Auf dieser Folie sehen Sie zwei Versionen der Euler-Gleichungen, die beschreiben, wie Geschwindigkeit, Druck und Dichte eines sich bewegenden Fluids zusammenhängen.Die Gleichungen sind zu Ehren von Leonard Euler benannt, der ein Schüler von Daniel Bernoulli war und Mitte des 17. Jahrhunderts verschiedene Probleme der Strömungsdynamik untersuchte.Die Gleichungen sind eine Reihe von gekoppelten Differentialgleichungen und können für ein gegebenes Strömungsproblem mit Methoden der Infinitesimalrechnung gelöst werden.Obwohl die Gleichungen sehr komplex erscheinen, sind sie in Wirklichkeit Vereinfachungen der allgemeineren Navier-Stokesequenzen der Strömungsdynamik. Die Euler-Gleichungen vernachlässigen die Auswirkungen der Viskosität des Fluids, die in den Navier-Stokes-Gleichungen enthalten sind. Eine Lösung der Euler-Gleichungen ist daher nur eine Annäherung an ein reales Fluidproblem. Für einige Probleme, wie z. B. das Leben eines dünnen Schaufelblatts bei geringem Anstellwinkel, bietet eine Lösung der Euler-Gleichungen ein gutes Modell der Realität. Für andere Probleme, wie das Wachstum der Grenzschicht auf einer flachen Platte, bilden die Euler-Gleichungen das Problem nicht richtig ab.
Unsere Welt hat drei räumliche Dimensionen (oben-unten, links-rechts, vorne-hinten) und eine zeitliche Dimension. Im Allgemeinen haben die Euler-Gleichungen eine zeitabhängige Kontinuitätsgleichung für die Erhaltung der Masse und drei zeitabhängige Gleichungen für die Erhaltung des Impulses.Oben in der Abbildung zeigen wir eine vereinfachte, zweidimensionale, stetige Form der Euler-Gleichungen.Es gibt zwei unabhängige Variablen in dem Problem, die x- und y-Koordinaten eines Bereichs. Es gibt vier abhängige Variablen, den Druck p, die Dichte r und zwei Komponenten des Geschwindigkeitsvektors; die u-Komponente liegt in x-Richtung, die v-Komponente in y-Richtung.Alle abhängigen Variablen sind Funktionen von x und y.Bei den Differentialgleichungen handelt es sich also um partielle Differentialgleichungen und nicht um gewöhnliche Differentialgleichungen, wie man sie im Anfangsunterricht der Analysis lernt.
Sie werden feststellen, dass das Differentialsymbol anders ist als das übliche „d /dt“ oder „d /dx“, das Sie bei gewöhnlichen Differentialgleichungen sehen. Das Symbol“
“ wird verwendet, um eine partielle Differenzierung zu bezeichnen.Das Symbol zeigt an, dass wir alle unabhängigen Variablen festhalten müssen, mit Ausnahme der Variablen neben dem Symbol, wenn wir eine Ableitung berechnen. Die Gleichungssätze lauten:
Kontinuität: (r * u)/x + (r * v)/y = 0
X – Momentum: (r * u^2)/x + (r * u * v)/y = – p/x
Y – Impuls: (r * u * v)/x + (r * v^2)/y = – p/y
Auch wenn diese Gleichungen sehr komplex erscheinen, Obwohl diese Gleichungen sehr komplex erscheinen, wird Studenten der Ingenieurwissenschaften beigebracht, sie in einem Prozess abzuleiten, der der Ableitung sehr ähnlich ist, die wir auf der Webseite über die Impulserhaltung vorstellen. Die beiden Impulsgleichungen sind zweidimensionale Verallgemeinerungen der Impulserhaltungsgleichung. Die auf der Webseite zur Massenerhaltung entwickelte Gleichung für den Massendurchfluss ist eine eindimensionale Lösung der hier dargestellten Kontinuitätsgleichung.
Verallgemeinerte Lösungen dieser Gleichungen sind schwer zu erhalten.Beachten Sie, dass alle abhängigen Variablen in jeder Gleichung vorkommen.Um ein Strömungsproblem zu lösen, müssen Sie alle drei Gleichungen gleichzeitig lösen; deshalb nennen wir dies ein gekoppeltes Gleichungssystem. Es gibt noch eine weitere Gleichung, die zur Lösung dieses Systems erforderlich ist, da wir nur drei Gleichungen für vier Unbekannte aufstellen. In der Vergangenheit haben Ingenieure weitere Annäherungen und Vereinfachungen an das Gleichungssystem vorgenommen, bis sie eine Gruppe von Gleichungen hatten, die sie lösen konnten. In jüngster Zeit werden Hochgeschwindigkeitsrechner eingesetzt, um Annäherungen an die Gleichungen zu lösen, wobei verschiedene Techniken wie Finite-Differenzen-, Finite-Volumen-, Finite-Elemente- und Spektralmethoden verwendet werden.Dieser Bereich wird Computational Fluid Dynamics oder CFD genannt.
Eine der in der Vergangenheit verwendeten Vereinfachungsmethoden bestand darin, anzunehmen, dass das Gas eine sehr geringe Geschwindigkeit hat und die Auswirkungen der Kompressibilität zu vernachlässigen.In einer inkompressiblen Strömung ist die Dichte konstant und wir können sie aus der Kontinuitätsgleichung entfernen:
Kontinuität: u/x + v/y = 0
Wir können dann die Impulsgleichungen faktorisieren und die Kontinuitätsgleichung verwenden, um sie zu vereinfachen:
X – Momentum: u * u/x + v * u/y = – / r
Y – Impuls: u * v/x + v * v/y = – / r
Dieser Satz von Gleichungen wurde verwendet, um den Algorithmus zu entwickeln, der imFoilSimcomputer-Programm verwendet wird.
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