno, że 300 wyrazów nie wystarczy do prawidłowego obliczenia z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku! Można to jednak przekształcić do postaci

(8)

gdzie jest funkcją zeta Riemanna (Vardi 1991, str. 157-158; Flajolet i Vardi 1996), tak że błąd po terminach wynosi .

Seria sum nieskończonych Abrahama Sharpa (ok. 1717) jest dany przez

(9)

(Smith 1953, s. 311). Dodatkowe proste szeregi, w których pojawia się to

			(10)
			(11)
			(12)
			(13)
			(14)
			(15)
			(16)
			(17)

(Wells 1986, s. 53).

W 1666 r, Newton wykorzystał konstrukcję geometryczną do wyprowadzenia wzoru

			(18)
			(19)

które wykorzystał do obliczenia (Wells 1986, s. 50; Borwein et al. 1989; Borwein i Bailey 2003, s. 105-106). Współczynniki można znaleźć z całki

			(20)
			(21)

wykonując rozwinięcie szeregowe wokół 0, obtaining

(22)

(OEIS A054387 i A054388). Zastosowanie przekształcenia Eulera poprawiającego zbieżność daje

			(23)
			(24)
			(25)

(Beeler et al. 1972, poz. 120).

Odpowiada to wstawieniu w szereg potęgowy dla funkcji hipergeometrycznej ,

(26)

Mimo poprawy zbieżności, szereg (◇) zbiega tylko na jednym bicie/terminie. Kosztem pierwiastka kwadratowego, Gosper zauważył, że daje 2 bity/termin,

(27)

i daje prawie 3.39 bitów/termin,

(28)

gdzie jest złotą proporcją. Gosper otrzymał również

(29)

Algorytm spigot dla podają Rabinowitz i Wagon (1995; Borwein i Bailey 2003, s. 141-142).

Jeszcze bardziej zdumiewające jest to, że wyrażenie w formie zamkniętej dające algorytm ekstrakcji cyfr, który produkuje cyfry (lub ) w bazie 16 zostało odkryte przez Bailey et al. (Bailey et al. 1997, Adamchik and Wagon 1997),

(30)

Ta formuła, znana jako formuła BBP, została odkryta przy użyciu algorytmu PSLQ (Ferguson et al. 1999) i jest równoważna

(31)

Istnieje szereg wzorów typu BBP na w potęgach , z których pierwsze kilka niezależnych wzorów to

			(32)
			(33)
			(34)
			(35)
			(36)
			(37)

Podobnie, istnieje szereg wzorów typu BBP dla w potęgach , z których kilka pierwszych niezależnych wzorów to

			(38)
			(39)
			(40)
			(41)
			(42)
			(43)
			(44)
			(45)	(45)
			(46)
			(47)
			(48)

F. Bellard znalazł szybko zbieżną formułę typu BBP

pi=1/(2^6)sum_(n=0)^infty((-.1)^n)/(2^(10n))(-(2^5)/(4n+1)-1/(4n+3)+(2^8)/(10n+1)-(2^6)/(10n+3)-(2^2)/(10n+5)-(2^2)/(10n+7)+1/(10n+9)).

(49)

Pokrewną całką jest

(50)

(Dalzell 1944, 1971; Le Lionnais 1983, s. 22; Borwein, Bailey, and Girgensohn 2004, s. 3; Boros i Moll 2004, s. 125; Lucas 2005; Borwein et al. 2007, s. 14). Ta całka była znana przez K. Mahlera w połowie lat 60. i pojawia się w egzaminie na Uniwersytecie w Sydney w listopadzie 1960 roku (Borwein, Bailey i Girgensohn, s. 3). Beukers (2000) oraz Boros i Moll (2004, s. 126) stwierdzają, że nie jest jasne, czy istnieje naturalny wybór wielomianu racjonalnego, którego całka od 0 do 1 daje , gdzie 333/106 jest kolejną zbieżną. Istnieje jednak całka dla czwartej zbieżnej, mianowicie

(51)

(Lucas 2005; Bailey et al. 2007, s. 219). W rzeczywistości, Lucas (2005) podaje kilka innych takich całek.

Backhouse (1995) użył tożsamości

			(52)
			(53)
			(54)

dla dodatnich liczb całkowitych i oraz gdzie , , oraz są racjonalnymi stałymi, aby wygenerować pewną liczbę wzorów na . W szczególności, jeśli , to (Lucas 2005).

Podobny wzór został następnie odkryty przez Fergusona, prowadząc do dwuwymiarowej siatki takich formuł, która może być wygenerowana przez te dwie formuły dane przez

(55)

dla dowolnej wartości złożonej (Adamczyk i Wagon), dając wzór BBP jako szczególny przypadek .

PiFormulasWagonIdentity

Jeszcze bardziej ogólna tożsamość zawdzięczana Wagonowi jest dana przez

pi+4tan^(-1)z+2ln((1-2z-z^2)/(z^2+1))=sum_(k=0)^infty1/(16^k)

(56)

(Borwein i Bailey 2003, p. 141), która obowiązuje na obszarze płaszczyzny zespolonej z wyłączeniem dwóch trójkątnych części symetrycznie umieszczonych wokół osi rzeczywistej, jak pokazano powyżej.

Być może jeszcze dziwniejsza ogólna klasa tożsamości jest dana przez

pi=4sum_(j=1)^n((-1)^(j+1))/(2j-1)+((-1)^n(2n-1)!)/4sum_(k=0)^infty1/(16^k)

(57)

która zachodzi dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej , gdzie jest symbolem Pochhammera (B. Cloitre, pers. comm., Jan. 23, 2005). Co jeszcze bardziej zdumiewające, istnieje ściśle analogiczny wzór na logarytm naturalny z 2.

Po odkryciu wzoru BBP na 16 cyfr podstawy i pokrewnych wzorów, zaczęto badać podobne wzory w innych podstawach. Borwein, Bailey i Girgensohn (2004) pokazali ostatnio, że nie ma formuły arctangensa BBP typu Machina, która nie jest binarna, choć nie wyklucza to zupełnie innego schematu dla algorytmów ekstrakcji cyfr w innych bazach.

S. Plouffe opracował algorytm obliczania cyfry z w dowolnej bazie w krokach.

Szeroki zestaw dodatkowych tożsamości należnych Ramanujanowi, Catalanowi i Newtonowi jest podany przez Castellanosa (1988ab, str. 86-88), w tym kilka dotyczących sum liczb Fibonacciego. Ramanujan znalazł

(58)

(Hardy 1923, 1924, 1999, p. 7).

Plouffe (2006) znalazł piękny wzór

pi=72sum_(n=1)^infty1/(n(e^(npi)-1))-96sum_(n=1)^infty1/(n(e^(2npi)-1)) +24sum_(n=1)^infty1/(n(e^(4npi)-1)).

(59)

PiBlatnerProduct

Ciekawy wzór na iloczyn nieskończony zawdzięczany Eulerowi, który dotyczy i liczby pierwszej to

			(60)
			(61)

(Blatner 1997, p. 119), wykreślony powyżej jako funkcja liczby wyrazów w iloczynie.

Metodę podobną do metody Archimedesa można zastosować do oszacowania zaczynając od gonu, a następnie odnosząc pole kolejnych gonów. Niech będzie kątem poprowadzonym ze środka jednego z odcinków wielokąta,

(62)

(63)

(Beckmann 1989, pp. 92-94).

Vieta (1593) jako pierwszy podał dokładne wyrażenie na przyjmując w powyższym wyrażeniu, dając

(64)

co prowadzi do nieskończonego iloczynu zagnieżdżonych radykalnych,

2/pi=sqrt(1/2)sqrt(1/2+1/2sqrt(1/2))sqrt(1/2+1/2sqrt(1/2)))...

(65)

(Wells 1986, s. 50; Beckmann 1989, s. 95). Jednak rygorystycznie udowodniono zbieżność tego wyrażenia dopiero u Rudio w 1892 roku.

Pokrewny wzór jest dany przez

pi=lim_(n-infty)2^(n+1)sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+....+sqrt(2))))_()_(n)),

(66)

którą można zapisać

(67)

gdzie jest zdefiniowane za pomocą iteracji

(68)

z (J. Munkhammar, pers. comm., 27 kwietnia 2000 r.). Wzór

(69)

jest również blisko spokrewniona.

Piękny wzór na jest dany przez

(70)

gdzie licznik jest postacią wzoru Wallisa dla , a mianownik jest sumą teleskopową z sumą 1/2, gdyż

(71)

(Sondow 1997).

Szczególny przypadek wzoru Wallisa daje

(72)

(Wells 1986, s. 50). Wzór ten można również zapisać

(73)

gdzie oznacza współczynnik dwumianowy, a jest funkcją gamma (Knopp 1990). Euler otrzymał

(74)

co wynika ze szczególnej wartości funkcji zeta Riemanna . Podobne wzory wynikają z dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich .

Suma nieskończona zawdzięczana Ramanujanowi to

(75)

(Borwein et al. 1989; Borwein i Bailey 2003, s. 109; Bailey et al.2007, s. 44). Dalsze sumy są podane u Ramanujana (1913-14),

(76)

			(77)
			(78)

(Beeler et al. 1972, poz. 139; Borwein et al. 1989; Borwein i Bailey 2003, s. 108; Bailey et al. 2007, s. 44). Równanie (78) jest wyprowadzone z tożsamości modularnej rzędu 58, choć pierwsze wyprowadzenie nie zostało przedstawione przed Borwein i Borwein (1987). Powyższe serie dają

(79)

(Wells 1986, s. 54) jako pierwsze przybliżenie i zapewniają, odpowiednio, około 6 i 8 miejsc po przecinku na każdy człon. Szeregi takie istnieją ze względu na racjonalność różnych niezmienników modularnych.

Ogólna postać szeregu to

(80)

gdzie jest wyróżnikiem binarnej formy kwadratowej, jest funkcją j,

			(81)
		$(b(t))/6{1-.(E_4(t))/(E_6(t))},$	(82)

i są szeregami Eisensteina. W polu o numerze klasy występują całkowite liczby algebraiczne stopnia o stałych , i . Spośród wszystkich szeregów składających się tylko z wyrazów całkowitych, ten dający najwięcej cyfr liczbowych w najkrótszym czasie odpowiada największemu wyróżnikowi klasy numer 1 i został sformułowany przez braci Chudnovsky (1987). Występująca tu liczba 163 jest tą samą, która pojawia się w fakcie, że (stała Ramanujana) jest bardzo blisko liczby całkowitej. Podobnie, czynnik pochodzi z tożsamości funkcji j dla . Szereg jest dany przez

			(83)
			(84)

(Borwein i Borwein 1993; Beck i Trott; Bailey et al. 2007, s. 44). Szereg ten daje 14 cyfr dokładnie na jeden człon. To samo równanie w innej formie zostało podane przez braci Chudnovsky (1987) i jest używane przez język Wolfram do obliczania (Vardi 1991; Wolfram Research),

(85)

gdzie

			(86)
			(87)
			(88)

Najlepszy wzór dla klasy numer 2 (największa wyróżnialność ) to

(89)

gdzie

			(90)
			(91)
			(92)

(Borwein i Borwein 1993). Ten szereg dodaje około 25 cyfr dla każdego dodatkowego członu. Najszybciej zbieżna seria dla klasy numer 3 odpowiada i daje 37-38 cyfr na każdy termin. Najszybciej zbieżny szereg dla klasy numer 4 odpowiada i wynosi

(93)

gdzie

			(94)
			(95)
			(96)

Daje to 50 cyfr na termin. Borwein i Borwein (1993) opracowali ogólny algorytm generowania takich serii dla dowolnego numeru klasy.

Kompletne zestawienie serii Ramanujana dla znalezionych w jego drugim i trzecim zeszycie podaje Berndt (1994, s. 352-354),

			(97)
			(98)
			(99)
			(100)
			(101)
			(102)
			(103)
			(104)
			(105)
			(106)
			(107)
			(108)
			(109)
			(110)
			(111)
			(112)
			(113)

Równania te zostały po raz pierwszy udowodnione przez Borweina i Borwein (1987a, s. 177-187). Borwein i Borwein (1987b, 1988, 1993) udowodnili inne równania tego typu, a Chudnovsky i Chudnovsky (1987) znaleźli podobne równania dla innych stałych transcendentalnych (Bailey et al. 2007, s. 44-45).

Pełna lista niezależnych znanych równań tego typu jest podana