En esta diapositiva tenemos dos versiones de las ecuaciones de Eulerque describen cómo se relacionan la velocidad, la presión y la densidad de un fluido en movimiento.Las ecuaciones reciben su nombre en honor a Leonard Euler, que fue alumno de Daniel Bernoulli y estudió varios problemas de dinámica de fluidos a mediados del siglo XVIII. Las ecuaciones son un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas y pueden resolverse para un problema de flujo determinado utilizando métodos de cálculo. Las ecuaciones de Euler no tienen en cuenta los efectos de la viscosidad del fluido, que sí se incluyen en las ecuaciones de Navier-Stokes, por lo que la solución de las ecuaciones de Euler es sólo una aproximación a un problema real de fluidos. Para otros problemas, como el crecimiento de la capa límite en una placa plana, las ecuaciones de Euler no modelan adecuadamente el problema.
Nuestro mundo tiene tres dimensiones espaciales (arriba-abajo, izquierda-derecha, delante-atrás) y una dimensión temporal. En general, las ecuaciones de Euler tienen una ecuación de continuidad dependiente del tiempo para la conservación de la masa y tres ecuaciones de conservación del momento dependientes del tiempo.En la parte superior de la figura, mostramos una forma simplificada, bidimensional y estable de las ecuaciones de Euler.Hay dos variables independientes en el problema, las coordenadasx e y de algún dominio. Hay cuatro variables dependientes, la presión p, la densidad r, y dos componentes del vector velocidad; la componente u está en la dirección x, y la componente v está en la dirección y. Todas las variables dependientes son funciones de x e y.Las ecuaciones diferenciales son, por lo tanto, ecuaciones diferenciales parciales y no ecuaciones diferenciales ordinarias que se estudian en la clase de cálculo inicial.
Notarás que el símbolo diferencial es diferente al habitual «d /dt» o «d /dx» que ves para las ecuaciones diferenciales ordinarias. El símbolo «
» se utiliza para denotar la diferenciación parcial. El símbolo indica que debemos mantener fijas todas las variables independientes, excepto la variable que está al lado del símbolo, cuando se calcula una derivada. El conjunto de ecuaciones son:
Continuidad: (r * u)/x + (r * v)/y = 0
X – Momentum: (r * u^2)/x + (r * u * v)/y = – p/x
Y – Momentum: (r * u * v)/x + (r * v^2)/y = – p/y
Aunque estas ecuaciones parecen muy complejas, los estudiantes de ingeniería aprenden a derivarlas en un proceso muy similar a la derivación que presentamos en la página web de la conservación del momento. Las dos ecuaciones del momento son generalizaciones bidimensionales de la ecuación de conservación del momento. La ecuación de velocidad de flujo de la masa desarrollada en la página web de conservación de la masa es una solución unidimensional de la ecuación de continuidad que se muestra aquí.
Las soluciones generalizadas de estas ecuaciones son difíciles de obtener.Obsérvese que todas las variables dependientes aparecen en cada ecuación.Para resolver un problema de flujo, hay que resolver las tres ecuaciones simultáneamente; por eso lo llamamos un sistema de ecuaciones acoplado. En realidad hay otra ecuación que se requiere para resolver este sistema, ya que sólo mostramos tres ecuaciones para cuatro incógnitas. Una ecuación de estado relaciona la presión y la densidad de un gas. En el pasado, los ingenieros hacían más aproximaciones y simplificaciones al conjunto de ecuaciones hasta que tenían un grupo de ecuaciones que podían resolver.Recientemente, se han utilizado ordenadores de alta velocidad para resolver aproximaciones a las ecuaciones utilizando una variedad de técnicas como diferencias finitas, volúmenes finitos, elementos finitos y métodos espectrales.Esta área de estudio se denomina Dinámica de Fluidos Computacional o CFD.
Uno de los métodos de simplificación utilizados en el pasado era suponer que el gas tenía una velocidad muy baja y despreciar los efectos de la compresibilidad.En un flujo incompresible, la densidad es constante y podemos eliminarla de la ecuación de continuidad:
Continuidad: u/x + v/y = 0
Entonces podemos factorizar las ecuaciones de momento y utilizar la ecuación de continuidad para simplificarlas:
X – Momentum: u * u/x + v * u/y = – / r
Y – Momentum: u * v/x + v * v/y = – / r
Este conjunto de ecuaciones se utilizó para desarrollar el algoritmo utilizado en el programaFoilSimcomputer.
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