På dette dias har vi to versioner af Euler-ligningerne, som beskriver, hvordan hastighed, tryk og densitet for en væske i bevægelse hænger sammen.Ligningerne er opkaldt til ære for Leonard Euler, som var elev hos Daniel Bernoulli og studerede forskellige væskedynamiske problemer i midten af 1700-tallet.Ligningerne er et sæt koblede differentialligninger, og de kan løses for et givet strømningsproblem ved hjælp af metoder fra regnearket.Selv om ligningerne ser meget komplekse ud, er de i virkeligheden en forenkling af de mere generelle Navier-Stokesligninger for væskedynamik. Euler-ligningerne negligerer virkningerne af væskens viskositet, som indgår i Navier-Stokes-ligningerne.En løsning af Euler-ligningerne er derfor kun en tilnærmelse til et virkeligt væskeproblem.For nogle problemer, som f.eks. levetiden for et tyndt flyveblad ved lav angrebsvinkel, giver en løsning af Euler-ligningerne en god model af virkeligheden. For andre problemer, som f.eks. væksten af grænselaget på en flad plade, giver Euler-ligningerne ikke en korrekt model af problemet.
Vores verden har tre rumlige dimensioner (op-ned, venstre-højre, for- og bagud) og en tidsdimension. Generelt har Euler-ligningerne en tidsafhængig kontinuitetsligning for bevarelse af masse og tre tidsafhængige ligninger for bevarelse af impuls.Øverst i figuren viser vi en forenklet, todimensionel, stabil form af Euler-ligningerne.Der er to uafhængige variabler i problemet, nemligx- og y-koordinaterne for et område. Der er fire afhængige variabler, trykket p, densiteten r og to komponenter af hastighedsvektoren; u-komponenten er i x-retningen, og v-komponenten er i y-retningen.Alle de afhængige variabler er funktioner af både x og y.Differentialligningerne er derfor partielle differentialligninger og ikke almindelige differentialligninger, som du studerer i en begyndende matematiktime.
Du vil bemærke, at differentialsymbolet er anderledes end de sædvanlige “d /dt” eller “d /dx”, som du ser for almindelige differentialligninger. Symbolet “
” bruges til at betegne partiel differentiering.Symbolet angiver, at vi skal holde alle de uafhængige variabler faste, undtagen variablen ved siden af symbolet, når vi beregner en afledning. Ligningssættet er:
Kontinuitet: (r * u)/x + (r * v)/y = 0
X – Momentum: (r * u^2)/x + (r * u * v)/y = – p/x
Y – Momentum: (r * u * v)/x + (r * v^2)/y = – p/y
Selv om disse ligninger virker meget komplekse, lærer ingeniørstuderende at udlede dem i en proces, der minder meget om den udledning, som vi præsenterer på webside om bevarelse af impulsbevarelse. De to impulsligninger er todimensionale generaliseringer af impulsbevaringsligningen. Den massestrømningshastighedsligning, der er udviklet på webside om massebevarelse, er en endimensionel løsning af den kontinuitetsligning, der er vist her.
Generaliserede løsninger af disse ligninger er vanskelige at opnå.Bemærk, at alle de afhængige variabler optræder i hver ligning.For at løse et strømningsproblem skal man løse alle tre ligninger samtidig; det er derfor, vi kalder dette et koblet ligningssystem. Der er faktisk en andenligning, der er nødvendig for at løse dette system, da vi kun viser tre ligninger for fire ubekendte. Tidligere foretog ingeniører yderligere tilnærmelser og forenklinger af ligningssystemet, indtil de havde en gruppe af ligninger, som de kunne løse.For nylig er der blevet anvendt højhastighedscomputere til at løse tilnærmelser af ligningerne ved hjælp af en række forskellige teknikker som finite differens-, finite volumen-, finite element- og spektralmetoder.Dette studieområde kaldes Computational Fluid Dynamics eller CFD.
En af de forenklingsmetoder, der blev anvendt tidligere, var at antage, at gassen havde en meget lav hastighed og at negligere virkningerne af kompressibilitet.I en inkompressibel strømning er densiteten konstant, og vi kan fjerne den fra kontinuitetsligningen:
Kontinuitet: u/x + v/y = 0
Vi kan derefter faktorisere impulsligningerne og bruge kontinuitetsligningen til at forenkle dem:
X – Impuls: u * u/x + v * u/y = – / r
Y – Momentum: u * v/x + v * v/y = – / r
Dette sæt ligninger blev brugt til at udvikle den algoritme, der anvendes i programmetFoilSimcomputer.
Aktiviteter:
Guidede ture
Navigation ..
Hjemmeside for nybegynderguide