Obsah
Použití kalkulačky směrodatné odchylky
Výše uvedená kalkulačka směrodatné odchylky nabízí jednoduchý způsob, jak vypočítat i naučit se najít směrodatnou odchylku souboru čísel. Lépe než jakákoli standardní kalkulačka poskytuje tato kalkulačka krok za krokem řešení, jak najít odpověď sami. Tato kalkulačka směrodatné odchylky je vynikajícím učebním nástrojem, který vám pomůže při získávání správných odpovědí ve vaší vlastní práci. Pokud potřebujete také zjistit rozsah souboru dat, podívejte se na stránku Kalkulačka míry variability. Tato kalkulačka zjistí všechny tři míry variability, rozsah, rozptyl a směrodatnou odchylku, a ukáže vám řešení krok za krokem.
Co je to směrodatná odchylka?
Definice směrodatné odchylky je mírou „rozptylu“ hodnot dat v rámci datového souboru. „Rozptyl“ označuje, jak blízko nebo daleko jsou hodnoty dat ve srovnání s průměrem datového souboru. Rozptyl je čtverec směrodatné odchylky. Jak rozptyl, tak směrodatná odchylka jsou mírou variability.
Tato kalkulačka směrodatné odchylky vám nejen poskytne odpověď na váš problém, ale také vás provede řešením krok za krokem.
Co znamená velká směrodatná odchylka?
Podle definice směrodatné odchylky měří rozptyl hodnot dat od průměru. Pokud je velká směrodatná odchylka, pak je velký rozptyl hodnot dat. To znamená, že hodnoty jsou více rozprostřeny daleko od průměru. To znamená velkou variabilitu souboru dat. Pokud je směrodatná odchylka malá, pak jsou hodnoty dat v souboru dat méně rozptýlené od průměru. To znamená menší variabilitu a větší konzistenci.
Předpokládejme, že skládáte zkoušku a směrodatná odchylka známek ve třídě je 5,0. Jaká je směrodatná odchylka? V tuto chvíli nemůžeme říci, zda vaše třída podávala konzistentní výkony nebo ne, protože je nemáme s čím porovnat. Nyní váš kamarád v jiné třídě skládá zkoušku a směrodatná odchylka pro známky této třídy je 15,0. Když porovnáme obě směrodatné odchylky, zjistíme, že ve vaší třídě je větší konzistence a menší variabilita. Ve třídě vašeho kamaráda je menší konzistence a větší variabilita.
Pokud použijete kalkulačku směrodatných odchylek ke zjištění směrodatných odchylek dvou různých souborů dat, menší směrodatná odchylka je u souboru dat, který je konzistentnější, a větší směrodatná odchylka je u souboru dat, který je variabilnější.
Příklad příjmu – porovnání dvou měst
Předpokládejme, že máte dva soubory dat sestávající z rodinných příjmů. První datový soubor tvoří populace příjmů rodin ve městě „A“ a druhý datový soubor tvoří populace příjmů rodin ve městě „B“. Město „A“ i město „B“ mají průměrný příjem rodiny 65 000 USD. Zatím máme:
Město A průměr:
µ = 65 000
Město B průměr:
µ = 65 000
Pokud je směrodatná odchylka pro datový soubor příjmů z města A 5 500 $.00 $ a směrodatná odchylka souboru dat příjmů z města B je \$ 2 100,00 $, pak víme, že příjmy ve městě A jsou rozprostřeny dále od průměru, zatímco příjmy ve městě B jsou blíže, nebo jsou těsněji seskupeny kolem průměru. Příjmy ve městě A mají větší variabilitu než příjmy ve městě B.
Symbol pro směrodatnou odchylku
Symbol pro směrodatnou odchylku souboru dat, který představuje vzorek, je s. Symbol pro směrodatnou odchylku souboru dat, který představuje populaci, je σ (malé řecké sigma). Máme informace o populaci pro město „A“ i město „B“. Symbol pro směrodatnou odchylku pro obě jsou tedy:
Směrodatná odchylka pro město A:
σ = 5 500 $
Směrodatná odchylka pro město B:
σ = 2 100 $
Směrodatná odchylka pro žádnou variabilitu
Směrodatná odchylka je vždy kladné číslo, případně 0. Předpokládejme, že ve městě „C“ má každá rodina stejný příjem, tedy 65 000 $. I když to reálně není možné, matematicky by to znamenalo, že průměr příjmů ve městě „C“ je $$65 000$ a směrodatná odchylka je 0. Směrodatná odchylka 0 znamená, že soubor dat nemá vůbec žádnou variabilitu a každá hodnota dat v souboru je naprosto stejná.
Zkuste to! Pomocí kalkulačky směrodatné odchylky zadejte následující údaje:
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5
Uvidíte, že směrodatná odchylka se vypočítá jako 0 a kroky řešení vám ukáží, proč je 0.
Jednotky použité pro směrodatnou odchylku
Jednotky pro směrodatnou odchylku jsou stejné jako jednotky pro hodnoty dat v souboru dat. V našem výše uvedeném příkladu jsou hodnoty dat příjmy v dolarech, proto je směrodatná odchylka v dolarech.
Co je to rozptyl?
Se směrodatnou odchylkou souboru dat souvisí rozptyl souboru dat. Rozptyl souboru dat je kvadrátem směrodatné odchylky, a proto jsou jednotky pro rozptyl čtvercem jednotek směrodatné odchylky. Symbol pro výběrový rozptyl je s2 a symbol pro populační rozptyl je σ2. V našem výše uvedeném příkladu jsou rozptyly pro město A a město B následující:
Rozptyl pro město A:
σ2 = 30 250 000 $2
Rozptyl pro město B:
σ2 = 4 410 000 $2
Stejně jako byste to udělali ručně, kalkulačka směrodatné odchylky nejprve zjistí rozptyl a poté provede odmocninu pro zjištění směrodatné odchylky.
Použití vzorců pro výpočet směrodatné odchylky a rozptylu
Když už znáte definici směrodatné odchylky, chcete se naučit vypočítat směrodatnou odchylku a rozptyl? Buď můžete použít vzorce pro směrodatnou odchylku a rozptyl, nebo se můžete posunout nahoru a použít kalkulačku směrodatné odchylky online. V následujícím návodu vám ukážu, jak zjistit směrodatnou odchylku a rozptyl ručně pomocí vzorců.
Chcete vědět, jak zjistit směrodatnou odchylku nebo rozptyl souboru dat ručně? Pak budete muset použít vzorce pro rozptyl a/nebo směrodatnou odchylku. Tyto vzorce mohou vypadat složitě, ale pokud se postupuje po malých krocích, je proces jejich výpočtu velmi dobře zvládnutelný. Vzorce používají různé symboly v závislosti na tom, zda soubor dat představuje populaci nebo vzorek.
Existují dvě verze vzorců pro rozptyl a směrodatnou odchylku, standardní a výpočetní vzorec. V tomto článku budu používat výpočetní vzorec. Je jednodušší na ruční výpočet a má méně zaokrouhlovacích chyb. Pokud chcete vidět řešení podle standardního vzorce, výše uvedená kalkulačka standardní odchylky vám ukáže řešení podle obou vzorců.
Variační vzorec pro populační rozptyl a vzorec pro výběrový rozptyl
| Variační vzorec pro populační rozptyl | Variační vzorec pro výběrový rozptyl |
|---|---|
$$ {\sigma^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{N}}{N}$Kde $\sigma^2$ je symbol populačního rozptylu, |
$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}$$Kde $s^2$ je symbol výběrového rozptylu, |
Mezi získáním rozptylu a následným získáním směrodatné odchylky je velmi jednoduchý krok. Jakmile máte rozptyl, stačí k získání směrodatné odchylky vzít druhou odmocninu.
Vzorec pro směrodatnou odchylku populace a vzorec pro směrodatnou odchylku vzorku
| Směrodatná odchylka populace Vzorec | Vzorcová směrodatná odchylka Vzorec |
|---|---|
$$ {\sigma}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{N}}{N}}}. $$Kde $\sigma$ je symbol směrodatné odchylky populace, |
$$ {s}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n – 1}} $$Kde $s$ je symbol směrodatné odchylky vzorku, |
Příklad, jak zjistit směrodatnou odchylku a rozptyl
Projdeme si, jak zjistit směrodatnou odchylku a rozptyl pro malý soubor dat za předpokladu, že soubor dat představuje vzorek výšky dětí. Poté, co získáme rozptyl, uděláme jeden malý krok k získání směrodatné odchylky. Odpovědi vypočítáme provedením série 8 kroků.
Problém: Najděte rozptyl a směrodatnou odchylku pro následující údaje. Předpokládejme, že máme vzorek 5 dětí a jejich výšky jsou:
56 in, 49 in, 61 in, 60 in, 63 in
Krok 1 – Napište vzorce pro výběrový rozptyl a výběrovou směrodatnou odchylku
Protože tento problém uvádí, že 5 hodnot představuje vzorek, použijeme vzorce pro výběrový rozptyl a výběrovou směrodatnou odchylku. Nejprve začněte psaním výpočetních vzorců pro výběrový rozptyl a výběrovou směrodatnou odchylku:
$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}$$
$$ {s}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n – 1}}}. $$
Krok 2 – Vytvoření tabulky pro všechny hodnoty $ x$ a $x^2$
Dále nakreslete tabulku o 2 sloupcích a 5 řádcích pro každou hodnotu dat a řádek záhlaví. Řádek záhlaví označte hodnotami $ x$ a $ x^2$. Nyní vložte každou z datových hodnot do sloupce $ x $. Každá datová hodnota má svůj vlastní řádek. Každou hodnotu x v prvním sloupci vyčtverečkujte a tyto hodnoty vložte do druhého sloupce.
$x$ |
$x^2$ |
| 56 | 3136 |
| 49 | 2401 |
| 61 | 3721 |
| 60 | 3600 |
| 63 | 3969 |
Krok 3 – Sečtěte všechny hodnoty v prvním sloupci
Po vytvoření tabulky a sloupců, sečtěte součet všech hodnot v prvním sloupci. To je symbolizováno jako $ \sum{x} $.
$$ \sum{x} = 56+49+61+60+63 $$
$$ \sum{x} = 289 $$
Krok 4 – Odmocněte a vydělte
Nyní vezměte odpověď z kroku 3, tedy 289, a odmocněte ji. Pak ji vydělte velikostí vzorku.
$$ \frac{(\sum{x})^2}{n} = \frac{83521}{5} = 16704,2 $$
Krok 5 – Sečtěte všechny hodnoty ve druhém sloupci
Následujte součet všech hodnot ve druhém sloupci. To se symbolizuje jako $ \sum{x^2} $.
$$ \sum{x^2} = 3136+2401+3721+3600+3969$$
$$ \sum{x^2} = 16827 $$
Krok 6 – Odečtěte $ \sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n} $
V tomto kroku, vezmete odpověď z kroku 5 a odečtete odpověď z kroku 4.
$$\sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n}$$
$$ 16827 – 16704,2 = 122,8 $$
Krok 7 – Dělení a získání rozptylu
Tady vezmete odpověď z kroku 6 a vydělíte ji číslem $n – 1$, o jedno menším, než je velikost vzorku. To je rozptyl!
$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}
= \frac{ 122,8 }{4} = 30.7 $$
Krok 8 – Jak zjistit směrodatnou odchylku z rozptylu
Nakonec, abychom zjistili směrodatnou odchylku, vezmeme druhou odmocninu z odpovědi pro rozptyl ze 7. kroku. Zde odpověď zaokrouhlím na 4 desetinná místa.
$$ s = \sqrt{30,7} = 5,5408 $$
Protože naše data jsou původně v jednotkách palců, směrodatná odchylka je 5,5408 palce.
To je vše! To není tak špatné, co říkáte? Je skvělý nápad použít výše uvedenou kalkulačku směrodatné odchylky, která vám pomůže při řešení dalších problémů. Zkuste si řešení vypracovat sami ručně a zkontrolujte svou práci s vypracovaným řešením z kalkulačky. Tohle zvládneš!