Matemática pode ser mais uma ciência ambiental do que imaginamos. Mesmo sendo uma busca por verdades eternas, muitos conceitos matemáticos traçam suas origens para a experiência cotidiana. A astrologia e a arquitetura inspiraram egípcios e babilônios a desenvolver a geometria. O estudo da mecânica durante a revolução científica do século XVII nos trouxe o cálculo.
Especialmente, as idéias da teoria quântica acabam carregando também um tremendo poder matemático, embora tenhamos pouca experiência diária lidando com partículas elementares. O mundo bizarro da teoria quântica – onde as coisas podem parecer estar em dois lugares ao mesmo tempo e estão sujeitas às leis da probabilidade – não só representa uma descrição mais fundamental da natureza do que a que a precedeu, como também fornece um rico contexto para a matemática moderna. Poderia a estrutura lógica da teoria quântica, uma vez totalmente compreendida e absorvida, inspirar um novo reino da matemática que poderia ser chamado de “matemática quântica”?
Há, naturalmente, uma relação íntima e duradoura entre a matemática e a física. Galileu escreveu, famoso, sobre um livro da natureza à espera de ser descodificado: “A Filosofia está escrita neste grande livro, o universo, que está continuamente aberto ao nosso olhar. Mas o livro não pode ser compreendido a menos que se aprenda primeiro a compreender a linguagem e a ler as letras em que é composto. Ele é escrito na linguagem da matemática”. Dos tempos mais modernos, podemos citar Richard Feynman, que não era conhecido como um conhecedor da matemática abstrata: “Para aqueles que não conhecem Matemática, é difícil encontrar um sentimento real sobre a beleza, a beleza mais profunda, da natureza. … Se você quer aprender sobre a natureza, para apreciar a natureza, é necessário entender a linguagem em que ela fala”. (Por outro lado, ele também afirmou: “Se toda a matemática desaparecesse hoje, a física recuaria exactamente uma semana”, para a qual um matemático tinha a riposta inteligente: “Esta foi a semana em que Deus criou o mundo.”)
O físico matemático e Prémio Nobel Eugene Wigner escreveu eloquentemente sobre a espantosa capacidade da matemática para descrever a realidade, caracterizando-a como “a eficácia irrazoável da matemática nas ciências naturais.” Os mesmos conceitos matemáticos aparecem em uma ampla gama de contextos. Mas hoje em dia parece estarmos testemunhando o contrário: a eficácia desrazoável da teoria quântica na matemática moderna. As ideias que se originam na física das partículas têm uma tendência estranha para aparecer nos mais diversos campos matemáticos. Isto é especialmente verdade para a teoria das cordas. Sua influência estimulante na matemática terá um impacto duradouro e gratificante, seja qual for seu papel final na física fundamental. O número de disciplinas que toca é vertiginoso: análise, geometria, álgebra, topologia, teoria da representação, combinatória, probabilidade – a lista continua e continua. Começa-se a sentir pena dos alunos pobres que têm de aprender tudo isto!
Qual poderia ser a razão subjacente a esta eficácia pouco razoável da teoria quântica? A meu ver, está intimamente ligada ao facto de que no mundo quântico tudo o que pode acontecer acontece.
De uma forma muito esquemática, a mecânica clássica tenta calcular como uma partícula viaja de A para B. Por exemplo, o caminho preferido poderia ser ao longo de um geodésico – um caminho de comprimento mínimo num espaço curvo. Na mecânica quântica considera-se em vez disso a recolha de todos os caminhos possíveis de A a B, por muito longos e complicados que sejam. Esta é a famosa interpretação de Feynman “soma ao longo das histórias”. As leis da física irão então atribuir a cada caminho um certo peso que determina a probabilidade de uma partícula se mover ao longo dessa trajetória em particular. A solução clássica que obedece às leis de Newton é simplesmente a mais provável entre muitas. Assim, de uma forma natural, a física quântica estuda o conjunto de todos os caminhos, como um conjunto ponderado, permitindo-nos somar todas as possibilidades.
Esta abordagem holística de considerar tudo de uma só vez está muito no espírito da matemática moderna, onde o estudo de “categorias” de objetos se concentra muito mais nas relações mútuas do que em qualquer exemplo individual específico. É esta visão em olho de pássaro da teoria quântica que traz novas conexões surpreendentes.
Calculadoras Quânticas
Um exemplo marcante da magia da teoria quântica é a simetria de espelhos – uma equivalência verdadeiramente surpreendente de espaços que revolucionou a geometria. A história começa em geometria enumerativa, um ramo da geometria algébrica bem estabelecido, mas não muito excitante, que conta objetos. Por exemplo, os pesquisadores podem querer contar o número de curvas nos espaços de Calabi-Yau – soluções em seis dimensões das equações de gravidade de Einstein que são de particular interesse na teoria das cordas, onde elas são usadas para enrolar dimensões espaciais extras.
Apenas como você pode enrolar um elástico em torno de um cilindro várias vezes, as curvas em um espaço Calabi-Yau são classificadas por um inteiro, chamado grau, que mede a freqüência com que elas se enrolam. Encontrar o número de curvas de um determinado grau é um problema muito difícil, mesmo para o espaço Calabi-Yau mais simples, o chamado quintic. Um resultado clássico do século XIX afirma que o número de linhas – graus – uma curva – é igual a 2.875. O número de curvas grau-dois só foi computado por volta de 1980 e acaba por ser muito maior: 609.250. Mas o número de curvas de grau três requereu a ajuda dos teóricos das cordas.
Tudo o ano de 1990, um grupo de teóricos das cordas pediu aos geômetras para calcular este número. Os geômetros conceberam um programa de computador complicado e voltaram com uma resposta. Mas os teóricos das strings suspeitaram que estava errado, o que sugeriu um erro no código. Ao verificar, os geômetros confirmaram que havia, mas como os físicos sabiam?
Os teóricos das strings já estavam trabalhando para traduzir este problema geométrico em um problema físico. Ao fazer isso, eles tinham desenvolvido uma forma de calcular o número de curvas de qualquer grau de uma só vez. É difícil superestimar o choque deste resultado em círculos matemáticos. Era um pouco como conceber uma forma de escalar cada montanha, por mais alta que fosse!
Com a teoria quântica faz todo o sentido combinar o número de curvas de todos os graus numa única função elegante. Montada desta forma, tem uma interpretação física simples. Pode ser vista como uma amplitude de probabilidade de propagação de uma corda no espaço Calabi-Yau, onde o princípio da soma sobre-histórias foi aplicado. Uma corda pode ser pensada para sondar todas as curvas possíveis de todos os graus possíveis ao mesmo tempo e é, portanto, uma “calculadora quântica” super-eficiente”
Mas um segundo ingrediente foi necessário para encontrar a solução real: uma formulação equivalente da física usando o chamado “espelho” do espaço Calabi-Yau. O termo “espelho” é enganosamente simples. Em contraste com a forma como um espelho comum reflete uma imagem, aqui o espaço original e seu espelho são de formas muito diferentes; eles não têm nem mesmo a mesma topologia. Mas no reino da teoria quântica, eles compartilham muitas propriedades. Em particular, a propagação de cordas em ambos os espaços acaba por ser idêntica. O difícil cálculo no coletor original se traduz em uma expressão muito mais simples no coletor espelhado, onde pode ser computado por um único integral. Et voilà!
Dualidade de Iguais
Simetria de Espelho ilustra uma poderosa propriedade da teoria quântica chamada dualidade: Dois modelos clássicos podem tornar-se equivalentes quando considerados como sistemas quânticos, como se uma varinha de condão fosse acenada e todas as diferenças desaparecessem de repente. As dualidades apontam para simetrias profundas mas muitas vezes misteriosas da teoria quântica subjacente. Em geral, elas são mal compreendidas e uma indicação de que o nosso entendimento da teoria quântica é, na melhor das hipóteses, incompleto.
O primeiro e mais famoso exemplo de tal equivalência é a bem conhecida dualidade onda-partícula que afirma que cada partícula quântica, tal como um electrão, pode ser considerada tanto como uma partícula como uma onda. Ambos os pontos de vista têm as suas vantagens, oferecendo diferentes perspectivas sobre o mesmo fenómeno físico. O ponto de vista “correto” – partícula ou onda – é determinado unicamente pela natureza da questão, não pela natureza do elétron. Os dois lados da simetria do espelho oferecem perspectivas duplas e igualmente válidas sobre a “geometria quântica”
A matemática tem a maravilhosa capacidade de conectar mundos diferentes. O símbolo mais esquecido em qualquer equação é o humilde sinal de igualdade. As ideias fluem através dela, como se o sinal de igual conduzisse a corrente eléctrica que ilumina a lâmpada “Aha!” na nossa mente. E as linhas duplas indicam que as ideias podem fluir em ambas as direcções. Albert Einstein foi um mestre absoluto em encontrar equações que exemplificam esta propriedade. Tomemos E = mc2, sem dúvida a equação mais famosa da história. Em toda sua subestimada elegância, ela conecta os conceitos físicos de massa e energia que eram vistos como totalmente distintos antes do advento da relatividade. Através da equação de Einstein, aprendemos que a massa pode ser transformada em energia, e vice-versa. A equação da teoria geral da relatividade de Einstein, embora menos cativante e bem conhecida, liga os mundos da geometria e da matéria de uma forma igualmente surpreendente e bela. Uma forma sucinta de resumir essa teoria é que a massa diz ao espaço como curvar, e o espaço diz à massa como mover.
A simetria do espelho é outro exemplo perfeito do poder do sinal de igual. Ela é capaz de conectar dois mundos matemáticos diferentes. Um é o reino da geometria simétrica, o ramo da matemática que está subjacente a grande parte da mecânica. Do outro lado está o reino da geometria algébrica, o mundo dos números complexos. A física quântica permite que as idéias fluam livremente de um campo para o outro e proporciona uma inesperada “grande unificação” dessas duas disciplinas matemáticas.
É reconfortante ver como a matemática tem sido capaz de absorver tanto do raciocínio intuitivo, muitas vezes impreciso da física quântica e da teoria das cordas, e transformar muitas dessas idéias em declarações e provas rigorosas. Os matemáticos estão perto de aplicar essa exatidão à simetria de espelhos homológica, um programa que amplia enormemente a idéia original da teoria das cordas de simetria de espelhos. Em certo sentido, eles estão escrevendo um dicionário completo dos objetos que aparecem nos dois mundos matemáticos separados, incluindo todas as relações que eles satisfazem. Notavelmente, estas provas muitas vezes não seguem o caminho que os argumentos físicos tinham sugerido. Aparentemente não é o papel dos matemáticos limpar depois dos físicos! Pelo contrário, em muitos casos foi necessário desenvolver linhas de pensamento completamente novas para encontrar as provas. Esta é mais uma evidência da lógica profunda e ainda não descoberta que está subjacente à teoria quântica e, em última análise, à realidade.
Niels Bohr gostava muito da noção de complementaridade. O conceito surgiu do fato de que, como Werner Heisenberg provou com seu princípio da incerteza, na mecânica quântica pode-se medir ou o impulso p de uma partícula ou sua posição q, mas não as duas ao mesmo tempo. Wolfgang Pauli resumiu wittily esta dualidade em uma carta a Heisenberg datada de 19 de outubro de 1926, apenas algumas semanas após a descoberta: “Pode-se ver o mundo com o p-eye, e pode-se vê-lo com o q-eye, mas se se abre ambos os olhos, então torna-se louco.”
Nos seus últimos anos, Bohr tentou empurrar esta ideia para uma filosofia muito mais ampla. Um dos seus pares complementares favoritos era a verdade e a clareza. Talvez o par de rigor matemático e intuição física deva ser adicionado como outro exemplo de duas qualidades mutuamente exclusivas. Você pode olhar para o mundo com um olho matemático ou com um olho físico complementar, mas não ouse abrir ambos.
Este artigo foi reimpresso em espanhol em Investigacionyciencia.es.