Geometria: Linhas e ângulos

Linhas e ângulos compõem quase todas as formas geométricas. Então vamos mergulhar na geometria discutindo estes elementos muito básicos de formas.

Agora podemos começar a falar sobre Geometria. E a Geometria, claro, é o estudo das formas. Agora para algumas pessoas que são orientadas visualmente, a Geometria vem muito naturalmente. E para outras pessoas que não desenvolveram as suas capacidades visuais, a Geometria pode ser um pouco mais difícil.

Especialmente para as pessoas para quem a Geometria é um pouco mais difícil, eis o que vou dizer.

Não é suficiente simplesmente ver estes vídeos. Depois de ver estes, pegue papel e uma régua e desenhe estas diferentes formas, na verdade, desenhe fisicamente no papel. E constrói formas e objectos físicos. Você pode usar lápis, palitos, palhinhas, qualquer coisa do género. Na verdade, construir triângulos, construir rectângulos, olhar para eles.

Usa as tuas mãos!

Usa as tuas mãos, as nossas mãos são na verdade parte da nossa inteligência. Estás a usar as tuas mãos, estás a envolver todas as partes do cérebro. Isso vai tornar muito mais fácil, compreender todas estas relações.

Então vamos começar com as linhas. As linhas são rectas e vão para sempre em ambas as direcções. Aqui temos um monte de linhas rectas diferentes, num monte de direcções diferentes. Você tem que imaginar que no final de cada linha existem algumas flechas ou algo parecido. Isto indica que as linhas realmente seguem para sempre em ambas as direções.

Linhas e ângulos: Todas as linhas são rectas

É muito importante não confundir rectas com horizontais. Essas duas palavras têm significados muito diferentes, mas às vezes, há alguns alunos que as confundem. Todas as linhas são retas. Então todas as linhas que tínhamos no slide anterior, linhas indo em direções diferentes, todas elas são linhas retas.

E você pode sempre assumir que uma linha é reta no teste. Se parecer reta, é reta. Isso é sempre verdade no teste. Mas algumas linhas são desenhadas horizontalmente por conveniência. No entanto, você nunca pode assumir que as linhas são exatamente horizontais ou verticais, simplesmente porque elas aparecem assim. Agora as pessoas ficam muito confusas com isto. Você fica confuso se pensa que horizontal e reta significam a mesma coisa.

Então nós dizemos que você pode assumir a partir do teste que as linhas são retas. As pessoas erroneamente assumem que isso também significa que podem assumir que as linhas são horizontais, e isso não é correto. Um segmento de linha é uma peça finita de uma linha.

Exemplo

Então, por exemplo, aqui temos um segmento de linha, ele tem dois pontos finais. E quando estes pontos finais são rotulados, isso torna mais fácil de discutir.

Este é o segmento de linha AB. E para o propósito do teste, AB pode tanto significar a forma real do segmento de linha em si. Ou pode significar o comprimento do segmento de linha, o comprimento numérico. Um ângulo ocorre entre duas linhas, ou dois segmentos. Por exemplo, aqui temos um ângulo.

Linhas e ângulos: Entendendo ângulos

Acontece que isto está entre uma linha e um segmento. A melhor maneira de entender um ângulo é pensar nele dinamicamente, como o ato de girar ou girar. Então, em outras palavras, indo daqui para aqui. Isso é o que é um ângulo, é esse espaço dinâmico entre as duas linhas. Se etiquetarmos pontos, podemos falar de um ângulo.

Etiquetagem de ângulos

Podíamos chamar a este ângulo CDE ou EDC, Ponto D, o vértice do ângulo. Aqui mesmo, o ponto do ângulo deve estar no meio do nome. E assim, podemos chamar CDE ou EDC, desde que o vértice esteja no meio. Às vezes, nestes vídeos, também vou usar o nome do ângulo único, se não houver ambigüidade. Por exemplo, só há um ângulo neste diagrama.

Então eu poderia chamá-lo de ângulo D. Teoricamente, isso poderia ocorrer no teste. Embora o teste seja frequentemente cuidadoso o suficiente para usar um nome de três letras sempre para um ângulo. Nós medimos o tamanho de um ângulo em graus. O teste pode indicar estes directamente, por isso 50 graus.

Alternately, o teste pode rotular o diagrama e indicar a medida do ângulo no texto. Portanto, ângulo GFH = 50 graus porque eles colocam letras nos pontos do diagrama. Podemos usar isso apenas para falar sobre essa medida, no número de graus no texto. Na verdade, o que provavelmente é favorito é o seguinte: basta especificar o ângulo, com um número variável de graus.

Flexible Format of Testing

Este formato flexível lhes permite ou especificar o ângulo, pois no texto, eles poderiam dizer x = 50, ou eles poderiam fazer uma pergunta sobre isso. Eles poderiam nos dar outras informações e dizer encontrar x. Então eles gostariam de fazer isso. Faremos uma rápida revisão dos fatos de graduação básica. Em um ângulo reto, há 180 graus e, é claro, lembre-se que uma linha reta pode ir em qualquer direção.

Mas se houver algum ponto na linha reta, de um lado para o outro da linha. Isso é 180 graus, há 90 graus num ângulo recto. Então aqui temos duas linhas que se cruzam em ângulos rectos. Na verdade, há quatro ângulos rectos nesse cruzamento. Se as duas linhas ou segmentos se encontram em ângulos retos, são chamados perpendiculares, esse é um termo que você deve conhecer.

Linhas perpendiculares e ângulos rectos

O teste pode desenhar aquele pequeno quadrado, o sinal perpendicular, que é aquele pequeno quadrado, ou pode indicar que o ângulo é de 90 graus. Pode rotular 90 graus no diagrama ou X graus e dizer-nos no texto que X é igual a 90. Há várias maneiras de nos dizer que é um ângulo de 90 graus. Não assuma que duas linhas são perpendiculares se não lhe disserem isso explicitamente, isto é muitas vezes uma armadilha.

Suponha que estes pontos aparecem como parte de um diagrama maior, e nenhuma outra informação é dada. Certamente parece que estes podem estar em um ângulo reto, e isso é uma coisa muito tentadora de se assumir. O teste adoraria que você cometesse o erro, de assumir que as linhas são perpendiculares, e que o ângulo é exatamente igual a 90 graus.

Na verdade não, eu desenhei isto para que, aquele ângulo tenha um ângulo de 89,6 graus. Então, está perto de ser um ângulo reto, e pode parecer um ângulo reto a olho nu. Mas nenhuma das propriedades especiais do ângulo reto é verdade.

E nos próximos vídeos, vamos falar mais sobre as propriedades especiais do ângulo recto. Nenhuma das propriedades especiais de ângulo reto é verdade, se o ângulo estiver perto de 90 mas não exactamente 90.

Muito importante, então você não pode assumir que duas linhas são perpendiculares, a menos que você tenha algum tipo de justificativa para fazer isso.

Linhas e ângulos: Formas Congruentes

Um termo que vou introduzir, que provavelmente não aparecerá no teste, é congruente. Congruente é como se fosse igual, para formas. Nós usamos o conceito de igual para um número, e o conceito muito semelhante de “congruente” para formas.

Duas formas são congruentes se tiverem a mesma forma e o mesmo tamanho.

Não têm que ter a mesma orientação. Assim, por exemplo, as formas roxa e verde aqui são congruentes, uma é virada sobre a outra. Uma é uma versão à direita, e a outra é uma versão à esquerda, mas é fundamentalmente a mesma forma.

Estes dois são congruentes, embora tenham orientações diferentes.

Bissetores

Um bissetriz corta algo em duas peças congruentes. Uma bissetriz angular corta um ângulo em dois ângulos congruentes menores. Então, por exemplo, aqui temos uma bissetriz angular. Se nos for dito, por exemplo, que o ângulo grande, PNM é 40 graus, e que NQ divide o ângulo – então podemos deduzir que os dois ângulos menores cada um tem que ser de 20 graus.

Têm de ser exactamente metade iguais um ao outro, porque o ângulo foi bissectado. Da mesma forma, a bissetriz de um segmento pode ser um ponto, outro segmento, ou uma linha. A bissetriz divide o segmento em duas metades iguais. Observe aqui o segmento ST bissetriz PQ. Note também que é definitivamente verdade que PQ não bissecta ST, porque SR é claramente maior que RT.

Então o fato de que ST bissecta PQ significa que R é o ponto médio de PQ, e que PR = RQ. Dividimo-lo em duas metades iguais, e mais uma vez, é sempre isso que significa bissectar. Às vezes, uma linha irá bissetar um segmento e também será perpendicular a ele. A linha é chamada de bissetriz perpendicular do segmento.

Linha VW é perpendicular, é a bissetriz perpendicular da TU. Cada ponto da bissetriz perpendicular de um segmento é equidistante dos dois pontos finais do segmento. E isso é um fato muito útil de se saber, que aparece de várias maneiras. A bissetriz perpendicular de fato é o conjunto de todos os pontos possíveis, que estão equidistantes dos dois pontos finais do segmento.

Linhas e ângulos: Vejamos os ângulos

Agora alguns factos básicos sobre os ângulos. Nós já dissemos que uma linha reta contém 180 graus. Isto significa que se dois ou mais ângulos estiverem em linha reta, a soma dos seus ângulos é de 180 graus. Então, por exemplo, podemos assumir que essa longa linha é reta. Ela não tem nenhuma espécie de ligeira curva nesse ponto.

O teste não nos fará isso, se parecer reta, ela é reta. E, portanto, sabemos que esses dois ângulos juntos fazem 180. Então, x + y = 180. Se os dois ângulos somarem 180, então eles são chamados de suplementares. Dois ângulos em linha recta são sempre suplementares. Então, p + q = 180.

Quando duas linhas se cruzam

Quando duas linhas se cruzam, são formados quatro ângulos. Então aqui temos duas linhas que se cruzam para sempre nas duas direções, elas têm que se cruzar, e estes quatro ângulos são formados. Os pares de ângulos opostos, compartilhando apenas o vértice em comum, são chamados de ângulos verticais, e os ângulos verticais são sempre congruentes. Assim, por exemplo, A e C, eles não compartilham nenhum lado.

Tudo que a e c têm em comum é que eles se tocam em um único vértice. Eles tocam no vértice, b e d também tocam no vértice. E é por isso que são chamados de ângulos verticais, porque se encontram num vértice. Então sabemos que os ângulos verticais são congruentes, sabemos que a = c, e b = d. É claro, os pares de ângulos um ao lado do outro, a + b, b + c, todos eles são suplementares.

Todos eles somam até 180 graus, porque temos pares de ângulos em uma linha. Portanto, se nos foi dado um ângulo neste diagrama, podemos encontrar os outros três. Por exemplo, se a = 35, sabemos que c tem de ser igual. Isso também tem que ser 35 graus. E b e d tem que ser o ângulo suplementar de 145 graus. Para que quaisquer dois pares juntos, quaisquer dois ângulos juntos em um par, somem até 180 graus.

Linhas e ângulos: Problema de Prática Um

Aqui está um problema de prática, pausa o vídeo e depois falamos sobre isto.

Okay No diagrama x = 40 graus e RT bifurca o grande ângulo SRU, que é um ângulo muito grande. Bem SRU é o ângulo suplementar a esse ângulo de 40 graus, portanto SRU tem que ser 180 menos 40 que seria 140. Portanto, a SRU é de 140.

E este ângulo é bissectado, porque é bissectado e cortado em duas metades iguais. Então há duas metades cada uma tem de estar a 70 graus. SRT =70 graus, TRU = 70 graus. Essas são as duas metades iguais do ângulo que foi bissectado. Agora repara que o ângulo TRV, esse ângulo é feito de TRU e o ângulo x, que nós sabemos.

Sabemos que TRU é 70 graus, sabemos que o ângulo X é 40 graus, então os somamos juntos. TRV tem que ser um ângulo de 110 graus. Agora repara que TRV é o ângulo vertical de SRW, por isso esses dois têm de ser iguais. Então isso significa que SRW também tem que ser um ângulo de 110 graus, então Y é igual a 110. Finalmente, vamos rever as linhas paralelas.

Linhas e ângulos: Linhas paralelas

Se duas linhas são paralelas, nunca se cruzam, e estão sempre exactamente à mesma distância entre si. E mais uma vez, esta é outra destas propriedades, como perpendicular, próxima à paralela, não conta para o feijão. Você tem que saber que as duas linhas são exatamente paralelas. Obviamente, como as linhas paralelas nunca se cruzam, elas nunca formam ângulos uma com a outra.

Linhas Transversais

Mas obtemos muitos ângulos, se uma terceira linha não paralela cortar as duas linhas paralelas. Esta terceira linha é chamada de transversal. Uma transversal é uma linha que corta através de duas linhas paralelas. Então aqui temos um corte transversal através das linhas paralelas WX e YZ. E aí temos oito anjos.

Agora os quatro grandes anjos são todos iguais. E os quatro pequenos anjos são todos iguais. Então em outras palavras a = d = e = h e b = c = f = g, essa é a grande idéia. Agora, entre estes, é claro que você pode se lembrar da geometria, há todo tipo de nomes especiais.

Alternar interior e mesmo lado exterior e ângulos correspondentes. Se você quiser lembrar todos esses nomes especiais, isso é ótimo, você não precisa lembrar. Tudo que você precisa lembrar é que todos os ângulos grandes são iguais, todos os ângulos pequenos são iguais. Então aqui está o diagrama novamente, e agora eu o identifiquei para que fique claro que tudo é igual.

Linhas e ângulos: Ângulos Suplementares

Notem também que p e q são suplementares. Então qualquer ângulo grande mais qualquer ângulo pequeno é igual a 180 graus, isso é uma ideia realmente grande. Assim, se nos for dado o grau de qualquer um dos ângulos aqui, podemos encontrar os outros sete. Em resumo, falamos de linhas e segmentos de linha, falamos de ângulos e graus.

Apontamos que existem 180 graus num ângulo recto, e 90 graus num ângulo recto. Falamos de bissetores de ângulo e de bissetores perpendiculares. Um bissetriz de ângulo divide um ângulo em dois ângulos iguais menores. Uma bissetriz perpendicular é perpendicular a um segmento, e divide-o em duas metades iguais.

Falamos sobre como dois ângulos em uma linha são suplementares. Os ângulos verticais são congruentes. E falámos dos ângulos formados por um transversal, intersectando um par de linhas paralelas. E vamos falar sobre muitas aplicações destas ideias fundamentais, nos próximos vídeos.