Petites formules pratiques calculant les densités et les enthalpies de la vapeur saturée

Ce post présente un ensemble de formules courtes et pratiques pour le calcul direct des densités et des enthalpies (contenus thermiques) de la vapeur saturée et des facteurs de compressibilité avec comme entrée la pression et la température de fonctionnement. Cet ensemble de trois formules couvre une large gamme de conditions de vapeur saturée tout en donnant des résultats précis. Les calculs peuvent être effectués rapidement sur une calculatrice manuelle ou saisis dans une feuille de calcul Excel. Ce court post est divisé en trois parties.

Partie I trois formules pratiques pour la densité, l’enthalpie et le facteur de compressibilité pour la vapeur saturée. Des représentations graphiques sont données pour démontrer leurs résultats de calcul. Partie II un exemple numérique d’utilisation de ces équations. Partie III : la base de ces trois courtes équations. Une version pdf de ce post est donnée à la fin de ce post.

Partie I Trois formules pratiques pour la vapeur saturée. Veuillez noter que ces formules sont présentées en notation de style ‘excel’ : en utilisant pour la multiplication le symbole ‘ * ‘ et pour l’élévation à la puissance ‘ ^ ‘.

La formule de la densité de la vapeur saturée.

Dst = 216.49 * P / ( Zst * ( t + 273) )

Dans laquelle ‘Dst’ = densité de la vapeur saturée en kg/m3 ; et ‘P’ = la pression absolue de la vapeur en Bar ; et ‘t’ = la température en degrés Celsius ; et ‘Zst’ = facteur de compressibilité de la vapeur saturée à ‘P’ Bar abs et ‘t’ degrés Celsius. Le pourcentage d’erreur moyen global est de 0,10 %.

La formule de l’enthalpie de la vapeur saturée.

Hst = 1975 + 1,914 * Zst * (t + 273)

Dans cette équation, le symbole ‘Hst’ représente l’enthalpie de la vapeur saturée en kJ/kg ;le symbole ‘t’ la température en degrés Celsius ; et ‘Zst’ le facteur de compressibilité à la pression ‘P’ et à la température ‘t’. Cette équation pratique est valable pour des températures allant de 10 à 350 degrés Celsius et ayant des résultats avec un pourcentage d’erreur moyen global de 0,10 %.

Le facteur de compressibilité ‘Zst’ de la formule de la vapeur saturée.

Zst = 1- 0,024 * P^0,654 / ( 220-P )^0,08

Dans cette équation, le symbole ‘Zst’ représente le facteur de compressibilité de la vapeur saturée à ‘P’ Bar absolu. Cette équation pratique est valable pour une gamme de pression de vapeur de 0,012 à 165 Bar absolus, avec une gamme de température de saturation correspondante de 10 à 360 degrés Celsius. Ses prédictions ont un pourcentage d’erreur moyen global de 0,10 %.

Résultats du calcul présentés sous forme graphique.

Les résultats du calcul de la formule courte pratique pour la Densité de la vapeur saturée sont présentés dans le graphique suivant (losanges bleus) et comparés aux données des tables de vapeur (carrés violets). Cliquez sur le graphique pour l’agrandir:

Dans le graphique suivant, les résultats de calcul de la formule courte pratique pour l’Enthalpie de la vapeur saturée sont présentés sous forme de diamants bleus et comparés aux données des tables de vapeur (carrés violets). Cliquez sur le graphique pour l’agrandir:

Dans les graphiques suivants, le facteur de compressibilité ‘Zst’ pour la vapeur saturée est représenté graphiquement (diamants bleus) tel que calculé avec la formule courte pratique et comparé aux facteurs Z obtenus par rétrocalcul à partir des données des Tables de vapeur (carrés violets). Cliquez sur le graphique pour l’agrandir:

Le graphique suivant montre les mêmes données du facteur ‘Zst’ et maintenant tracées sur une échelle logarithmique avec la pression comme variable :

Intéressant est le dernier graphique de ‘Zst’ où à nouveau les résultats du facteur de compressibilité calculé sont représentés et maintenant tracés par rapport à la température de saturation correspondante (cliquez pour agrandir):

Partie II Un exemple numérique.

Un collecteur de vapeur transporte de la vapeur moyenne pression à un niveau de pression de 33,5 Bar absolu ( !) Une canalisation connectée fait passer la vapeur par une station de désurchauffe avec injection contrôlée de condensat pour arriver à une température de saturation de 240 degrés Celsius. Quelles sont la densité et la teneur en chaleur (enthalpie) de cette vapeur ?

Calculez d’abord le facteur de compressibilité de la vapeur dans ces conditions :

Zst = 1- 0.024 * (33,5)^0,654 / ( 220-33,5 )^0,08

ce qui donne Zst = 0,843 Ensuite, avec cette valeur pour Zst, nous pouvons calculer la densité de la vapeur comme:

Dst = 216,49 * 33,5 / ( 0.843 * ( 240 + 273) )

donnant Dst = 16,77 kg/m3 ; La valeur tabulée est de 16,74 kg/m3 ( Grigull et al)

Et ensuite, l’enthalpie est calculée comme:

Hst = 1975 +1.914 * 0,843 * (240 + 273)

donnant Hst =2801,7 kJ/kg ; La valeur des tables de vapeur est de 2803 kJ/kg.

Partie III Bases de ces trois formules courtes.

a) La densité. L’origine de la formule de la densité dans la partie I est dérivée directement de la loi universelle des gaz. Pour une quantité de « n » kilomol d’un gaz réel dans un volume de « V » m3 à une pression de « P » kN/m2 et à une température absolue de « T » degrés Kelvin « La loi universelle des gaz » se lit:

P * V = n * Z * R * T

dans laquelle « Z » est le facteur de compressibilité et « R » est la constante universelle des gaz égale à 8,3145 avec des unités de kJoule /kmol /oK. A ce stade, faisons une vérification rapide de la cohérence des unités utilisées ici.

kN/m2 * m3 = kmol * kJoule /kmol/oK * oK Notez que 1 kN/m2 = 1 kPascal et 100 kPa = 1 Bar absolu et notez également que 1 Joule = 1 Nm.

La densité molaire ‘D’ peut être exprimée (en unités de kmol/m3) comme :

n/V = Dmol = P / (Z * R *T)

La densité d’un gaz (quelconque) de poids moléculaire ‘MW’ s’écrit alors :

D = P * 100 * MW / ( Z * R * T) kg/m3 si ‘P’ exprimé en unités de ‘Bar’ absolu

En appliquant à la vapeur on obtient : Dst = P * 100 * 18 / ( Z * 8,3145 * T)

ou Dst = 216,49 * P / (Z * T) si ‘P’ en Bar et ‘T’ en degrés Kelvin.

b) Enthalpie. Mentionné dans un post précédent, j’ai découvert que l’enthalpie de la vapeur saturée peut être calculée à partir d’une formule très simple (voir discussion le post précédent daté du 1er juillet 2013 ). Cette équation simple se lit comme suit : H = Uo + 4*Z*R*T dans laquelle le symbole ‘H’ représente l’enthalpie molaire et ‘Uo’ est une constante en kJ/kmol. Si l’on remplace ZRT par P*V, à l’exception du facteur 4, on reconnaît la définition de l’enthalpie. Le facteur ‘4’ peut être interprété comme un type de moyenne, une capacité thermique spécifique constante de la vapeur d’eau, etc (voir le post précédent). Maintenant, c’est un fait que la vapeur d’eau sur toute la gamme de 273 à 647 oK la capacité thermique spécifique de la vapeur ne change que d’environ 6%, c’est-à-dire de 1,85 à 2.05 kJ/kg/oK

Lorsqu’elle est exprimée sur une base massique au lieu d’une base molaire, l’équation est la suivante :

Hst= Uo +4 * R / MW * Z * R * T kJ/kg

Hst = 1975 + 1,914 * Zst * (t + 273) kJ/kg

c) Facteur de compressibilité. J’ai constaté que dans des conditions de saturation, le facteur de compressibilité d’une vapeur peut être représenté par la forme générale suivante :

(1-Z ) / (1-Zc) = A * Pr^n / (1-Pr)^m

Dans laquelle ‘Zc’ est le facteur de compressibilité critique, ‘Pr’ la pression de saturation réduite et ‘A’ est une constante et ‘n’ et ‘m’ sont des exposants pour une substance donnée.

Par exemple dans le post du 30 octobre 2014 pour le Méthane pur (‘C1’) j’ai montré que cette équation prend la forme particulière suivante :

Zsat,C1 = 1 – (1-0,2856) * 0,666 * Pr^0,666 / (1-Pr)^0,088

Cette corrélation reproduit le facteur de compressibilité de la vapeur saturée mesurée du Méthane avec précision avec un pourcentage d’erreur relatif moyen global de : 0,1% sur la plage de pression de 0,22 à 42,4 Bar absolu, et sa plage de température de saturation correspondante de -177 deg à -85,2 degrés Celsius , couvrant toute la plage de saturation entre le point triple et le point critique du Méthane pur !

Pour la vapeur saturée, on obtient :

Zst = 1 – (1-0,229) * 0,687 * Pr^0,654 / (1-Pr)^0,08

ce qui, avec Pc = 220 Bar absolu, se simplifie en :

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