Integração

Integração, em matemática, técnica de encontrar uma função g(x) cuja derivada, Dg(x), é igual a uma dada função f(x). Isto é indicado pelo sinal integral “∫”, como em ∫f(x), normalmente chamado de integral indefinido da função. O símbolo dx representa um deslocamento infinitesimal ao longo de x; assim ∫f(x)dx é a soma do produto de f(x) e dx. A integral definida, escrita

 O físico nascido na Itália, Dr. Enrico Fermi desenha um diagrama em um quadro negro com equações matemáticas. cerca de 1950.
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Depoimento do integral definido.

com a e b chamados limites de integração, é igual a g(b) – g(a), onde Dg(x) = f(x).

Alguns antiderivados podem ser calculados simplesmente lembrando qual função tem uma determinada derivada, mas as técnicas de integração envolvem principalmente classificar as funções de acordo com que tipos de manipulações irão mudar a função para uma forma cujo antiderivado pode ser mais facilmente reconhecido. Por exemplo, se alguém está familiarizado com derivadas, a função 1/(x + 1) pode ser facilmente reconhecida como derivada do loge(x + 1). O antiderivado de (x2 + x + 1)/(x + 1) não pode ser tão facilmente reconhecido, mas se escrito como x(x + 1)/(x + 1) + 1/(x + 1) = x + 1/(x + 1), então pode ser reconhecido como a derivada de x2/2 + loge(x + 1). Uma ajuda útil para a integração é o teorema conhecido como integração por partes. Nos símbolos, a regra é ∫fDg = fg – ∫gDf. Ou seja, se uma função é o produto de duas outras funções, f e uma que pode ser reconhecida como derivada de alguma função g, então o problema original pode ser resolvido se for possível integrar o produto gDf. Por exemplo, se f = x, e Dg = cos x, então ∫x-cos x = x-sin x – ∫sin x = x-sin x – cos x + C. As integrais são usadas para avaliar quantidades como área, volume, trabalho e, em geral, qualquer quantidade que possa ser interpretada como a área sob uma curva.

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