Modelagem de bactérias multi-flageladas
Comecemos por construir um modelo computacional da locomoção de uma bactéria peritrichosa, conforme descrito na seção Métodos com detalhes matemáticos em informações suplementares. Consideramos uma bactéria propulsionada por Nf flagella (Fig. 2A) com um corpo celular em forma de elipsóide alongada. Cada flagelo é constituído por: (i) um motor rotativo que gera uma taxa de rotação fixa em torno do eixo do filamento flagelar; (ii) um gancho flexível curto tratado como uma mola de torção em torno do eixo motor cuja hidrodinâmica pode ser negligenciada17; (iii) um filamento flagelar helicoidal da forma polimérica normal esquerdina cuja hidrodinâmica é capturada com a teoria do corpo delgado24. Os parâmetros do motor e do filamento são escolhidos para corresponder aos da bactéria E. coli7 (Tabela S1 em informação suplementar). Cada filamento helicoidal tem uma extremidade cónica de tal forma que o raio da hélice é zero no seu ponto de fixação ao motor25. Os filamentos flagelares podem girar mas não traduzir em relação ao seu ponto de fixação no corpo da célula e enquanto a rotação sobre o eixo da hélice é imposta pelo motor, quaisquer outras rotações em relação ao corpo são resolvidas. Nós negligenciamos as interações hidrodinâmicas entre o corpo celular e os filamentos flagelares, mas incluímos interações estéreis para evitar que os filamentos entrem no corpo. Para cada gancho, usamos θ para denotar o ângulo de inclinação entre o normal e o corpo celular no local do motor e o eixo do filamento flagelar (ou seja, quando θ = 0 o filamento é normal para o corpo celular). O momento elástico de restauração imposto por cada motor ao seu filamento flagelar é modelado como mola de torção da constante da mola \(K=EI/{\i}_{h}_), onde EI e {\i}_{h}_) são a rigidez de flexão e comprimento do gancho respectivamente16. A magnitude do momento de restauração é assim dada por K|θ| e a elasticidade do gancho age para alinhar o eixo da hélice com o normal ao corpo da célula. O modelo computacional resolve para as posições instantâneas dos filamentos flagelares e para a velocidade de natação, Ub, e velocidade angular, Ωb, do corpo celular em função da rigidez do gancho.
(A) Modelo computacional de uma bactéria peritrichosa que actua os filamentos helicoidais de Nf (raio Rh; ângulo de inclinação β), rodando-os em torno do seu eixo com velocidade angular prescrita. O gancho flexível age elasticamente para alinhar o eixo da hélice com o eixo normal (que é o que se obtém com a velocidade angular prescrita) ao corpo da célula. (B) Modelo simplificado para capturar a instabilidade elastohidrodinâmica. Dois filamentos rectos activos de comprimento ligados de cada lado de um corpo esférico de raio são inclinados num ângulo ±θ da superfície do corpo celular normal, e actuam sobre a célula com uma força tangencial.
As bactérias com ganchos flexíveis sofrem uma instabilidade de natação
Examinar os resultados do nosso modelo computacional revela uma notável instabilidade elastohidrodinâmica, ilustrada na Fig. 3 no caso de Nf = 4 flagelos, o número médio de flagelos em uma célula de E. coli6. Os motores são posicionados simetricamente ao redor da superfície do corpo da célula. Iniciamos os cálculos com cada filamento flagelar inclinado em algum ângulo pequeno em relação ao normal para a superfície e avançamos o sistema no tempo enquanto seguimos a posição da célula na estrutura do laboratório e dos filamentos flagelares em relação ao corpo da célula. Filmes associados estão disponíveis online (ver informação suplementar).
Moção de natação para uma bactéria com Nf = 4 flagelos com um gancho flexível vs. rígido. (A) Posição inicial e conformação de cada célula. (B) Célula de empurrar com gancho flexível em t = 200 (vezes escalonada por taxa de rotação do flagelo). (C) Célula de empurrar com gancho rígido em t = 200. (D) Distância percorrida por cada nadador (não dimensionada pelo passo dos filamentos helicoidais) em função do tempo para quatro nadadores diferentes: rígido (diamantes) vs. gancho flexível (quadrados) e empurrador (símbolos preenchidos) vs. puxador (vazio).
Na Fig. 3A-C ilustramos a trajetória de uma bactéria pusher (ou seja, uma célula com filamentos flagelares submetidos a uma rotação CCW normal) com duas diferentes rigidez de gancho em uma escala de tempo t = 200 (tempo não dimensionado pela taxa de rotação do flagelo). Enquanto ambos começam no mesmo local (A), a célula com o gancho flexível (K = 0.1) acaba com seus filamentos flagelares todos enrolados na parte de trás e é capaz de nadar cinco vezes mais rápido (B) do que a célula com gancho rígido (K = 100) cujos filamentos flagelares permaneceram na mesma configuração jogada (C). Isto é quantificado na Fig. 3D onde plotamos a distância da rede percorrida em função do tempo (escalada pelo passo da hélice). A célula com um gancho flexível (quadrado preenchido) nada consistentemente mais rápido do que a rígida (diamante preenchido). Se, alternativamente, invertermos a direção de rotação do flagelo para girar no sentido horário (CW), a célula se torna um puxador e não faz a transição para nadar rápido, nem para um gancho flexível (quadrados vazios) nem para um rígido (diamantes vazios). Note que as duas caixas rígidas (empurradores e puxadores; diamantes) têm magnitude de natação idêntica, uma consequência da reversibilidade cinemática dos fluxos de Stokes5. É importante notar que a transição para a natação rápida das bactérias empurradoras flexíveis não ocorre suavemente com mudanças na rigidez do gancho, mas sim a um valor crítico sem dimensões de Kc ≈ 1 (não dimensionado utilizando a viscosidade do fluido, o passo do filamento helicoidal e a frequência de rotação). Acima de Kc, todos os flagelos permanecem normais para a célula (θ ≈ 0) levando a um nado insignificante enquanto abaixo de Kc, todos os flagelos se envolvem atrás da célula (|θ| ≈ π/2) levando a uma locomoção da rede.
Esta transição brusca não se origina de uma instabilidade do gancho que só é modelada aqui ao nível de uma mola de torção16. Ao invés disso, a instabilidade surge do acoplamento bidirecional entre a conformação do flagelo e a locomoção da célula. Para desvendar a física desta instabilidade, consideramos com mais detalhes o caso de um corpo celular esférico e dois flagelos, que é a configuração mínima capaz de mostrar a instabilidade enquanto captura a mesma física dos casos geometricamente complexos (ver filmes associados em informações suplementares). Os resultados computacionais em estado estacionário neste caso são mostrados na parte principal da Fig. 4 (símbolos e linhas finas) para o ângulo θ entre o eixo dos filamentos flagelares e o corpo da célula (A) e para a velocidade de natação U da célula (B) da rede de laboratório. Enquanto a conformação flagelar da bactéria puller é independente da rigidez do gancho e leva a nado zero (círculos vermelhos claros), as células do puller mostram claramente um salto repentino para uma conformação enrolada e uma locomoção da rede para uma rigidez do gancho abaixo de Kc ≈ 0.79 (olheiras azuis escuras).
Ângulos de inclinação do flagelo em estado estável (|θ|, A) e velocidades de natação em laboratório (U, B) para o modelo computacional completo da Fig. 2A com dois flagelos (símbolos e linhas finas) e para o modelo de filamento ativo simples da Fig. 2B (linhas grossas) em função da constante de mola de gancho sem dimensões, K. Linha verde e símbolos vermelho claro: bactéria puller para a qual o estado de não nadar é sempre estável; linha vermelha escura e símbolos azul escuro: bactéria pusher que sofre uma transição para nadar para K < Kc. A linha tracejada mostra a constante crítica da mola prevista teoricamente, Kc ≈ 0.53.
Modelo analítico da instabilidade elastohidrodinâmica
A dinâmica observada pode ser capturada por um modelo analítico demonstrando que a natação ocorre como resultado de uma instabilidade elastohidrodinâmica linear. Considere o modelo geométrico simples ilustrado na Fig. 2. Dois filamentos retos ativos de comprimento são ligados simetricamente em ambos os lados de um corpo celular esférico de raio a e são inclinados por ângulos simétricos ±θ em relação à superfície do corpo normal, (note que o modo de inclinação assimétrica, não considerado aqui, levaria a uma transição em rotação ao invés de translação). Cada filamento, ligado elasticamente ao corpo celular através de um gancho modelado como uma mola de torção de rigidez K, empurra a célula ao longo da sua direcção tangencial com densidade de força propulsora (fhat) que resulta no nadar da bactéria com velocidade (Uhat) (ver Fig. 2 para todas as notações). Para o movimento CCW, as forças de propulsão apontam para o corpo da célula (f < 0) e a célula é um empurrador. Em contraste, para o movimento CW, as forças propulsoras apontam para longe da célula (f > 0) e o nadador é um puxador. Usando c||| e c⊥ para denotar os coeficientes de arrasto para um filamento esbelto movendo-se paralelamente e perpendicularmente à sua tangente respectivamente (ver material suplementar), o equilíbrio de forças em toda a célula no sentido do nado, \está escrito como 8983>
A segunda equação vem do equilíbrio de momento em cada filamento ativo, escrito na direcção do ponto de fixação na superfície da célula como
onde o primeiro termo é o momento hidrodinâmico devido à rotação do filamento, o segundo é o momento hidrodinâmico devido ao arrastamento da natação e o último termo é o momento de restauração elástica do gancho agindo para retornar o filamento à sua configuração reta. A combinação de Eqs (1) e (2) leva a uma equação de evolução para θ
Quando o momento elástico domina, a configuração reta θ = 0 é o único estado estável, associado com a ausência de natação. Se em vez disso o momento elástico é insignificante, os estados de natação com θ = ±π/2 tornam-se possíveis equilíbrios.
Para examinar como uma variação da rigidez do gancho permite a transição de um estado para o seguinte, resolvemos Eq. (3) numericamente com os valores de filamento flagelar apropriados para uma célula de E. coli tipo selvagem e usando a magnitude de f que leva à concordância com os cálculos completos da rigidez do gancho a zero (ver material suplementar). Começamos com pequenas perturbações em torno de θ = 0 e calculamos o estado estável de longa duração de Eq. (3), com resultados ilustrados na Fig. 4 tanto para o empurrador (linha vermelha escura) como para o puxador (linha verde). As células do extrator nunca nadam por qualquer valor da rigidez do gancho, e a configuração reta θ = 0 é sempre estável. Em contraste, os empurradores não podem nadar para uma maior rigidez dos ganchos do que um valor crítico, mas passam por uma súbita transição para a natação direta para ganchos mais macios, em excelente concordância com os cálculos da caixa completa de duas bandeiras (símbolos na Fig. 4).
A súbita transição para a natação para uma rigidez crítica dos ganchos pode ser prevista analiticamente através da linearização Eq. (3) próximo do equilíbrio em θ = 0, levando a
Se f for positivo (puller) então a configuração com θ = 0, que está associada a não nadar U = 0, é sempre linearmente estável a pequenas perturbações para qualquer valor de K. Em contraste, os pulsadores com f < 0 são linearmente instáveis para K < Kc tal que o lado direito de Eq. (4) se torna positivo, ou seja, {K}_{c}=-,f{c}_{\perp }{\i}{3}/(2{c}_{\i}_perp {\i a)}. Uma instabilidade linear elasto-hidrodinâmica permite, portanto, que bactérias empurradoras com ganchos suficientemente flexíveis transitem dinamicamente para uma conformação assimétrica (θ ≠ 0) com natação em rede (U ≠ 0). Note-se que o modelo teórico simples (estabilidade linear e solução numérica de Eq. 3) prevê uma rigidez sem dimensão crítica de Kc ≈ 0.53, de acordo com os cálculos para o modelo bacteriano completo, Kc ≈ 0.79.