Korte praktiske formler til beregning af tætheder og enthalpier i mættet damp

Dette indlæg præsenterer et sæt praktiske korte formler til direkte beregning af mættet dampdensiteter og enthalpier (varmeindhold) og komprimerbarhedsfaktorer med driftstryk og temperatur som input. Dette sæt af tre formler dækker et bredt spektrum af mættede dampforhold og giver alligevel nøjagtige resultater. Beregningerne kan hurtigt udføres på en håndregnemaskine eller nemt indtastes i et excel-regneark. Dette korte indlæg er opdelt i tre dele.

Del I tre praktiske formler for massefylde, enthalpi og kompressibilitetsfaktor for mættet damp. Der gives grafiske repræsentationer for at demonstrere deres beregningsresultater. Del II et numerisk eksempel på anvendelse af disse ligninger. Del III: grundlaget for disse tre korte ligninger. En pdf-version af dette indlæg findes i slutningen af dette indlæg.

Del I Tre praktiske formler for mættet damp. Bemærk venligst, at disse formler er vist i “excel”-notation: for multiplikation anvendes symbolet ‘ * ‘ og for potensforøgelse ‘ ^ ‘.

Formlen for massefylde af mættet damp.

Dst = 216.49 * P / ( Zst * ( t + 273) )

Di hvilken “Dst” = den mættede damps massefylde i kg/m3 , og “P” = det absolutte damptryk i Bar , og “t” = temperaturen i grader Celsius , og “Zst” = kompressibilitetsfaktoren for den mættede damp ved “P” Bar abs og “t” grader Celsius. Den samlede gennemsnitlige procentvise fejl er 0,10 %.

Formlen for enthalpien af mættet damp.

Hst = 1975 + 1,914 * Zst * (t + 273)

I denne ligning står symbolet “Hst” for enthalpien af mættet damp i kJ/kg; symbolet “t” for temperaturen i grader Celsius; og “Zst” for komprimerbarhedsfaktoren ved tryk “P” og temperatur “t”. Denne praktiske ligning gælder for temperaturer fra 10 til 350 grader Celsius og giver resultater med en gennemsnitlig procentvis fejl på 0,10 %.

Formlen for kompressibilitetsfaktoren “Zst” for mættet damp.

Zst = 1- 0,024 * P^0,654 / ( 220-P )^0,08

I denne ligning står symbolet “Zst” for kompressibilitetsfaktoren for mættet damp ved “P” bar absolut. Denne praktiske ligning gælder for et damptryksområde fra 0,012 til 165 Bar absolut, med et tilsvarende mætningstemperaturområde fra 10 til 360 grader Celsius. Dens forudsigelser har en samlet gennemsnitlig procentvis fejl på 0,10 %.

Beregningsresultater vist i grafisk form.

Beregningsresultaterne af den praktiske korte formel for massefylde af mættet damp er vist i følgende graf (blå ruder) og sammenlignet med data fra damptabellerne (lilla firkanter). Klik på grafen for at forstørre:

I den næste graf er beregningsresultaterne af den praktiske korte formel for Enthalpy for mættet damp vist som blå diamanter og sammenlignet med data fra damptabellerne (lilla firkanter). Klik på grafen for at forstørre:

I de følgende grafer er kompressibilitetsfaktoren “Zst” for mættet damp vist (blå diamanter) som beregnet med den praktiske korte formel og sammenlignet med de Z-faktorer, der er opnået ved tilbageregning fra damptabellernes data (lilla firkanter). Klik på grafen for at forstørre:

Den næste graf viser de samme data for “Zst”-faktoren, som nu er plottet på en logaritmisk skala med tryk som variabel:

Interessant er den sidste graf for ‘Zst’, hvor igen de beregnede kompressibilitetsfaktorresultater er vist og nu plottet mod den tilsvarende mætningstemperatur (klik for at forstørre):

Del II Et numerisk eksempel.

Et dampstik fører mellemtryksdamp ved et trykniveau på 33,5 Bar absolut (!) En tilsluttet rørledning fører dampen gennem en afkølestation med kontrolleret kondensatindsprøjtning for at nå frem til en mætningstemperatur på 240 grader Celsius. Hvad er tætheden og varmeindholdet (entalpi) i denne damp?

Først beregnes dampens kompressibilitetsfaktor under disse forhold:

Zst = 1- 0.024 * (33,5)^0,654 / ( 220-33,5 )^0,08

Dette giver Zst = 0,843 Dernæst kan vi med denne værdi for Zst beregne dampens massefylde som:

Dst = 216,49 * 33,5 / ( 0.843 * ( 240 + 273) )

der giver Dst = 16,77 kg/m3 ; Den tabulerede værdi er 16,74 kg/m3 ( Grigull et al)

Og dernæst beregnes Enthalpien som:

Hst = 1975 +1.914 * 0,843 * (240 + 273)

der giver Hst =2801,7 kJ/kg ; værdien i damptabellerne er 2803 kJ/kg.

Del III Grundlag for disse tre korte formler.

a) Massefylde. Oprindelsen til massefyldeformlen i del I er direkte afledt af den universelle gaslov. For en mængde “n” kilomol af en virkelig gas i et volumen på “V” m3 ved et tryk på “P” kN/m2 og ved en absolut temperatur på “T” grader Kelvin lyder “The Universal Gas Law”:

P * V = n * Z * R * T

i hvilken “Z” er kompressibilitetsfaktoren og “R” er den universelle gaskonstant lig med 8,3145 med enhederne kJoule /kmol /oK. Lad os her foretage en hurtig kontrol af konsistensen af de her anvendte enheder.

kN/m2 * m3 = kmol * kJoule /kmol/oK * oK Bemærk, at 1 kN/m2 = 1 kPascal og 100 kPa = 1 Bar absolut, og bemærk også, at 1 Joule = 1 Nm.

Den molære massefylde “D” kan udtrykkes (i enheder af kmol/m3 ) som:

n/V = Dmol = P / (Z * R *T)

Den molære massefylde for (en hvilken som helst) gas med molekylvægt “MW” lyder så:

D = P * 100 * MW / ( Z * R * T) kg/m3 , hvis “P” er udtrykt i enheden “Bar” absolut

Anvendt på damp får man : Dst = P * 100 * 18 / ( Z * 8,3145 * T)

eller Dst = 216,49 * P / (Z * T) hvis ‘P’ er angivet i Bar og ‘T’ i grader Kelvin.

b) Enthalpy. Omtalt i et tidligere indlæg fandt jeg ud af, at entalpi af mættet damp kan beregnes ud fra en meget simpel formel (se diskussionen det tidligere indlæg dateret 1. juli 2013 ). Denne enkle ligning lyder: H = Uo + 4*Z*R*T, hvor symbolet “H” står for den molære enthalpi og “Uo” er en konstant i kJ/kmol. Hvis ZRT erstattes af P*V med undtagelse af faktoren 4, kan man genkende definitionen af enthalpi. Faktoren ‘4’ kan tolkes som en form for gennemsnit, konstant specifik varmekapacitet for vanddamp osv (se tidligere indlæg). Nu er det en kendsgerning, at vanddamp over hele området fra 273 til 647 oK ændrer den specifikke varmekapacitet for damp kun ca. 6% , dvs. fra 1,85 til 2.05 kJ/kg/oK

Når den udtrykkes på massebasis i stedet for på molærbasis lyder ligningen:

Hst= Uo +4 * R / MW * Z * R * T kJ/kg

Hst = 1975 + 1,914 * Zst * (t + 273) kJ/kg

c) Komprimerbarhedsfaktor. Jeg har fundet, at under mætningsbetingelser kan en damps kompressibilitetsfaktor repræsenteres ved følgende generelle form:

(1-Z ) / (1-Zc) = A * Pr^n / (1-Pr)^m

I hvilken “Zc” er den kritiske kompressibilitetsfaktor, “Pr” det reducerede mætningstryk og “A” er en konstant, og “n” og “m” er eksponenter for et givet stof.

For eksempel har jeg i indlægget af 30. oktober 2014 for ren Metan (‘C1’) vist, at denne ligning har følgende særlige form :

Zsat,C1 = 1 – (1-0,2856) * 0,666 * Pr^0,666 / (1-Pr)^0,088

Denne korrelation gengiver den målte mættede dampkompressibilitetsfaktor for Metan nøjagtigt med en samlet gennemsnitlig relativ procentvis fejl på: 0,1% over trykområdet fra 0,22 til 42,4 bar absolutte tryk og det tilsvarende mætningstemperaturområde fra -177 grader til -85,2 grader Celsius , hvilket dækker hele mætningsområdet mellem trippelpunktet og det kritiske punkt for ren methan!

For mættet damp får vi:

Zst = 1 – (1-0,229) * 0,687 * Pr^0,654 / (1-Pr)^0,08

Dette med Pc = 220 Bar absolut forenklet til: