teleskopѲptics.net ▪ ▪ ▪ ▪ ▪▪▪▪▪▪▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ CONTENTS
◄2.1. Ljusinsamlingskraft ▐ 2.3. Teleskopets förstoring ►
SIDA HIGHLIGHTS
– Rayleigh-, Dawes- och diffraktionsupplösningsgränsen – Sparrow-gränsen
– Teleskopisk stjärnhellighet och begränsande upplösning – Upplösning av mörka linjer – Upplösning av utökade detaljer
Upplösning är en annan viktig funktion för teleskopet. Enkelt uttryckt bestämmer teleskopets upplösningsgräns hur liten en detalj kan lösas upp i den bild som det bildar. I avsaknad av aberrationer är det diffraktionseffekten som avgör upplösningsgränsen. Eftersom upplösningen beror på ögats (detektorns) egenskaper varierar den med detaljens form, kontrast, ljusstyrka och våglängd. Den konventionella indikatorn för upplösningsförmåga – vanligen kallad diffraktionsupplösningsgränsen – är den minsta upplösbara separationen av ett par nära bilder av punktobjekt, något godtyckligt fastställd av vågteorin till ~λ/D i radianer för inkoherent ljus, där λ är ljusets våglängd och D bländardiametern (uttryckt i bågsekunder är det 134/D för D i mm eller 4,5/D för D i tum, båda för en våglängd på 550nm).
Upplösning av två punktkällor är oundvikligen beroende av teleskopets förstoring. Om bilderna av två ljuspunkter ska upplösas fullt ut måste de vara separerade av åtminstone en enda icke belyst retinal fotoreceptor (förmodligen kotte, eftersom upplösningsgränsen för stavar är betydligt lägre). För att nå nära 100 % av diffraktionsgränsen för punktkällor krävs mycket höga förstoringar, men upplösningsförbättringen är relativt liten efter cirka 25x per tum öppning.
Men även om det inte finns någon skillnad vid avbildning med en enda punktkälla mellan koherent och inkoherent ljus med avseende på den relativa intensitetsfördelningen – så länge ljuset förblir nära monokromatiskt – så varierar upplösningsgränsen för ett par punktkällor för det förstnämnda med fasdifferensen mellan de två källorna, från ~2λ/D med noll-fasdifferens till ~λ/D med π/2-fasdifferens och ungefär dubbelt så mycket bättre än med fasdifferensen som är lika med π (i.dvs. λ/2), vilket visas på FIG. 12 till vänster (från Optical Imaging and Aberrations 2, Mahajan). Eftersom ljus som kommer från stjärnor enligt Van Cittert-Zernike-satsen är koherent i teleskop av amatörstorlek, så länge det är nära monokromatiskt, är det en intressant fråga hur mycket denna koherensfaktor, som förändras med våglängdsbandbredden och källans OPD, påverkar den faktiska upplösningsgränsen i fält.
Punktkällans diffraktionsupplösningsgräns för inkoherent ljus, koherent ljus med λ/4 OPD mellan komponenterna och, kanske, särskilda fall av delvis koherent ljus, ges av ~λF, där F är förhållandetalet mellan brännvidden och aperturdiametern (F=ƒ/D, där ƒ är brännvidden). Det är en produkt av vinkelupplösning och brännvidd: λF=λƒ/D. Specifikt är detta gränsen för upplösningen för två punktobjektsbilder med nästan lika hög intensitet (FIG.12). Upplösningsgränsen kan variera avsevärt för två punktkällor med ojämlik intensitet, liksom med andra objekttyper (FIG. 14-16).
FIGUR 12: VÄNSTER: Diffraktionsgränsen för upplösningen av två punktobjektsbilder i inkoherent ljus närmar sig när de två är av nästan lika, optimal intensitet. När de två PSF:erna närmar sig varandra minskar intensitetsdjupet mellan dem. Vid centrumavståndet på halva Airy-skivans diameter – 1,22λ/D radianer (138/D i bågsekunder, för λ=0,55μ och aperturdiametern D i mm), känd som Rayleigh-gränsen – ligger djupet på nästan 3/4 av toppintensiteten. Genom att minska separationen till λ/D (113,4/D i bågsekunder för D i mm, eller 4,466/D förD i tum, båda för λ=0,55μ) minskas intensiteten djupt till mindre än 2 % under toppen. Detta är den konventionella diffraktionsupplösningsgränsen för två punktkällor. Den ligger strax under den empiriska upplösningsgränsen för dubbla stjärnor, känd som Dawes gräns, som anges som 116/Dmm bågsekunder för vita stjärnor med m~5logD-5 visuell magnitud för D i mm (m~5logD+2 för D i tum), vilket nästan är identiskt med Full-Width-at-Half-Maximum, eller FWHM för PSF, som är lika med 1,03λ/D. Med ytterligare minskning av separationen försvinner kontrasten djupt och två falska skivor smälter samman. Den separation vid vilken intensiteten planar ut i toppen kallas Sparrows gräns och ges av 107/D för D i mm.
RIGHT: Upplösning av två nästan lika ljusstarka stjärnor i koherent ljus vid 1,22λ/D vinkelavstånd varierar med OPD mellan två punktkällor. Vid noll i vägskillnad smälter de två mönstren samman och bildar de centrala maxima med en radie på 1,83λF och en toppintensitet på 1,47. Vid π/2 OPD är det kombinerade mönstret identiskt med det i inkoherent ljus, och vid OPD=π är de två 1,11 maxima något mer åtskilda och intensiteten djupt mellan dem sjunker till noll, de två sistnämnda indikerar betydligt bättre begränsande upplösning. Observera att för ett givet flöde av x-vågor adderas först de individuella vågamplituderna A för koherent ljus och kvadreras sedan, som (xA)2, medan de kvadreras och sedan adderas för inkoherent ljus som xA2, för att erhålla deras kombinerade intensitet. Detta gör att den faktiska bildintensiteten för koherent ljus för en given amplitud är högre med en faktor x än för inkoherent ljus, och att dess förändring är proportionell mot x2, inte x.
Peakintensiteterna för de två punktobjektbilderna på FIG. 12 förblir oförändrade vid den centrala separationen på 1,22λ/D, och större. Vid mindre separationer (innanför Rayleigh-gränsen) börjar de två toppintensiteterna öka, först långsamt, sedan ganska snabbt, och den kombinerade intensiteten fördubblas när de två centrumen smälter samman.
Den separation vid vilken den kombinerade PSF plattas ut i toppen inträffar vid centrumseparationen 107/D i bågsekunder, för D i mm (4,2/D för D i tum). Det är så kallad Sparrow’s limit, vilket gör det möjligt att upptäcka nära dubbelgångare baserat på visuell förlängning av den ljusa centrala fläcken i diffraktionsmönstret. För närmare avstånd bildas toppintensiteten i det kombinerade mönstret vid mittpunkten mellan två gaussiska punktobjektbilder.
Plottningarna av PSF ovan är för den nominella (normaliserade) intensiteten. Även om det är ett ganska vanligt sätt att illustrera punktkällors upplösning, är det mänskliga ögats reaktion på ljusintensitet huvudsakligen logaritmisk, och illustreras därför bättre med logaritmiska PSF. Till exempel är intensitetsskillnaden mellan den centrala toppen och den andra maxima i en aberrationsfri bländare 57 till 1. Ögat ser dock toppen som mindre än dubbelt så ljusstark (detta gäller när båda ligger väl inom ögats detektionströskel; när den svagare första ljusa ringen närmar sig detektionströskeln och sjunker under den, ökar den upplevda intensitetsskillnaden dramatiskt). Grafen nedan (fig. 13) visar logaritmisk (log10) PSF för polykromatiskt ljus (i det område som är 1/10 av medelvåglängden, infälld H), som ligger närmare PSF för en verklig stjärna än monokromatisk PSF.
FIGUR 13: Logaritmisk PSF för aberrationsfri öppning på (stjärnans) magnitudskala visar intensitetsfördelningen inom stjärnbilden närmare den som faktiskt uppfattas av det mänskliga ögat (dvs. den skenbara intensiteten skalar omvänt med magnituden). Om man går från en stjärna med magnitud noll till magnitud 15 finns det ingen indikation på att den visuella storleken på de centrala maxima skiljer sig avsevärt mellan ljusa respektive medelstarka och måttligt svaga stjärnor (detta bortser från möjliga – och sannolika – sekundära fysiologiska effekter på näthinnan, särskilt med mycket ljusa källor). Det är först när utkanten av den centrala maximan börjar falla under detektionströskeln som dess synliga storlek minskar. För den maximala teoretiska upplösningen av två punktkällor, satt till λ/D i radianer (206,265λ/D i bågsekunder), kan den synliga centrala skivan inte vara betydligt större än λ/D vinkelmässigt (illustrerat för enkelhetens skull för stjärnan med noll magnitud). En måttligt större skiva bör ändå möjliggöra tydlig upplösning, på grund av den låga intensiteten som bildas mellan två stjärnbilder, där skivorna sannolikt inte verkar helt runda. Grafen ovan antyder att det skulle ske vid detektionströskeln ungefär två magnituder under den högsta intensiteten. Detta är inte långt ifrån den rapporterade grunden för att fastställa den empiriska upplösningsgränsen av Rev. William Rutter Dawes: nästan lika ljusa par som är ungefär tre magnituder ljusare än den svagaste stjärna som kan upptäckas med den testade öppningen (Sky Catalogue 2000.0, Hirshfeld/Sinnott, s.xi). Enligt den är begränsande upplösning endast möjlig i avsaknad av synlig ringstruktur (typisk aberrationsnivå, eller genomsnittlig central obstruktion, lyser upp den 1:a ljusa ringen mindre än en magnitud – som illustrerat påFIG. 95 – vilket uppgår till ~2mm höjdskillnad på ovanstående diagram).
Som nämnts gäller denna begränsning för nästan lika ljusa, kontrastrika punktobjektsbilder vid den optimala intensitetsnivån. Upplösningsgränsen för stjärnpar med ojämn ljusstyrka, eller sådana som ligger betydligt över eller under den optimala intensitetsnivån, är lägre. För andra bildformer kan upplösningsgränsen också avvika avsevärt, både över och under den konventionella gränsen. Ett exempel är en mörk linje på ljus bakgrund, vars diffraktionsbild definieras med bilderna av de två ljusa kanterna som omsluter den. Dessa bilder definieras med Edge Spread Function (ESF), vars konfiguration skiljer sig avsevärt från PSF (fig. 14). Eftersom dess intensitetsfall inom huvudsekvensen å andra sidan är ganska lik PSF:s, är det mer troligt att upplösningen av denna typ av detaljer begränsas av detektorkänslighet än av diffraktion (i den meningen att intensitetsdifferensen för mittpunkten mellan gaussiska bilder av kanterna jämfört med intensitetstopparna, bildar en kontrastdifferens som inte är lika stor som noll för varje ändligt avstånd mellan kanterna).
FIGUR 14: Gränsen för diffraktionsupplösningen varierar avsevärt med objektet/detaljformen. Bilden av en mörk linje på ljus bakgrund är en konjunktion av diffraktionsbilder av de två ljusa kanterna, som beskrivs av Edge Spread Function (ESF). Som illustrationen visar är klyftan mellan två intensitetsprofiler vid λ/D-separation mycket större för ESF än PSF (som är nästan identisk med linjespridningsfunktionen, som bestämmer den begränsande MTF-upplösningen). Det innebär att den begränsande upplösningen är betydligt bättre än λ/D, vilket stämmer överens med praktiska observationer (Cassini-divisionen, månens rillor osv.). Gradvis intensitetsnedgång i toppen av intensitetskurvan runt kanterna kan ge upphov till mycket subtila lågkontrastdetaljer, även om själva separationen förblir osynlig.
Diffraktionsbilden av en punktkälla på ytan av de flesta utsträckta objekt skulle kunna upptäckas endast om den är separerad från resten av ytan, inte på grund av att den är liten och relativt svag, utan på grund av att den typiskt sett har mycket lägre intensitet än ytan. Jupiters totala genomsnittliga ljusstyrka är till exempel som om den har en stjärna i ~6:e storleksordningen i varje kvadratbågsekund av sin yta. Är 1 kvadratbågsekund som avger en yta som en giltig punktkälla? Det skulle kunna vara det, men det beror verkligen på bländarens storlek. Diffraktionsberäkning (Imaging and aberrations 2, Mahajan) visar att en ljusavgivande inkoherent skiva – eller ett hål – som är mindre än ~1/4 av Airy-skivan, ger en PSF som inte skiljer sig nämnvärt från en perfekt punktkälla (FIG. 14). Med Airy-skivans vinkeldiameter som ges av 2,44λ/D i radianer (multiplicerat med 206 265 för bågsekunder), fastställs den maximala skivdiametern (håldiametern) som kvalificerar som punktkälla till ~0,6λ/D eller mindre i radianer, ~125 000λ/D eller mindre i bågsekunder (motsvarande linjära storlek bestäms direkt av avståndet, som en produkt av avståndet och dess vinkelstorlek i radianer).
Följaktligen kan diffraktionsbilden av en utsträckt yta utvärderas som en produkt av ytpunkter som inte är större än 1/4 av Airy-skivans diameter (ytterligare uppdelning av denna effektiva punktkälla vid given ytljusstyrka minskar endast de faktiska PSF-maxima för en sådan ytenhet, men dess rumsliga egenskaper förändras inte märkbart jämfört med den för 1/4 Airy-skivans punkt, och inte heller skiljer sig PSF-volymen som integreras över 1/4 Airy-skivans punktyta märkbart från den som produceras av en sådan punkt). I termer av kvadratbågsekunder är den yta som motsvarar en punkt med en diameter på 125 000λ/D för den kvadratiska sidan mindre med en faktor π/4, vilket ger 99 000λ/D. För λ=0,00055mm (fotopisk topp) skulle det ge 0,54 kvadratbågsekunder (dvs. kvadrat med en sida på 0,54 bågsekunder) för 100mm bländare, 0,27 bågsekunder för 200mm, och så vidare.
FIGUR 15: Ett objekt behöver inte vara en strikt punktkälla för att ge upphov till punktkällans PSF, men om dess vinkelmått överskrider en viss nivå vidgas dess centrala diffraktionsmaximum och det omvandlas till en bild av ett utdraget objekt. VÄNSTER: Förändring i den radiella intensitetsfördelningen när den emitterande ytan ökar från noll (punktkälla) till en skiva med en radie på 2λF. Vid skivans radie som motsvarar λF/4, eller 1/5 av Airy-skivans radie, är den resulterande PSF:en endast något bredare än den för en punktkälla, och därför kan ett cirkulärt sändningsområde av den storleken, eller mindre, betraktas som en punktkälla med avseende på dess diffraktionsbild. Höger: Förändring av den centrala intensiteten med ökningen av den axiella defokusen. Ju större skivans radie är, desto mindre känslig för defokus är den centrala intensiteten i dess bild. Medan den sjunker till noll redan vid 1 vågdefokus för en skivradie (hål) som är lika med λF/4, förblir den över noll bortom 4 vågdefokus redan vid en skivradie som är lika med λF, vilket är något mindre än Airy-skivans. Observera att de centrala intensiteterna i båda graferna alla är normaliserade till 1, men att den faktiska toppintensiteten varierar med skivstorleken. Med konstant skivans ytljusstyrka skulle de faktiska diffraktionstopparna för 0,25, 0,5, 1 och 2 radier, normaliserade till den högsta, förhålla sig till 0,15, 0,88, 0,97 respektive 1.
I motsats till punktkällediffraktionsbilden, där det inte finns någon märkbar skillnad i formen på den normaliserade PSF:n för koherent och inkoherent ljus, utvecklar en utsträckt objektsbild i koherent ljus isolerade toppar över dess centrala maxima, där den starkaste är i dess kant. Detta resulterar i den effekt som kallas ”edge ringing”, vilket gör att bilden inte är lika bra som i inkoherent ljus.
Oytan hos ett utsträckt objekt kan sönderdelas i punktkällor, som överlappar varandra och växer till en större diffraktionsbild av objektet. Varje distinkt område på en sådan yta kan också sönderdelas med hjälp av dess effektiva punktkällor. Huruvida ett sådant område – en ytdetalj – kommer att vara synligt i teleskopbilden beror på flera faktorer: dess storlek, ljusstyrka och kontrast och, om det finns färger, färgsättning och mättnad.
Opptiska aberrationer kan naturligtvis också ha en betydande effekt på intensitetsfördelningen, bilden jämfört med objektet, spridningsenergin och sänka kontrasten/upplösningen. Även om aberrationer här orsakar samma allmänna effekt är detaljerna annorlunda än för punktkällor (fig. 16).
FIGUR 16: Radial intensitetsfördelning inom diffraktionsbilden av en inkoherent skiva, med radien 2,3 gånger Airy-skivans radie med noll defokus (heldragen svart) och specificerade mängder av aberrationen. Så mycket som 1/4 våg P-V av defokus har försumbar effekt på både den centrala intensiteten och den energi som går förlorad till den centrala maxima, och så mycket som 1/2 våg sänker endast denna maximas centrala intensitet till 0,91. En våg av defokus, som ger en central intensitet för PSF på noll, är fortfarande strax under 0,5 här. Det numeriska värdet av central intensitet här har dock inte samma konsekvenser som för PSF. Medan det i det senare fallet närmar sig den relativa energi som bevaras i maxima – och därmed direkt antyder den relativa energiförlusten – är det här generellt sett optimistiskt i det avseendet. Orsaken är det annorlunda sätt på vilket aberrationen påverkar formen på centrala maxima: eftersom energin är proportionell mot volymen, orsakar den omformade aberrerade volymen, som till skillnad från PSF-maxima förlorar relativt sett mer energi från sidorna än från toppen av den aberrerade centrala maximan, en betydande skillnad mellan den relativa nominella minskningen av centrala maxima och den relativa energiförlusten. I allmänhet är den senare betydligt högre. Medan t.ex. minskningen av de centrala maxima för 1/4 och 1/2 vågs P-V av defokus är 2 % och 9 % är motsvarande energiförlust – mycket grovt räknat – närmare 10 % respektive 30 %. Samtidigt förblir förändringen av den relativa storleken på FWHM för dessa felnivåer, i likhet med PSF, obetydlig.
Om effekten av aberrationer på diffraktionsbilden av ett utsträckt objekt är så mycket mindre, hur kan aberrationer i detta intervall, som är ganska vanliga i teleskop, åsamka märkbara förluster av kontrasten för utsträckta detaljer? Jo, det gör de inte; inte på denna detaljstorleksnivå. Med den gaussiska bildradien på 2,3λF är den här skivan nästan 4,5 gånger bredare än MTF-gränsfrekvensen (1,03λF), vilket sätter motsvarande normaliserade MTF-frekvens till 0,22. Det är alltså i det lågfrekventa området som kontrastförlusten orsakad av aberrationer generellt sett är lägre (BILD 17).
FIGUR 17: Polykromatiska (fotopiska) MTF-plottar till vänster som visar effekten av defokus på kontrastöverföringen och, för jämförelse, deras effekt på CTF (till höger). MTF med sinusvåg (standard) har generellt sett lägre kontrastöverföring än CTF med fyrkantsvåg, med defokus i den förstnämnda som sänker kontrasten jämfört med aberrationsfri bild vid 0,22 frekvens 14 % vid 1/4 vågP-V och 39 % vid 1/2 våg. Detta kan jämföras med 19 % respektive 56 % kontrastförlust i genomsnitt över hela frekvensområdet. Med CTF med kvadratisk våg är motsvarande kontrastförlust 14 % respektive 40 %.
Både MTF och CTF ger en kontrastförlust vid denna detaljstorlek som är större än den grova uppskattningen av energi-/kontrastförlusten baserad på den radiella energifördelningen. Skillnaden är relativt blygsam vid 1/4 våg av defokus, 14 % jämfört med ~10 %, och mer ambivalent vid 1/2 våg: 56 % och 40 % jämfört med ~30 % för MTF respektive CTF. Men det är att vänta, eftersom ingen av dem är direkt jämförbar i formen med en koherent skiva (vid 1/2 vågs defokusfel är skillnaden i kontrastöverföring mellan de två till och med något större än mellan CTF och skivan).
Och varken de två MTF:erna eller, för den delen, den inkoherenta skivan på mörk bakgrund, är en detaljform som liknar till exempel typiska planetära detaljer. En sådan detalj är inbäddad i en omgivning av intilliggande detaljer av liknande intensitet. Nivån på dess upptäckt beror lika mycket – om inte mer – på färgskillnaden som på intensitetsskillnaden (kontrasten). Färgfaktorn försummas helt av MTF. Om två objekt med samma intensitet placeras i kontakt med varandra kommer deras bild att visa en kontinuerlig, enda yta, helt enkelt därför att det inte finns någon diskontinuitet i vågutstrålningen. Men om dessa ytor emitterar vid olika huvudsakliga våglängder kommer ögat att skapa skillnad genom att tilldela dem olika färger. Med andra ord ger färg en kontrastliknande kvalitet som kan förbättra detektion/upplösning för alla nivåer av inbyggd kontrast i bilden, inklusive noll.
Om vi emellertid antar att sådana utsträckta detaljer inte är sömlöst bundna till sin omgivning och/eller varierar i sin relativa intensitet – det mer sannolika scenariot – så finns det en diskontinuitet i vågeffekten mellan dem, och deras diffraktionsbilder, åtminstone i en första approximation, överlagrar varandra och bildar den komplexa slutbilden. Mellan två mycket nära detaljer med liknande intensitet – som illustreras i figur 10C uppe till höger – kommer den kombinerade energin sannolikt att fylla ut större delen av gapet mellan deras respektive individuella bilder och lämna endast ett smalt övergångsområde med mycket låg kontrast, som sannolikt inte kommer att upptäckas. Upptäckten av sådana detaljer skulle helt och hållet bero på deras färgskillnad; ju lägre den är, desto snabbare kommer den att påverkas av aberrationsorsakad energispridning, men graden av påverkan beror också kritiskt på detaljens vinkelstorlek.
Om detaljens relativa intensitet skiljer sig avsevärt åt blir kontrasten också en viktig faktor (fig. 10C, nederst till höger). Sådana detaljer är mer typiska för månens yta. På grund av deras relativt höga kontrastnivå kommer de att påverkas mindre av den aberrerade energi som spiller över. Återigen är deras vinkelstorlek den viktigaste faktorn när det gäller effekten av en viss aberrationsnivå på deras upptäckt.
Detta skrapar naturligtvis bara på ytan när det gäller förhållandet mellan bildkvaliteten hos utvidgade detaljer och aberrationer. Men detta mycket grundläggande begrepp kastar mer ljus över detta ganska mörka ämne. I allmänhet kommer en större bländare att lösa upp mer, eftersom dess effektiva punktkälla (som också kan ses som bildpixel) som sagt är omvänt proportionell mot bländarstorleken. Dessutom kommer den att ha bättre färgmättnad. Ljusstyrkafaktorn är något ambivalent, eftersom den kan vara både fördelaktig och skadlig. Den är i allmänhet fördelaktig vid upptäckt av punktkällor och liknande samt svaga objekt av alla slag. Den kan vara ofördelaktig för upplösningen av ljusa punktliknande och utsträckta objekts detaljer. Eftersom teleskopets ljustransmission lätt kan sänkas vid varje given öppning är denna nackdel dock av ganska formell karaktär.
I allmänhet är storleken på den minsta detekterbara detaljen på ytan av ett utbrett objekt ungefär proportionell mot teleskopets nominella diffraktionsupplösningsgräns (för punktobjekt) och ljusinsamlingsförmåga, men den är också betydligt lägre, vilket varierar med detaljtypen och omgivningen. För de typiska ljusa detaljerna med låg kontrast (större planeter) och svaga detaljer med låg kontrast (de flesta nebulosor och galaxer) visar MTF-analysen av Rutten och Venrooij (Telescope Optics, s. 215) att MTF-upplösningsgränsen är ungefär ~2 respektive ~7 gånger lägre än för ljusa, kontrastrika mönster (vilket är praktiskt taget identiskt med teleskopets nominella upplösningsgräns för stjärnor).
Formella premisser och experimentella resultat i fråga om teleskopupplösning behandlas i detalj i Amateur Astronomer’s Handbook, J.B. Sidgwick (s 37-51). Naturligtvis kommer upplösningen i allmänhet att försämras med införandet av vågfrontsaberrationer.
◄ 2.1. Ljusupptagningsförmåga ▐ 2.3. Teleskopets förstoring ►