Korte handige formules voor het berekenen van dichtheden en enthalpie van verzadigde stoom

Dit bericht presenteert een set handige korte formules voor directe berekening van verzadigde stoomdichtheden en enthalpie’s (warmte-inhoud) en samendrukbaarheidsfactoren met als invoer de werkdruk en temperatuur. Deze set van drie formules bestrijkt een breed scala van verzadigde stoomcondities en levert toch nauwkeurige resultaten op. De berekeningen kunnen snel worden uitgevoerd op een handrekenmachine of gemakkelijk worden ingevoerd in een Excel spreadsheet. Dit korte bericht is verdeeld in drie delen.

Deel I drie handige formules voor dichtheid, enthalpie en samendrukbaarheidsfactor voor verzadigde stoom. Grafische voorstellingen worden gegeven om de berekeningsresultaten te demonstreren. Deel II een numeriek voorbeeld van het gebruik van deze vergelijkingen. Deel III de basis voor deze drie korte vergelijkingen. Een pdf versie van dit bericht is gegeven aan het eind van dit bericht.

Deel I Drie handige formules voor verzadigde stoom. Deze formules zijn weergegeven in ‘excel’ notatie: voor vermenigvuldiging het symbool ‘ * ‘ en voor verheffen tot de macht ‘ ^ ‘.

De formule voor de dichtheid van verzadigde stoom.

Dst = 216.49 * P / ( Zst * ( t + 273) )

Waarin ‘Dst’ = dichtheid van verzadigde stoom in kg/m3 ; en ‘P’ = de absolute stoomdruk in Bar ; en ’t’ = de temperatuur in graden Celsius ; en ‘Zst’ = samendrukbaarheidsfactor van verzadigde stoom bij ‘P’ Bar abs en ’t’ graden Celsius. De totale gemiddelde procentuele fout is 0,10 %.

De formule voor de Enthalpie van verzadigde stoom.

Hst = 1975 + 1,914 * Zst * (t + 273)

In deze vergelijking staat het symbool ‘Hst’ voor de Enthalpie van verzadigde stoom in kJ/kg ; het symbool ’t’ voor de temperatuur in graden Celsius ; en ‘Zst’ voor de samendrukbaarheidsfactor bij druk ‘P’ en temperatuur ’t’. Deze handige vergelijking is geldig voor temperaturen van 10 tot 350 graden Celsius en heeft resultaten met een overall-gemiddelde-percentagefout van 0,10 %.

De samendrukbaarheidsfactor ‘Zst’ van verzadigde stoom formule.

Zst = 1- 0,024 * P^0,654 / ( 220-P )^0,08

In deze vergelijking staat het symbool ‘Zst’ voor de samendrukbaarheidsfactor van verzadigde stoom bij ‘P’ Bar absoluut. Deze handige vergelijking is geldig voor een stoomdrukbereik van 0,012 tot 165 Bar absoluut, met overeenkomstige verzadigingstemperaturen van 10 tot 360 graden Celsius. De voorspellingen hebben een totale gemiddelde procentuele fout van 0.10 %.

Berekeningsresultaten getoond in grafische vorm.

De berekeningsresultaten van de handige korte formule voor Dichtheid van verzadigde stoom is getoond in de volgende grafiek (blauwe diamanten) en vergeleken met gegevens uit de Stoomtabellen (paarse vierkantjes). Klik op de grafiek voor een vergroting:

In de volgende grafiek zijn de berekeningsresultaten van de handige korte formule voor Enthalpie van verzadigde stoom weergegeven als blauwe diamanten en vergeleken met gegevens uit de Stoomtabellen (paarse vierkantjes). Klik op de grafiek voor een vergroting:

In de volgende grafieken is de samendrukbaarheidsfactor ‘Zst’ voor verzadigde stoom grafisch weergegeven (blauwe diamanten) zoals berekend met de handige korte formule en vergeleken met de Z factoren verkregen door terugrekenen uit de Stoomtabellen gegevens (paarse vierkantjes). Klik op de grafiek voor een vergroting:

De volgende grafiek toont dezelfde gegevens over de ‘Zst’-factor en nu uitgezet tegen een logaritmische schaal met de druk als variabele:

Interessant is de laatste grafiek van ‘Zst’ waarin opnieuw de resultaten van de berekende samendrukbaarheidsfactor zijn uitgezet tegen de corresponderende verzadigingstemperatuur (klik om te vergroten):

Deel II Een numeriek voorbeeld.

Een stoomleiding vervoert middendrukstoom met een druk van 33,5 bar absoluut (!) Een aangesloten pijpleiding voert de stoom door een ontkoelingsstation met gecontroleerde condensaatinjectie om uit te komen bij een verzadigingstemperatuur van 240 graden Celsius. Wat zijn de dichtheid en de warmte-inhoud (enthalpie) van deze stoom ?

Bereken eerst de samendrukbaarheidsfactor van de stoom onder deze omstandigheden:

Zst = 1- 0.024 * (33.5)^0.654 / ( 220-33.5 )^0.08

Dit geeft Zst = 0.843 Vervolgens kunnen we met deze waarde voor Zst de dichtheid van de stoom berekenen als:

Dst = 216.49 * 33.5 / ( 0.843 * ( 240 + 273) )

Waardoor Dst = 16.77 kg/m3 ; De getabelleerde waarde is 16.74 kg/m3 ( Grigull et al)

En dan wordt de Enthalpie berekend als:

Hst = 1975 +1.914 * 0.843 * (240 + 273)

Het resultaat is Hst =2801.7 kJ/kg ; de waarde van de stoomtabel is 2803 kJ/kg.

Deel III Basis voor deze drie korte formules.

a) Dichtheid. De oorsprong van de dichtheidsformule in deel I is eenvoudig af te leiden uit de Universele Gaswet. Voor een hoeveelheid van “n” kilomol van een echt gas in een volume van “V” m3 bij een druk van “P” kN/m2 en bij een absolute temperatuur van “T” graden Kelvin luidt “De universele gaswet”:

P * V = n * Z * R * T

waarin “Z” de samendrukbaarheidsfactor is en “R” de universele gasconstante gelijk aan 8,3145 met eenheden van kJoule /kmol /oK. Laten we op dit punt even controleren of de hier gebruikte eenheden consistent zijn.

kN/m2 * m3 = kmol * kJoule /kmol/oK * oK Merk op dat 1 kN/m2 = 1 kPascal en 100 kPa = 1 Bar absoluut en merk ook op dat 1 Joule = 1 Nm.

De molaire dichtheid ‘D’ kan (in eenheden van kmol/m3 ) worden uitgedrukt als:

n/V = Dmol = P / (Z * R *T)

De dichtheid van (een) gas met molecuulgewicht ‘MW’ luidt dan:

D = P * 100 * MW / ( Z * R * T) kg/m3 als ‘P’ uitgedrukt in eenheden van ‘Bar’ absoluut

Toepassing op stoom krijg : Dst = P * 100 * 18 / ( Z * 8.3145 * T)

of Dst = 216.49 * P / (Z * T) als ‘P’ in Bar en ‘T’ in graden Kelvin.

b) Enthalpie. Genoemd in een eerdere post vond ik dat de enthalpie van verzadigde Stoom kan worden berekend uit een zeer eenvoudige formule (zie discussie de eerdere post van 1 juli 2013 ). Die eenvoudige vergelijking luidt: H = Uo + 4*Z*R*T waarin het symbool ‘H’ staat voor de molaire enthalpie en ‘Uo’ een constante is in kJ/kmol. Als men ZRT vervangt door P*V met uitzondering van de factor 4 herkent men de definitie van enthalpie. De factor “4” kan worden geïnterpreteerd als een soort gemiddelde, constante soortelijke warmtecapaciteit van waterdamp enz (zie eerdere post). Nu is het een feit dat waterdamp over het gehele bereik van 273 tot 647 oK de specifieke warmtecapaciteit van stoom slechts ongeveer 6% verandert, nl. van 1,85 tot 2.05 kJ/kg/oK

Wanneer deze wordt uitgedrukt op massabasis in plaats van op molaire basis luidt de vergelijking:

Hst= Uo +4 * R / MW * Z * R * T kJ/kg

Hst = 1975 + 1.914 * Zst * (t + 273) kJ/kg

c) Samendrukbaarheidsfactor. Ik heb ontdekt dat de samendrukbaarheidsfactor van een damp onder verzadigingsomstandigheden kan worden weergegeven met de volgende algemene vorm:

(1-Z ) / (1-Zc) = A * Pr^n / (1-Pr)^m

Waarin “Zc” de kritische samendrukbaarheidsfactor is, “Pr” de gereduceerde verzadigingsdruk en “A” een constante is en “n” en “m” exponenten zijn voor een bepaalde stof.

In de post van 30 oktober 2014 heb ik bijvoorbeeld voor zuiver methaan (‘C1’) aangetoond dat deze vergelijking de volgende bijzondere vorm heeft :

Zsat,C1 = 1 – (1-0,2856) * 0,666 * Pr^0,666 / (1-Pr)^0,088

Deze correlatie reproduceert de gemeten verzadigde damp samendrukbaarheidsfactor van methaan nauwkeurig met een algemene gemiddelde relatieve procentuele fout van: 0,1% over het drukbereik van 0,22 tot 42,4 bar absoluut, en het overeenkomstige verzadigingstemperatuurbereik van -177 graden tot -85,2 graden Celsius, dat het gehele verzadigingsbereik tussen tripelpunt en kritisch punt van zuiver methaan omvat!

Voor verzadigde stoom krijgen we:

Zst = 1 – (1-0,229) * 0,687 * Pr^0,654 / (1-Pr)^0,08

dat met Pc = 220 Bar absoluut vereenvoudigt tot: